1、考研数学二-高等数学(三)1 及答案解析(总分：180.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：3.00)1.函数*的单调减少区间是_（分数：1.00）2.函数*在区间(0，+)上的最大值为_（分数：1.00）填空项 1:_3.若方程 x3-6x2-15x+a=0 恰有三个实根，则 a 的取值范围是_（分数：1.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：3，分数：12.00)4.下列四个命题中正确的是 (A) 设 x0(a，b)，函数 f(x)满足 f(x)0(0xx 0)和 f(x)0(x 0xb)，则 f(x) 在点 x=x0处取得它在(a，b)上的最大值 (B) 设 f(
2、x)在点 x=x0取得极大值，则存在正数 0，使函数 f(x)在(x 0-，x 0)中单调增加，在(x0，x 0+)中单调减少 (C) 设 f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 x=0 必是 f(x)的一个极值点 (D) 设 f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 f(0)=0（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知函数 f(x)当 x0 时满足 f“(x)+3f(x)2=xlnx，且 f(1)=0，则 (A) f(1)是函数 f(x)的极大值 (B) f(1)是函数 f(x)的极小值 (C) (1，f(1)是曲线 y=f(x)
3、的拐点 (D) f(1)不是函数 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)在(-，+)连续，其导函数 f(x)的图形如图(1)所示，则 (A) 函数 f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线 y=f(x)有一个拐点 (B) 函数 f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线 y=f(x)有一个拐点 (C) 函数 f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线 y=f(x)有两个拐点 (D) 函数 f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线 y=f(x)有两个拐点*（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：31，分
4、数：165.00)7.设*，求 y（分数：5.00）_8.设函数 y=y(x)由方程组*确定，求*（分数：5.00）_9.设 y=y(x)是由*确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值（分数：5.00）_10.设函数 f 具有二阶导数，且 f1求由方程 x2ey=ef(y)确定的隐函数 y=y(x)的一、二阶导数（分数：5.00）_11.设 y=y(x)是由方程*确定的隐函数，求 y（分数：5.00）_12.设*证明：f(x)在(-，+)上可导，并求 f(x)（分数：5.00）_设函数 f(x)与 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：（分数：10.00）(1).当 f
5、(x0)0 时，F(x)在点 x=x0处必可导；（分数：5.00）_(2).当 f(x0)=0 时，F(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 f(x0)g(x0)=0（分数：5.00）_13.设*讨论 f(x)在点 x=0 处的可导性；如果可导，求出 f(0)（分数：5.00）_14.求摆线*的曲率半径（分数：5.00）_15.求下列函数的 n 阶导数： () y=in(6x 2+7x-3)，(n1)；()y=sin 2(2x)，(n1)（分数：5.00）_16.如图 7-1，设曲线段 L 是抛物线 y=6-2x2在第一象限内的部分在 L 上求一点 M，使过 M 点 L 的切线 AB与两坐
6、标轴和 L 所围图形的面积为最小 *（分数：5.00）_17.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(x)0 在(0，+)成立，求证：对任何 x1x 20 有 x1f(x2)x 2(x1)（分数：5.00）_18.求证：当 x0 时，不等式*成立（分数：5.00）_19.证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx2(x-1) 2（分数：5.00）_20.证明不等式(a+b)e a+bae2a+be2b当 ba0 时成立（分数：5.00）_21.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，0f(x)1(0x1)求证： *（分数：5.00）_22.设函数 f(x)在0，+
