1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）-试卷 1及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)AC.不一定可导，但 f - (a)AD.可导，且 f(a)A3.设有多项式 P() 4 （分数：2.00）A.P( 0 )0B.P( 0 )0C.P( 0 )0D.P( 0 )04.设 f()3 2 2 ，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）A.0B.1C.2D.
2、35.设 f() （分数：2.00）A.a0，b0B.a1，b1C.a为D.a为6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A.f()f(a)(a，a)B.f()f(a)(a，a)C.f()f(a)(a，a)，f()f(a)(a，a)D.f()f(a)(a，a)，f()f(a)(a，a)7.设 f() （分数：2.00）A.f()在 0 处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，曲线 yf()在点(0，0)处不D.f(0)不8.设函数 yf()可微，且曲线 yf()在点( 0 ，f( 0 )处的切线与直线 y2 垂直，则 （分数：2.00）A.1B.0C.1D.不存在二、填空题(总题数：10，分
3、数：20.00)9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_10.若函数 f()在 1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(0)1，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 k为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y 且 f()arctan 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 ysin 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f()有任意阶导数且 f()f 3 ()，则 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 yln(1 2 )，则 y (5) (0) 1（分数：2.00）填空
4、项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线(1) 3 y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.计算下列各题： ()设 ()设 ()设 y （分数：2.00）_21.计算下列各题： ()设 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ； ()设 （分数：2.00）_22.计算下列各题： ()由方程 y y 确定 (y)，求 ； ()方程 y e y 1 确定yy()，求 y()； ()设 2tan(y) 0 y sec 2
5、tdt，求 （分数：2.00）_23.设函数 f()有反函数 g()，且 f(a)3，f(a)1，f(a)2，求 g(3)（分数：2.00）_24.设 f()在(，)内二次可导，令 F() （分数：2.00）_25.把 y看作自变量， 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_26.设 f()连续且 （分数：2.00）_27.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f()，g()均在 0 处可导，且 f( 0 )g( 0 )，则 f( 0 )g( 0 )； ()若 ( 0 ， 0 )， 0 时 f()g()，则f()与 g()在 0 处有相同的可导性； ()若存在 0 的一个邻域( 0 ，
6、0 )，使得 ( 0 ， 0 )时 f()g()，则 f()与 g()在 0 处有相同的可导性若可导，则 f( 0 )g( 0 )（分数：2.00）_28.说明下列事实的几何意义： ()函数 f()，g()在点 0 处可导，且 f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )； ()函数)yf()在点 0 处连续，且有 （分数：2.00）_29.设 f()存在，求极限 （分数：2.00）_30.设函数 f()在 0 处存在f + ( 0 )与 f( 0 )，但 f + ( 0 )f - ( 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_31.设 f()在 a 可导，且 f(a)1，f(a
7、)3，求数列极限 （分数：2.00）_32.求下列函数的导数 y： ()yarctan ： ()y （分数：2.00）_33.设 y(1 2 ) arctan ，求 y（分数：2.00）_34.设 yf()可导，且 y0 ()若已知 yf()的反函数 (y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式； ()若又设 yf()二阶可导，则 （分数：2.00）_35.设 a为常数，求 （分数：2.00）_36.()设函数 yy()由方程 sin( 2 y 2 )e y 2 0 所确定，求 ； ()设 e +y y 确定 yy()，求 y，y； ()设函数 yf(，y)，其中 f具有二阶导数，且 f
8、1，求 （分数：2.00）_37.设 f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）-试卷 1答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)AC.不一定可导，但 f - (a)AD.可导，且 f(a)A解析：解析：只有极限 存在并不能保证极限3.设有多项式 P() 4 （分数：2.00）A.P( 0 )0B.P( 0 )0C.P( 0 )0D.P( 0 )
