1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：54.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 （分数：2.00）_3.求 e -x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式（分数：2.00）_4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_5.求极限 （分数：2.00）_6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x-(a+be x2 )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量（分数：2.00）_7.设 f(x)在 x=0
2、 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_8.设 0x （分数：2.00）_9.设 f(x)在0，1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f(x)b，a，b 为非负数，求证：(0，1)，有 f(c)2a+ （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+ （分数：2.00）_11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(x 3 )（分数：2.00）_12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_1
3、3.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () （分数：2.00）_15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()4（分数：2.00）_17.设 f(x)在(x 0 -，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) ( 0 )=0，k=2，3，n-1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)=f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.0
4、0）_18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx(x 3 )； ()f(x)= (x 3 )； ()f(x)= （分数：2.00）_19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： ()f(x)=sin 3 x； ()f(x)=xln(1-x 2 )（分数：2.00）_20.确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x -1-x- xsinx； ()f(x)= （分数：2.00）_21.求下列极限： （分数：2.00）_22.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_23.设 f(x)=x 2 sinx，求
5、f (n) (0)（分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_25.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 x-a 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当a 时是 x-a 的 a-1 阶无穷小（分数：2.00）_26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)=f(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.00）_27.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y
6、=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o(x-x 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：54.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 2 + x 3 +o(x 3 )，cosx= x 2 +o(x 3 )，从而 x 2 - x 2
7、+ x 3 - x 3 +o(x 3 ) =1+ x 2 - )解析：3.求 e -x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=-x 2 代入 e t =1+t+ +o(t n )(t0)即得 e -x2 =1-x 2 + )解析：4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(arctanx)= =1-x 2 +x 4 +o(x 5 )，由该式逐项积分即得 arctanx= 0 x = 0 x (1-t 2 +t 4 )dt+o(x 6 )=x- x 3 + )解析：5.求极限 （分数：2.00）
8、_正确答案：(正确答案：因 x 4 +o(x 4 )， cosx-e x2 = -(1+x 2 )+o(x 2 )= x 2 +o(x 2 ) 又 sinx 2 x 2 (x0)，所以 )解析：6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x-(a+be x2 )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 e x2 =1+x 2 + +o(x 5 )，sinx=x- +o(x 6 )，可得 f(x)=x-a+b+bx 2 + x 4 +o(x 5 ) +o(x 6 ) =(1-a-b)x+ x 5 +o(x 5 ) 不难看出当 1-a-b=0
9、 与 -b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= ，并且得到 f(x)= )解析：7.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先转化已知条件由 =e 4 知 从而 再用当 x0 时的等价无穷小因子替换 ln1+f(x)f(x)，可得 2)用 a(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x n )从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n-1) (0)=0， )解析：8.设 0x （分
10、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 cosx=1- x 4 cos(x)，01， 可得 1-cosx=x 2 ( x 2 cosx) 注意当 0x ，故 )解析：9.设 f(x)在0，1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f(x)b，a，b 为非负数，求证：(0，1)，有 f(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： 0，1， (0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ f()(x-c) 2 ， (*) 其中 =c+(x-c)，01 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(-c)+ f(