7、)有连续的一阶导数，在(0，+)二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，又当 x0 时满足不等式 * 求证：当 x0 时 f(x)x 2成立（分数：5.00）_23.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1，*求证：对任何满足 0k1 的常数 k，存在 (0，1)，使 f()=-k（分数：5.00）_24.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)，其中 c 是(a，b)内的一点，且在a，b内的任何区间，上 f(x)不恒等于常数求证：在(a，b)内至少存在一点 f，使 f“()0（分数：5
8、.00）_25.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，求证：至少存在一点 (0，1)，使得(2+1)f()+f()=0（分数：5.00）_26.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 * 证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()=(1- -1)f()（分数：5.00）_27.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0求证，*，使得 *（分数：5.00）_设函数 f(x)在a，b上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0求证：（分数：10.00）(1).*（分数：5.00）_(2).*（
9、分数：5.00）_28.求 ln(1+x-x2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到 x4项（分数：5.00）_29.求极限*（分数：5.00）_30.确定常数 a 和 b 的值，使*当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量（分数：5.00）_31.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域中二次可导，*，求 f(0)，f(0)与 f“(0)的值（分数：5.00）_32.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：5.00）_33.设 f(x)在(-，+)上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中
10、a，b 是两个正的常数，求证：*有 * （分数：5.00）_34.设函数 f(x)在(-，+)三阶可导，且存在正数 M，使得|f(x)|M，*对*成立求证：f(x)，f“(x)在(-，+)有界（分数：5.00）_35.设函数 f(x)在a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)使得 *（分数：5.00）_考研数学二-高等数学(三)1 答案解析(总分：180.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：3.00)1.函数*的单调减少区间是_（分数：1.00）解析：解析 由 f(x)的分段表示知，f(x)分别在(-1，0)和0，+)连续，又因*，即 f(x)在 x=0也是左连续
11、的，故 f(x)在(-1，+)上连续 计算 f(x)的导函数，得 * 引入函数 g(x)=x-(1+x)ln(1+x)，不难发现 g(0)=0，且 g(x)=-ln(1+x)0，当-1x0 时成立，这表明当-1x0 时 g(x)g(0)=0 成立，由此可得当-1x0 时 f(x)0 也成立 由 f(x)在(-1，0连续，且 f(x)0 在(-1，0)成立知 f(x)在(-1，0单调减少；同理，由 f(x)在0，+)连续，且 f(x)=-10 在(0，+)成立知 f(x)在0，+)也单调减少 综合即得 f(x)的单调减少区间为(-1，+)2.函数*在区间(0，+)上的最大值为_（分数：1.00）
12、填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 * 故函数 f(x)在点*处取得它在(0，+)上的最大值，且最大值为 *3.若方程 x3-6x2-15x+a=0 恰有三个实根，则 a 的取值范围是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-8a100）解析：解析 把方程改写成 f(x)=a 的形式，其中函数 f(x)=15x+6x2-x3由于 f(x)=15+12x-3x2=3(5-x)(1+x)， 于是列表讨论可得 * 且* 从而，当-8a100 时直线 y=a 与曲线 y=f(x)恰有三个交点，即原方程恰有三个实根二、选择题(总题数：3，分数：12.00)4.下列四个命题中正确的是
