1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 6及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f - (a)=AD.可导，且 f(a)=A3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x
2、0 )0D.P(x 0 )04.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2D.35.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=1，b=1C.a为D.a为6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A.f(x)f(a)(x(a-，a+)B.f(x)f(a)(x(a-，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a-，a)D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a-，a)7.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，曲线
3、y=f(x)在点(0，0)处不D.f(0)不二、填空题(总题数：16，分数：32.00)8.设有长为 12cm的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M到端点 A的距离 x的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M处的线密度 p(x)= 2.（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.若函数 f(x)在 x=1处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 k为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.
4、设 y= 且 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=sinx 2 则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (z)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (5) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线(x-1) 3 = 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_20
5、.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_21.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)， （分数：2.00）填空项 1:_22. 在点 M 0 （分数：2.00）填空项 1:_23.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设 y=y(x)由方程组 确定，求 （分数：2.00）_26.设 y=ln(3+7x-6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_27.讨论函数 （分数：2.00）_28.设 f(x)在(-，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f
6、(0)存在若 （分数：2.00）_29.给定曲线 y=x 2 +5x+4， ()确定 b的值，使直线 y= （分数：2.00）_30.计算下列各题： ()设 y=e sin2x + ()设 y= （分数：2.00）_31.计算下列各题：()设 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ()设 （分数：2.00）_32.计算下列各题： ()由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 ()方程 y -x e y =1确定 y=y(x)，求y(x)； ()设 2x-tan(x-y)= 0 x-y sec 2 tdt，求 （分数：2.00）_33.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a
7、)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)（分数：2.00）_34.设 f(x)在(-，+)内二次可导，令 F(x)= （分数：2.00）_35.把 y看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_36.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 6答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但
8、 f - (a)=AD.可导，且 f(a)=A解析：解析：只有极限 存在并不能保证极限3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P(x 0 )0 解析：解析：注意 P(x)在(-，+)连续，又 xx 0 时 P(x)0 P(x 0 ) 4.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：实质上就是讨论 g(x)=x 2
9、 x= 的最高阶数 n 5.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0 B.a=1，b=1C.a为D.a为解析：解析：首先，f(x)在 x=0连续 =f(0)，即 b=0 然后，f(x)在 x=0可导 f + (0)=f - (0) 当 b=0时， 按定义求出 f + (0)= 6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A.f(x)f(a)(x(a-，a+)B.f(x)f(a)(x(a-，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a-，a) D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a-，a)解析：解析：直接由定义出发 f(a)= 0 由极限
10、的保号性 ，当 x(a-，a+)，xa 时07.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0，0)处不D.f(0)不 解析：解析：显然 =0=f(0)又 y=f(x)的图形见图 21 因此，f(0)不 ，y=f(x)在(0，0)二、填空题(总题数：16，分数：32.00)8.设有长为 12cm的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M到端点 A的距离 x的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M处的线密度 p(x)= 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
11、： ）解析：解析：按题意，m(x)=kx 2 ，令 x=12，得 360=k.12 2 ，则 k= ，从而 m(x)= x 2 在任一点 M处的线密度为 (x)= 9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)是 2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1代入每个因式后，只有第一项 -1=0，而其余所有项都不等于 0记 g(x)= ，于是 从而10.若函数 f(x)在 x=1处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9f(1)）解析：解析：按导数定义，将原
12、式改写成 原式11.设 f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 k为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k）解析：解析：原式= 13.设 y= 且 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y=f(n)，u= ，u x=0 =-1 14.设 y=sinx 2 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用微分的商来求15.设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f 3 (z)，则 f (n) (x
13、)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2n-1)!f 2n+1 (x)）解析：解析：f (2) (x)=3f 2 (x)f(x)=3f 5 (x)，f (3) (x)=3.5f 4 (x)f(x)=35f 7 (x)， 可归纳证明 f (n) (x)=(2n-1)!f 2n+1 (x)16.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (5) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：y 为偶函数 y (5) (x)为奇函数 17.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.曲线(x-1) 3