9、0 解析：解析：注意 P()在(，)连续，又 P() 0 时 P()0 4.设 f()3 2 2 ，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：实质上就是讨论 g() 2 时，g (n) (0) 的最高阶数 n 5.设 f() （分数：2.00）A.a0，b0 B.a1，b1C.a为D.a为解析：6.设 f(a)0，则 （分数：2.00）A.f()f(a)(a，a)B.f()f(a)(a，a)C.f()f(a)(a，a)，f()f(a)(a，a) D.f()f(a)(a，a)，f()f(a)(a，a)解析：解析：直接由定义出发 f(a) 0
10、 由极限的保序性 0，当 (a，a)，a 时7.设 f() （分数：2.00）A.f()在 0 处不连续B.f(0)存在C.f(0)不 ，曲线 yf()在点(0，0)处不D.f(0)不 解析：解析：显然 f()0f(0)又 yf()的图形见图 21 因此，f(0)不，yf()在(0，0)8.设函数 yf()可微，且曲线 yf()在点( 0 ，f( 0 )处的切线与直线 y2 垂直，则 （分数：2.00）A.1B.0 C.1D.不存在解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f()是 2014个因式的
11、乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 1 代入每个因式后，只有第一项 tan 10，而其余所有项都不等于 0记g() 则 g(1) (1n)(2013)!，于是10.若函数 f()在 1 处的导数存在，则极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9f(1)）解析：解析：按导数定义，将原式改写成 原式11.设 f(0)1，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式12.设 k为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k）解析：解析：原式13.设 y 且 f()arcta
12、n 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：yf(u)，u ，u 0 1 14.设 ysin 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用微分之商来求15.设 f()有任意阶导数且 f()f 3 ()，则 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2n1)!f 2n+1 ()）解析：16.设 yln(1 2 )，则 y (5) (0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：y 为偶函数 y (5) ()为奇函数 17.设 （分数：2.00）填
13、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.曲线(1) 3 y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y37）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(1) 3 y 2 两边对 求导，得 3(1) 2 2yy 令5，y8 即得)，y(5)3故曲线(1) 3 y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y83(5) 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.计算下列各题： ()设 ()设 ()设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21
14、.计算下列各题： ()设 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ； ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算下列各题： ()由方程 y y 确定 (y)，求 ； ()方程 y e y 1 确定yy()，求 y()； ()设 2tan(y) 0 y sec 2 tdt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()两边取对数得 ylnlny，两边对 y求导，并注意 (y)，得 上式两边乘 y，并移项得(y 2 ylny) 2 yln解出 ()e y y ，两边取对数得 ylny对 求导(注意 yy()得 将 的方程 两边对 求导得 解出 并代入 表达式得
15、注意 ylny，于是 ()注意 yy()，将方程两边对 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 2 )解析：23.设函数 f()有反函数 g()，且 f(a)3，f(a)1，f(a)2，求 g(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 yf()应注意到，g()为 f()的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g()改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f()g(y)1，将该等式两边关于戈求导得 f()g(y)f()g(y)y 0， 或 f()g(y)f() 2 g(y)0 注意到 g(3) )解析：24.设 f()在(，)内二次可导，令 F() （分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案：对任何常数 A，B，C，由 F()的定义及题设可知 F()分别在(， 0 ，( 0 ，)连续，分别在(， 0 )，( 0 ，)二次可导从而，为使 F()在(，)二次可导，首先要使 F()在 0 右连续，由于 F( 0 0)F( 0 )f( 0 )，F( 0 0)C，故 F()在(，)连续得 Cf( 0 ) 在 Cf( 0 )的情况下，F()可改写成 故F()在(，)可导 Bf( 0 ) 在 Cf( 0 )，Bf( 0 )的情况下，F()可改写成 故 F()在(，)内二次可导 2Af( 0 ) f( 0 ) 综合得，当A )解析：25.把 y看作自变量， 为因变量，变换
