1、考研数学二-高等数学一元函数积分学及答案解析(总分：275.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：52.00)1.设 f(x)在(-，+)内连续，下述 4 个命题对任意正常数 为奇函数；对任意正常数 为偶函数；对任意正常数 a 及常数 0， 有周期 ； 对 x 有周期 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的区域的面积为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)为连续函数，下述论断正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)为奇函数，则它有且仅有一个原函数是偶函数B.若 f(x)为偶
2、函数，则它有且仅有一个原函数是奇函数C.若 f(x)为周期函数，则它有且仅有一个原函数是周期函数D.若 f(x)为周期函数，则它的一切原函数都是周期函数5.下列反常积分收敛的是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数，且满足 f(x+)=-f(x)，设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列反常积分发散的是（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在)，则以下 4 个结论中不正确的是（分数：4.00）A.f(x)必以 T 为周期B.必以 T 为周期
3、C.必以 T 为周期D.必以 T 为周期10.设 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是（分数：4.00）A.若 f(t)为奇函数，则B.若 f(t)为偶函数，则C.若 f(t)为奇函数，则D.若 f(t)为偶函数，则12.设 （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 m，n 均为正整数，则反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：48.00)14.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)存在，则 （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填
4、空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18.曲线 y=x2，x 轴与 x=1 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周产生的旋转体的形心 x 坐标等于 1（分数：4.00）填空项 1:_19.常数 a0，心形线 r=a(1+cos)一周的长= 1（分数：4.00）填空项 1:_20.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_21. （分数：4.00）填空项 1:_22. （分数：4.00）填空项 1:_23. （分数：4.00）填空项 1:_24. （分数：4.00）填空项 1:_25. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：35，分数：175.00)26.求 （分数：5.
5、00）_27.求 （分数：5.00）_28.求 （分数：5.00）_29.求 （分数：5.00）_30.求 （分数：5.00）_31.求 （分数：5.00）_32.求 （分数：5.00）_33.求 （分数：5.00）_34.求 （分数：5.00）_35.3s求 （分数：5.00）_36.求 （分数：5.00）_37.求 （分数：5.00）_38.求 （分数：5.00）_39.设 ，求 （分数：5.00）_40.设 （分数：5.00）_41.计算 （分数：5.00）_42.求 （分数：5.00）_43.求 （分数：5.00）_44.求 （分数：5.00）_45.设 b 为常数，并设介于曲线 （分
6、数：5.00）_46.求两椭圆 （分数：5.00）_47.两个相同直径的圆柱体，其中心线垂直并相交，求圆柱公共部分的体积（分数：5.00）_48.求曲线 （分数：5.00）_49.星形线 求它所围成的图形 D 的面积；它的全长；绕 x 轴旋转而成的旋转面的全面积；D 绕 x 轴旋转成的旋转体体积（分数：5.00）_50.某闸门以 y 轴为对称轴，闸门上部为矩形，下部为抛物线 y=x2与 y=1(米)围成的抛物弓形，当水与闸门上部相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4，求矩形部分的高 h应为多少?（分数：5.00）_51.某建筑工程用汽锤将桩打进土层，将克服土层
7、对桩的阻力而做功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下深度成正比(比例系数 k0)，并设每打一次所做的功为前一次所做的功的 r 倍(0r1，为常数)已知第一次击打可将桩打进 a(米)，问经 3 次后，共可打进多少米?（分数：5.00）_52.设均匀细杆质量为 M，长为 l，放在 x 轴上，一端在坐标原点，另一端在点(l，0)，在 y 轴上点A(0，a)处有一质量为 m 的质点求该细杆对 m 的引力；当将 m 从点 A 移到 B(0，b)，ba0，问克服引力做了多少功?（分数：5.00）_53.设 f(x)在0，1上连续， 试证在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：5.00）_54.设 f(x
8、)在0，1上连续，在(0，1)可导，且 ，其中常数 k1证明存在 (0，1)，使（分数：5.00）_55.设 f(x)在a，b上连续，证明存在 a，b，使 （分数：5.00）_56.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证明：对于任何固定的 0，必存在唯一的 (a，b)，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f( )，x=a 所围的面积 S1是曲线 y=f(x)与两直线y=f( )，x=b 所围的面积 S2的 倍：S 1=S 2（分数：5.00）_57.设 F(X)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使 （分数：5.00）_58.设 f(x)在a，b上具有连续的二阶导
9、数，试证：存在 (a，b)，使（分数：5.00）_59.设 f(x)在0，1上单调减少正值连续，证明（分数：5.00）_60.设 x0，证明 （分数：5.00）_考研数学二-高等数学一元函数积分学答案解析(总分：275.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：52.00)1.设 f(x)在(-，+)内连续，下述 4 个命题对任意正常数 为奇函数；对任意正常数 为偶函数；对任意正常数 a 及常数 0， 有周期 ； 对 x 有周期 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：、正确，不正确对于，将 a 看成变量，两边对 a 求导，由*=-f(-a)*f(x)为奇函数反之，设 f(
10、x)为奇函数，*对于，其证明与类似对于，设*与 a 无关，于是*具有周*2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*3.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的区域的面积为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：*4.设 f(x)为连续函数，下述论断正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)为奇函数，则它有且仅有一个原函数是偶函数B.若 f(x)为偶函数，则它有且仅有一个原函数是奇函数 C.若 f(x)为周期函数，则它有且仅有一个原函数是周期函数D.若 f(x)为周期函数，则它的一切原函数都是周期函数解析：*5.下列反常积分收敛的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*6.