13、 (A) 设 x0(a，b)，函数 f(x)满足 f(x)0(0xx 0)和 f(x)0(x 0xb)，则 f(x) 在点 x=x0处取得它在(a，b)上的最大值 (B) 设 f(x)在点 x=x0取得极大值，则存在正数 0，使函数 f(x)在(x 0-，x 0)中单调增加，在(x0，x 0+)中单调减少 (C) 设 f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 x=0 必是 f(x)的一个极值点 (D) 设 f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 f(0)=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)在区间(-a，a
14、)内可导且为偶函数，故 f(x)在(-a，a)内必为奇函数，即*(-a，a)有 f(-x)=-f(x)特别对 x=0 有 f(0)=-f(0)*f(0)=0故应选(D)其他三个命题均不正确 (A)不正确：条件中缺 f(x)在 x=x0处连续例如： * 尽管 f(x)=1 当-1x0 成立，f(x)=-1 当 0x1 成立，但当 0|x|1 时都有 f(0)=-1f(x)这表明 f(0)并不是 f(x)在(-1，1)上的最大值 (B)不正确：函数 f(x)在 x=x0取极值与它在 x=x0两侧附近单调并无必然联系例如： * 因*，故 f(0)是 f(x)的极大值，但 * * 由此可见，无论取正数
15、 多么小，在(-，0)与(0，)中导函数 f(x)总要无穷多次变号，即 f(x)不可能在这样的区间中单调 (C)也不正确：考察函数 * 尽管 f(x)是(-，+)上的偶函数，但无论 是多么小的正数，在区间(-，)中 f(x)总要变号，即f(0)不是 f(x)的极值，亦即点 x=0 不是 f(x)的极值点5.已知函数 f(x)当 x0 时满足 f“(x)+3f(x)2=xlnx，且 f(1)=0，则 (A) f(1)是函数 f(x)的极大值 (B) f(1)是函数 f(x)的极小值 (C) (1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点 (D) f(1)不是函数 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲
16、线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设知 f“(x)=xlnx-3f(x)2(x0)，这表明 f“(x)在 x0 时存在，于是 f(x)在 x0连续由上式即知 f“(x)在 x0 时连续利用洛必达法则，可得 * 由极限的保号性质知，f“(x)在 x=1 的某空心邻域中与 x-1 同号，即在此邻域中当 x1 与 x1 时 f“(x)反号从而(1，f(1)是连续曲线 y=f(x)的拐点故应选(C)6.设函数 f(x)在(-，+)连续，其导函数 f(x)的图形如图(1)所示，则 (A) 函数 f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线 y=f(x)有一个拐点 (
17、B) 函数 f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线 y=f(x)有一个拐点 (C) 函数 f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线 y=f(x)有两个拐点 (D) 函数 f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线 y=f(x)有两个拐点*（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由图(1)知函数 f(x)有三个驻点 a，b，d，其导函数 f(x)有一个驻点 c，如图(2)列表讨论函数 f(x)的单调性与极值，可得x (-，a) a (a，0) 0 (0，b) b (b，d) d (d，+)f + 0 - * - 0 + 0 -f 极大值 极小值 极大值 由此可见，函数 f(x)有两
18、个极大值点与一个极小值点，于是可排除(B)与(D) 又由导函数 f(x)的图形知，在区间(-，0)内 f(x)单调减少，在区间(0，c上 f(x)单调增加，在区间c，+)上 f(x)单调减少由于曲线 y=f(x)是连续曲线，故曲线 y=f(x)在(-，0是凸弧，在0，c是凹弧，在c，+)又是凸弧，这表明曲线 y=f(x)有两个拐点 综合可知，应选(C)三、解答题(总题数：31，分数：165.00)7.设*，求 y（分数：5.00）_正确答案：(解 因为* 又因为*，于是 * 所以 *)解析：8.设函数 y=y(x)由方程组*确定，求*（分数：5.00）_正确答案：(解 将两式分别求微分，得 *