14、= 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=8+3(x-5)*y=3x-7）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(x-1) 3 =y 2 两边对 x求导，得 3(x-1) 2 =2yy 令 x=5，y=8即得 y(5)=3故曲线(x-1) 3 =y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x-5) 19.曲线 y=lnx上与直线 x+y=1垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x-1）解析：解析：与直线 x+y=1垂直的直线族为 y=x+c，其中 c是任意常数，又因 y=lnx上点(x 0 ，
15、y 0 )=(x 0 ，lnx 0 )(x 0 0)处的切线方程是 y=lnx 0 + (x-x 0 )= x 0 +lnx 0 -1，从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是 20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x-7）解析：解析：t=2 时(x，y)=(5，8)，21.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：参数方程 则 ()在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线 ()在点(r，)= 处，(x，y)=(0，a)， =1，切线 y-a=x ()在点(
16、r，)=(0，)处，(x，y)=(0，0)，22. 在点 M 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将方程对 x求导 在 M 0 处 y= ，法线方程为 23.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为 欲使 f(x)在 x=0处连续，必须有 而这一极限为零应满足 3(=2，3 时三、解答题(总题数：13，分数：26.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设 y=y(
17、x)由方程组 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组的第一个方程式对 t求导得 x t =6t+2=2(3t+1) 将第二个方程对 t求导并注意 y=y(t)得 y t eysint+eycost-y t =0， 整理并由方程式化简得 y t = 因此，有 于是，有 注意：由(*)式得 y t=0 =1，由(*)式得 =e在上式中令 t=0得 )解析：解析：这里 y与 x的函数关系由参数方程 x=x(t)，y=y(t)给出，且 26.设 y=ln(3+7x-6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先分解 y=ln(3-2x)(1+3x)=l
18、n(3-2x)+ln(1+3x) y (n) =ln(3-2x) (n) +ln(1+3x) (n) 然后利用ln(ax+b) (n) 的公式得 )解析：解析：利用对数函数性质将函数 y分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n) 的公式即可得结果27.讨论函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义 )解析：解析：我们可先讨论 f(x)在 x=0处的可导性因为当 f(x)在 x=0可导或 f + (0)，f - (0)均存在但不等时，均可得 f(x)在 x=0连续由 f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出 f + (0)，f - (0)来讨论 f
19、(0)是否存在28.设 f(x)在(-，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)存在若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算于是 然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0时可按定义证明 F(x)=F(0)，这是 型极限问题，可用洛必达法则 )解析：29.给定曲线 y=x 2 +5x+4， ()确定 b的值，使直线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()曲线过任意点(x 0 ，y 0 )(y 0 =x 0 2 +5x 0 +4)不垂直于 x轴的
20、法线方程是 y= (x-x 0 )+y 0 要使 y= x+b为此曲线的法线，则 ，x 0 2 +5x 0 +4+ =b解得 x 0 =-1，b= )解析：解析：关键是写出该曲线上任意点(x 0 ，y 0 )处的切线方程 y=y 0 +(2x 0 +5)(x-x 0 )，或不垂直于 x轴的法线方程 y=y 0 - 30.计算下列各题： ()设 y=e sin2x + ()设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()lny= ln(x 2 +2)，求导得 () )解析：31.计算下列各题：()设 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ()设 （分数：2.00）_正确答案：
21、(正确答案：() () 故 )解析：32.计算下列各题： ()由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 ()方程 y -x e y =1确定 y=y(x)，求y(x)； ()设 2x-tan(x-y)= 0 x-y sec 2 tdt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用多元函数微分学的方法：x=x(y)由方程 F(x，y)=0 确定，其中 F(x，y)=x y -y x ，直接代公式得 约去 x y =y x 得 ()e y =y x ，两边取对数得 y=xlny对 x求导(注意 y=y(x) 将 的表达式再对 x求导得 注意 y=xlny，化简得 ()注意y=y(x)
22、，将方程两边对 x求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 2- (1-y)=sec 2 (x-y)(1-y) sec 2 (x-u)(1-y)=1，即 1-y=cos 2 (x-y) 再对 x求导 -y=2cos(x-y)-sin(x-y)(1-y) 代入式 )解析：33.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边
23、关于 x求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)y x =0， 或 f(c)g(y)+f(x) 2 g(y)=0 注意到 g(3)= )解析：34.设 f(x)在(-，+)内二次可导，令 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任何常数 A，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(-，x 0 ，(x 0 ，+)连续，分别在(-，x 0 )，(x 0 ，+)二次可导从而，为使 F(x)在(-，+)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x 0 右连续，由于 F(x 0 -0)=f(x 0 )=f(x 0 )，F(x 0 +0)=C，故 F(x)在(-，+)连续 C=f
24、(x 0 ) 在 C=f(x 0 )的情况下，F(x)可改写成 从而 F - (x 0 )=f(x 0 )，F + (x 0 )=B 故 F(x)在(-，+)可导 B=f(x 0 ) 在 C=f(x 0 )，B=f(x 0 )的情况下，F(x)可改写成 且 进而 故 F(x)在(-，+)内二次可导 2A=f(x 0 ) f(x 0 ) 综合得，当 A= )解析：35.把 y看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程中的 来表示 由反函数求导法得 再由复合函数求导法及反函数求导法 将它们代入原方程 )解析：36.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量替换转化成变限积分 x0时，(x)= 0 1 f(xt)d(xt) 0 x f(s)ds；x=0 时，(0)= 0 1 f(0)dt=f(0) 由f(x)在 x=0连续及 因此 求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x=0时可按定义求导 因此 最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又 )解析：