11、设 f(x)为连续函数，且满足 f(x+)=-f(x)，设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*7.下列反常积分发散的是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：*8.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*9.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在)，则以下 4 个结论中不正确的是（分数：4.00）A.f(x)必以 T 为周期B.必以 T 为周期 C.必以 T 为周期D.必以 T 为周期解析：*10.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*11.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是（分数：4.00）A.
12、若 f(t)为奇函数，则B.若 f(t)为偶函数，则C.若 f(t)为奇函数，则 D.若 f(t)为偶函数，则解析：*12.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*13.设 m，n 均为正整数，则反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*二、填空题(总题数：12，分数：48.00)14.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)存在，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*17. （分数：4.00）填空项 1:_ （
13、正确答案：*）解析：*18.曲线 y=x2，x 轴与 x=1 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周产生的旋转体的形心 x 坐标等于 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*19.常数 a0，心形线 r=a(1+cos)一周的长= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8a）解析：*20.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*21. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*22. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：*23. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3x+2ln|3sinx+4co
14、sx|+C）解析：*24. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*25. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：*三、解答题(总题数：35，分数：175.00)26.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：27.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：28.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：29.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：30.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：31.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：32.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：33.求 （
15、分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：34.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：35.3s求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：36.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：37.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：38.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：39.设 ，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：40.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：41.计算 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：42.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：43.求 （分数：5.00）_正确答案：
16、(解 这是反常积分，先计算不定积分*)解析：44.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：45.设 b 为常数，并设介于曲线 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：46.求两椭圆 （分数：5.00）_正确答案：(解 由两椭圆公共部分的对称性知：*)解析：47.两个相同直径的圆柱体，其中心线垂直并相交，求圆柱公共部分的体积（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：48.求曲线 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：49.星形线 求它所围成的图形 D 的面积；它的全长；绕 x 轴旋转而成的旋转面的全面积；D 绕 x 轴旋转成的旋转体体积（分数：5.00）_正确答案：(
17、解 *)解析：50.某闸门以 y 轴为对称轴，闸门上部为矩形，下部为抛物线 y=x2与 y=1(米)围成的抛物弓形，当水与闸门上部相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4，求矩形部分的高 h应为多少?（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：51.某建筑工程用汽锤将桩打进土层，将克服土层对桩的阻力而做功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下深度成正比(比例系数 k0)，并设每打一次所做的功为前一次所做的功的 r 倍(0r1，为常数)已知第一次击打可将桩打进 a(米)，问经 3 次后，共可打进多少米?（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：52.设均匀细杆
18、质量为 M，长为 l，放在 x 轴上，一端在坐标原点，另一端在点(l，0)，在 y 轴上点A(0，a)处有一质量为 m 的质点求该细杆对 m 的引力；当将 m 从点 A 移到 B(0，b)，ba0，问克服引力做了多少功?（分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：53.设 f(x)在0，1上连续， 试证在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：54.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)可导，且 ，其中常数 k1证明存在 (0，1)，使（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：55.设 f(x)在a，b上连续，证明存在 a，b，使 （分数：5.
19、00）_正确答案：(证明 *)解析：56.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证明：对于任何固定的 0，必存在唯一的 (a，b)，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f( )，x=a 所围的面积 S1是曲线 y=f(x)与两直线y=f( )，x=b 所围的面积 S2的 倍：S 1=S 2（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：57.设 F(X)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使 （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：58.设 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，试证：存在 (a，b)，使（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：59.设 f(x)在0，1上单调减少正值连续，证明（分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：60.设 x0，证明 （分数：5.00）_正确答案：(证明 *)解析：