11、 1 )c 2 ，0 1 c1； 在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+ f( 2 )(1-c) 2 ，0c 2 1 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f(c)+ f( 2 )(1-c) 2 -f( 1 )c 2 从而 f(c)=f(1)-f(0)+ f( 1 )c 2 -f( 2 )(1-c) 2 ，两端取绝对值并放大即得 f(c)2a+ b(1-c) 2 +c 2 2a+ b(1-c+c)=2a+ )解析：10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x 0 =
12、 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得 其中 1 ， 2 (a，b)上面两式相减得 f(b)-f(a)= f( 1 )+f( 2 )(b-a) 3 注意： f( 1 )+f( 2 )介于 f( 1 )与 f( 2 )之间， 由导函数取中间值定理，可得 (a，b)， 使得 )解析：11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 tanx=A+A 1 x+A 2 x 2 +A 3 x 3 +o(x 3 )=A 1 x+A 3 x 3 +o(x 3 )
13、(tanx为奇函数，A 0 =0，A 2 =0)，又 tanx= ，则 A 1 x+A 3 x 3 +o(x 3 )1- x 2 +o(x 3 )=x- x 3 +o(x 3 )， 即 A 1 x+(A 3 - A 1 )x 3 +o(x 3 )=x- x 3 +o(x 3 ) 比较系数可得 A 1 =1，A 3 - A 1 = A 1 =1，A 3 = 因此 tanx=x+ x 3 +o(x 3 ) ()已知 sinu=u- a 3 +o(u 3 )(u0)，令 u=sinx sin(sinx)=sinx- sin 3 x+(sin 3 x) 再将 sinx=x- x 3 +o(x 3 )，
14、代入得 sin(sinx)= x 3 +o(x 3 )=x- )解析：12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通过求 f(0)，f(0)，f (n) (0)及 f (n+1) (x)而得 ()由 f(x)= ，可得对 m=1，2，3，有 f (m) (x)=2(-1) m m! f (m) (0)=2(-1) m m! 故 f(x)=1-2x+2x 2 -+2(-1) n x n +2(-1) n+1 ()用归纳法求出 f (n) (x)的统一公式 可归纳证明 f (n) (x)= ，n=1，2， 因
15、此 )解析：13.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用 e t ，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0展开由于 xcosx=x1- x 2 +o(x 2 )=x- x 3 +o(x 3 )，sinx=x- x 3 +o(x 3 )， 因此，xcosxsinx= x 3 +o(x 3 )= x 3 +o(x 3 ) 再求分子的泰勒公式由 x 2 e 2x =x 2 1+(2x)+o(x)=x 2 +2x 3 +o(x 3 )，ln(1-x 2 )=-x 2 +o(x 3 )， x 2 e 2x +ln(1-x 2 )=
16、2x 3 +o(x 3 ) 因此 ()由 ln(1+x)=x- x 2 +o(x 2 )(x0)，令 x= ，即得 )解析：14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() = x 2 +o(x 2 )， 因此当 x0 时 是 x 的二阶无穷小量 ()因 e t -1-t= t 2 +o(t 2 )，从而(e t -1-t) 2 = t 2 +o(t 2 ) 2 = t 4 +o(t 4 )，代入得 0 x )(e t -1-t) 2 dt= )解析：15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案：分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ (xx+1)， f(x-1)=f(x)-f(x)+ f()(x-1x)， 两式相加并移项即得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+ f()-2f()， 则当 x1 时有f(x)4M 0 + M 3 2)当 0x1 时对 f(x)用拉格朗日中值定理，有 f(x)=f(x)-f(1)+f(1)=f()(x-1)+f(1)，其中 (x，1) )解析：16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，
18、使f()4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f( 1 )x 2 (0 1 x)， f(x)=f(1)+f(1)(x-1)+ f( 2 )(x-1) 2 (x 2 1) 在公式中取 x= 并利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 即得f( 1 )-f( 2 )=8 )解析：17.设 f(x)在(x 0 -，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) ( 0 )=0，k=2，3，n-1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)=f(x 0 )=hf(x
19、 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这里 m=1，求的是 f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf(x 0 +h)(01)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x 0 +h)在 x=x 0 展开成带皮亚诺余项的 n-1 阶泰勒公式得 f(x 0 +h)=f(x 0 )+f(x 0 )h+ f (3) (x 0 )(h) 2 + f (n) (x 0 )(h) n-1 +o(h n-1 ) =f(x 0 )+ f (n) (x 0 )(h) n-1 +o(h n-1 )(h0)， 代入原式得 (x 0 +h)-f(x 0 )=hf(x 0 )+
20、 f (n) (x 0 ) n-1 h n +o(h n ) 再将 f(x 0 +h)在 x=x 0 展开成带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式 f(x 0 +h)-f(x 0 )=f(x 0 )h+ f (n) (x 0 )h b +o(h n ) =f(x 0 )h+ f (n) (x 0 )h n +o(h n )(h0)， 将代入后两边除以 h n 得 令 h0，得 )解析：18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx(x 3 )； ()f(x)= (x 3 )； ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()e x =1+x+