19、 从而 * 再求导即得 *)解析：9.设 y=y(x)是由*确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值（分数：5.00）_正确答案：(解 在方程中令 x=0 可得* 将方程两边对 x 求导数，得* (*) 将 x=0,y(0)=e2代入，有 * 将(*)式两边再对 x 求导数，得 * 将 x=0，y(0)=e 2和 y(0)=e-e4代入，有 *)解析：10.设函数 f 具有二阶导数，且 f1求由方程 x2ey=ef(y)确定的隐函数 y=y(x)的一、二阶导数（分数：5.00）_正确答案：(解 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程 2ln|x|+y=f(y) 将新方程两边对 x 求导
20、数，得* (*) 可解出* 将(*)式两边再对 x 求导数，又得* 于是，可解出*)解析：11.设 y=y(x)是由方程*确定的隐函数，求 y（分数：5.00）_正确答案：(解 将方程两边对 x 求导数，利用变上限定积分求导公式得 * 可解出 *)解析：12.设*证明：f(x)在(-，+)上可导，并求 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(证明 由初等函数的连续性及 f(x)的定义知，f(x)分别在(-，1和(1，+)连续，且 * 于是 f(x)在点 x=1 还是右连续的，故 f(x)在(-，+)上连续 由于函数 2x-2+ 在 x=1 连续，从而 f(x)也可以写成 * 于是 f(x)在(
21、-，1)内可导，在 x=1 左导数存在，且 * 同样，f(x)在(1，+)内可导，在 x=1 右导数存在，且 * 因为 f-(1)=f+(1)=2，故 f(x)在 x=1 可导，且 f(1)=2 综合得 *)解析：设函数 f(x)与 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：（分数：10.00）(1).当 f(x0)0 时，F(x)在点 x=x0处必可导；（分数：5.00）_正确答案：(当 f(x0)0 时，由 f(x)的连续性知：存在 0，使得当|x-x 0| 时 f(x)与 f(x0)同号若 f(x0)0，则当|x-x 0|6 时有 F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)
22、f(x)， 从而 F(x)在 x=x0处可导，且 F(x0)=g(x0)f(x0)+g(x0)f(x0)类似可证当 f(x0)0 时 F(x)也在 x=x0处可导)解析：(2).当 f(x0)=0 时，F(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 f(x0)g(x0)=0（分数：5.00）_正确答案：(当(x 0)=0 时，F(x 0)7=g(x0)|f(x0)|=0，从而 F(x)在点 x=x0处的左导数与右导数分别是 * * 故当 f(x0)=0 时，|F(x)|在点 x=x0处可导的充分必要条件为 * 此外，不难发现，此时 F(x)=g(x)|f(x)|在点 x=x0处的导数 F(x0)
23、=0)解析：13.设*讨论 f(x)在点 x=0 处的可导性；如果可导，求出 f(0)（分数：5.00）_正确答案：(解 根据定义，计算极限 * 利用当 y0 时的等价无穷小关系 ln(1+y)y 和 ey-1y 以及洛必达法则可得 * * 由于上述极限存在，故 f(x)在 x=0 处可导，且*)解析：14.求摆线*的曲率半径（分数：5.00）_正确答案：(解 因为* * 故摆线的曲率半径 *)解析：15.求下列函数的 n 阶导数： () y=in(6x 2+7x-3)，(n1)；()y=sin 2(2x)，(n1)（分数：5.00）_正确答案：(因为 6x 2+7x-3=(3x-1)(2x+
24、3)，所以 * 故 * 其中 0!=1 () 因为 *，所以 *)解析：16.如图 7-1，设曲线段 L 是抛物线 y=6-2x2在第一象限内的部分在 L 上求一点 M，使过 M 点 L 的切线 AB与两坐标轴和 L 所围图形的面积为最小 *（分数：5.00）_正确答案：(解 设曲线 L 上点 M 的坐标为(x，6-2x 2)，则 L 在该点的切线方程为 Y=6-2x2-4x(X-x)， 令 y=0，可得点 A 的横坐标为*，令 X=0 可得点 B 的纵坐标为 b=2(3+x2)，从而所求图形的面积为 * 由于*为一常数，可见 S 与 ab 将在同一点处取得最小值 记*，不难得出 * 故当 x
25、=1 时面积 S 最小，即所求点 M 为(1，4)解析：17.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(x)0 在(0，+)成立，求证：对任何 x1x 20 有 x1f(x2)x 2(x1)（分数：5.00）_正确答案：(分析* 可见只需证 g(x)0 在(0，+)成立 证明* 当 x0 时 g(x)与*同号由拉格朗日中值定理知，*，使 * 再用一次拉格朗日中值定理，可得*(其中 x)，即 g(x)0 当 x0 时成立从而*有 g(x2)g(x 1)，故原不等式成立)解析：18.求证：当 x0 时，不等式*成立（分数：5.00）_正确答案：(证明 令*，只需证明当 x0 时 f(x)0 成立