17、方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程中的 来表示 由反函数求导法得 再由复合函数求导法及反函数求导法得： 将它们代入原方程得 )解析：26.设 f()连续且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()的表达式中，积分号内含参变量 ，通过变量替换转化成变限积分 0 时，() 0 f(s)ds；0 时，(0) 0 1 f(0)dtf(0) 由 f()在 0连续及 2，则 f(0) 200 因此 () 求 ()即求这个分段函数的导数，0 时与变限积分求导有关，0 时可按定义求导 最后考察 ()的连续性显然，0 时 ()连续，又 )解析：27.判断下列结论是否正确?为什么? ()
18、若函数 f()，g()均在 0 处可导，且 f( 0 )g( 0 )，则 f( 0 )g( 0 )； ()若 ( 0 ， 0 )， 0 时 f()g()，则f()与 g()在 0 处有相同的可导性； ()若存在 0 的一个邻域( 0 ， 0 )，使得 ( 0 ， 0 )时 f()g()，则 f()与 g()在 0 处有相同的可导性若可导，则 f( 0 )g( 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f( 0 )g( 0 )不能保证 f( 0 )=g( 0 )正如曲线 y()与 yg()可在某处相交但并不相
19、切 ()不正确例如 f() 2 ，g() 显然，当 0 时 f()g()，但 f()在 0 处可导，而 g()在 0 处不可导(因为 g()在 0 不连续) ()正确由假设可得当 ( 0 ， 0 )， 0 时 )解析：28.说明下列事实的几何意义： ()函数 f()，g()在点 0 处可导，且 f( 0 )g( 0 )，f( 0 )g( 0 )； ()函数)yf()在点 0 处连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()曲线 yf()，yg()在公共点 M 0 ( 0 ，f( 0 )即( 0 ，g( 0 )处相切 ()点 0 是 f()的不可导点曲线 yf()在点 M 0 ( 0
20、 ，f( 0 )处有垂直于 轴的切线 0 (见图 21) )解析：29.设 f()存在，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按导数定义，将原式改写成 )解析：30.设函数 f()在 0 处存在f + ( 0 )与 f( 0 )，但 f + ( 0 )f - ( 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 是 f()的不可导点曲线在点 M 0 ( 0 ，f( 0 )处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 yf()的尖点)，见图 22 )解析：31.设 f()在 a 可导，且 f(a)1，f(a)3，求数列极限 （分数：2.00）_
21、正确答案：(正确答案：这是指数型列极限，先转化成 ， 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知 )解析：32.求下列函数的导数 y： ()yarctan ： ()y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()当 0 时，由求导法则得 f() ；当 0 时，由导数定义得 )解析：33.设 y(1 2 ) arctan ，求 y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将函数化为 y ，然后对 求导即得 y(1 2 ) arctan arctanln(1 2 ) )解析：34.设 yf()可导，且 y0 ()若已知 yf()的反函数 (y)可导，
22、试由复合函数求导法则导出反函数求导公式； ()若又设 yf()二阶可导，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 yf()的反函数是 (y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 yf(y)，两边对 y求导得 () )解析：35.设 a为常数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 继续对 求导，并注意 t是 的函数，得 )解析：36.()设函数 yy()由方程 sin( 2 y 2 )e y 2 0 所确定，求 ； ()设 e +y y 确定 yy()，求 y，y； ()设函数 yf(，y)，其中 f具有二阶导数，且 f1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案：()将原方程两边直接对 求导数，并注意 y是 z的函数，然后解出 y即可由 (22yy)cos( 2 y 2 )e y 2 2y.y0 得 y ()注意 y是 的函数，将方程两端对 求导得 e +y (1y)y，即 y (这里用方程 e +y y 化简) 再将 y的表达式对 求导得 y 或将 满足的方程 两边对 求导得 ，再代入 的表达式，同样可求得 ()yy()由方程 f(y)y0 确定，f 为抽象函数，若把 f(y)看成 f(u)，而 uy，yy()，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f()，及其导函数 f(y)均是 的复合函数 将 yf(y)两边对 求导，并注意 y是 的函数，f 是关于 的复合函数，有 yf.(1y)，即 y (其中 ff(y) 又由 y(1y)，f再对 求导，并注意 y是 的函数，f即 f(y)仍然是关于 的复合函数，有 y(1y)f(1y)(f) yf(1y)f.(1y)yf(1y) 2 f， 将 y 代入并解出 y即得 y (其中 ff(y)，ff(y) 或直接由 y 再对 求导，同样可求得 y )解析：37.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中用到了等价无穷小因子替换： )解析：