21、 x 3 +o(x 3 )，cosx=1- x 2 +o(x 3 )， 相乘得 e x cosx=1+x+ x 3 +o(x 3 )=1+x- x 3 +o(x 3 ) () f(x)= 1-x+x 2 -x 3 -(1+2x+(2x) 2 +(2x) 3 )+o(x 3 ) = (-3x-3x 2 -9x 3 )+o(x 3 )=-x-x 2 -3x 3 +o(x 3 ) () )解析：19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： ()f(x)=sin 3 x； ()f(x)=xln(1-x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () )解析：20.确定下列无穷小量当 x0
22、 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x -1-x- xsinx； ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用泰勒公式确定无穷小的阶 原式=1+x+ +o(x 3 )-1-x- x 3 +o(x 3 )， 所以 x0 时 e x -1-x- xsinx 是 x 的 3 阶无穷小 ()用泰勒公式确定无穷小的阶 原式=1- x 4 +o(x 4 )， 所以 x0 时 cosx+ )解析：21.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(用泰勒公式)由于当 x0 时分母是 x 3 阶的无穷小量，而当 x0 时 e x =1+x+ +o(x 3 )，sinx
23、=x- +o(x 3 )， 从而当 x0 时，e x sinx=x+x 2 + x 3 +o(x 3 )，e x sinx-x(1+x)= x 3 +o(x 3 ) 因此 ()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0 时 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x 3 +o(x 3 )， arctanx=x- x 3 +o(x 3 ) arctanx-sinx= x 3 +o(x 3 )， e x2 -1=1+x 2 + +o(x 4 )-1=x 2 +o(x 3 )，ln(1+x)=x- +o(x 2 )， ln(1+x) 2 = =x 2 -x 3 +2xo
24、(x 2 )-x 2 o(x 2 )+ +o(x 2 )2 =x 2 -x 3 +o(x 3 )，ln(1+x) 2 -e x2 +1=-x 3 +o(x 3 ) )解析：22.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用泰勒公式)因为 ln(1-2x+3x 2 )=-2x+3x 2 - (-2x+3x 2 ) 2 +o(-2x+3x 2 ) 2 ) =-2x+3x 2 -2x 2 +o(x 2 )=-2x+x 2 +o(x 2 )， 于是 可以改写为 )解析：23.设 f(x)=x 2 sinx，求 f (n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答
25、案：f(x)=x 2 +o(x 2n+2 )， f (2n+1) (0)=(-1) n-1 )解析：24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设易知， e f(x) -1=0，且 0，0x 时 f(x)0进一步有 =f(0)=0 由 e f(x) -1f(x)，cosx-1 x 2 (x0)用等价无穷小因子替换原条件改写成 =1 由极限与无穷小关系得，x0 时 =1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即 xf(x)= x 2 +o(x 2 ) (x0) 由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)= )解析：25.设 f(x)在
26、 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 x-a 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当a 时是 x-a 的 a-1 阶无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在 x=a 可展开成 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f(a)(x-a) 2 + f (n) (a)(x-a) n +o(x-a) n )(xa) 由 xa 时 f(x)是(x-a)的 n 阶无穷小 (a)=f(a)=f (n-1) (a)=0，f (n) (a)0 又 f(x)在 x=a 邻域(n-1)阶可导，f (n-1) (x)在 x=a 可导 由 g(x)=f(x)在 x
27、=a 处 n-1 阶可导 g(x)=g(a)+g(a)(x-a)+ g (n-1) (a)(x-a) n-1 +o(x-a) n-1 )，即 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f (n) (a)(x-a) n-1 +o(x-a) n-1 ) = )解析：26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)=f(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)-f(a)=f(a)(x-a)+ f(a)(x-a) 2 + f(a)(x-a) 3 + f (4) (a
28、)(x-a) 4 +o(x-a) 4 ) = f (4) (a)(x-a) 4 +o(x-a) 4 )=(x-a) 4 f (4) (a)+o(1) 其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0z-a 时 )解析：27.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o(x-x 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相交与相切即 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )若又有曲率相同，即 亦即f(x 0 )=g(x 0 ) 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f(x 0 )=g(x 0 )=0 或 f(x 0 )与 g(x 0 )同号，于是 f(x 0 )=g(x 0 )因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x)在(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率 f(x 0 )-g(x 0 )=0，f(x 0 )-g(x 0 )=0，f(x 0 )-g(x 0 )=0 f(x)-g(x)=f(x 0 )-g(x 0 )+f(x)-g(x) x=x0 (x-x 0 )+ )解析：