26、由于 f(0)=0，且 * 在 f(x)的分子中 5x2+3x(e2x-1)0 当 x0 时成立，而分母 e2x+x0 当 x0 时也成立，故若 g(x)=1+2xe2x-e2x0 当 x0 时还成立，即得 f(x)0 当 x0 时成立，于是 f(x)当 x0 时单调增加*当x0 时 f(x)f(0)=0 成立，即不等式成立得证 由于 g(0)=0，g(x)=4xe 2x0(*)成立，故 g(x)在 x0 单调增加，即 g(x)g(0)=0 当 x0 时成立 综合即得原不等式在 x0 成立)解析：19.证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx2(x-1) 2（分数：5.00）_正确答案：(证明
27、 注意到当 x=1 时原不等式两端相等，而当 xl 时原不等式*，当 0x1 时原不等式*，故作辅助函数 * 有 F(1)=0，求导数可得 * 从而，当 0x1 时由 F(x)单调增加得 F(x)F(1)=0，当 x1 时由 F(x)单调增加得 F(x)F(1)=0，即要证的不等式成立)解析：20.证明不等式(a+b)e a+bae2a+be2b当 ba0 时成立（分数：5.00）_正确答案：(证法一 不等式可改写为 aea(eb-ea)be b(eb-ea)，因 ba0 时 ebe a，从而又可改写为等价形式 aeabe b把 b 改写为 x，引入函数 f(x)=xex，即需证 f(x)f(
28、a)当 xa0 时成立 因为 f(x)=(x+1)ex0 当 x0 时成立，从而 f(x)在区间a，+)(a0)上单调增加，故当 xa 时 f(x)f(a)成立，即原不等式成立 证法二 引入函数 g(x)=xe2x，则原不等式可改写成 * 当 y=g(x)在区间a，b上是凹弧时，显然上式成立(如图 8-1)注意 g“(x)=4(1+x)e2x0(x0)， * 这表明当 ba0 时曲线 y=g(x)在a，b上确为凹弧，故原不等式成立)解析：21.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，0f(x)1(0x1)求证： *（分数：5.00）_正确答案：(分析一 为利用函数
29、的单调性来证明本题，可引入辅助函数*，于是本题结论与 F(1)0等价注意 F(0)=0，故只需证明 F(x)在0，1单调增加 证明一 引入辅助函数*，则 F(x)在0，1可导，且 F(0)=0， * 分析二由题设知当 x(0，1时 f(x)0，从而 * 若引入辅助函数*，则 F(0)=G(0)=0，从而进一步有 * 证明二令*，由柯西中值定理即得存在 (0，1)使得 * 再令*，于是再用柯西中值定理可知存在 (0，)使得 *)解析：22.设函数 f(x)在0，+)有连续的一阶导数，在(0，+)二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，又当 x0 时满足不等式 * 求证：当 x0 时 f(x)x 2
30、成立（分数：5.00）_正确答案：(分析与证明 由题设知，当 x0 时 * 其中 ln(1+x)x(x0)，这是因为：记 g(x)=x-ln(1+x)(x0)，则*(x0)，故 g(x)在0，+)单调增加，从而 g(x)g(0)=0(x0) 方法 1由麦克劳林公式可得 * 方法 2令 F(x)=x2-f(x)， *)解析：23.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1，*求证：对任何满足 0k1 的常数 k，存在 (0，1)，使 f()=-k（分数：5.00）_正确答案：(分析 这是讨论导函数在某点取定值的问题，可化归导函数零点的存在性问题g
31、* 这启示我们检验函数 F(x)=f(x)+kx 是否在区间0，1或它的某一子区间，上满足罗尔定理的全部条件 注意 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 * 从而 * 即 F(0)是*和 F(1)的一个中间值，由 F(x)的连续性和有界闭区间上连续函数的性质知，*c(*，1)，使 F(c)=F(0)，由此可见在闭区间0，c上对 F(x)应用罗尔定理即可得出要证明的结论 证明 令 F(x)=f(x)+kx，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(x)=f(x)+k，F(0)=1，*，F(1)=1+k，即* 由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在*使 F(c)=F(0)，从而 F(x)在区间0，c上满足罗尔定理的条件，故存在*使 F()=f
