1、考研数学二-高等数学(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.*=_（分数：4.00）填空项 1:_2.* 1（分数：4.00）填空项 1:_3.设 f(x)可导且单调增加，并满足 f(0)=0，f(0)=*已知方程 xef(y)=ey确定隐函数 y=y(x)，则曲线y=y(x)在点(1，0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_4.设函数 f(x)在1，+)上连续，且反常积分*收敛，并满足*，则函数 f(x)的表达式是_（分数：4.00）填空项 1:_5.微分方程 y“+y=x+2cosx 的通解是 y=_（分数：4.
2、00）填空项 1:_二、选择题(总题数：5，分数：20.00)6.设函数 f(x)具有连续导数，且*，则 (A) f(0)=0 且 f(0)=2 (B) f(0)=0 且 f(0)=1 (C) f(0)=-1 且 f(0)=2 (D) f(0)=-1 且 f(0)=1（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时*是 kxn的等价无穷小，则 *（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)在(-1，1)有定义且 x=0 是 f(x)的一个间断点，则在点 x=0 处必间断的一个函数是 (A) f(x)+sinx (B) f(x)sinx (C) |f(x)| (D) f2(x)（分数
3、：4.00）A.B.C.D.9.若常数 a，b，c 满足*，则 a，b，c 分别是 *（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 D 是有界闭区域，则下列命题 若 f(x，y)在 D 连续且 f(x，y)0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)在 D 可积，f(x，y)0，0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)在 D 连续，f(x，y)0，0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)在 D 连续，*，则 f(x，y)=0(x，y)D) 中正确的是 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ，（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求根限*（分数：6.
4、00）_12.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数，又 f(0)=0，*求证：F(x)在 x=0 有连续导数（分数：6.00）_13.已知质量分别为 m1与 m2且距离为 r 的两个质点之间引力的大小为*，其中常数 k0 是引力系数求长度分别为 l1与 l2，质量分别为 M1与 M2，相邻两端点距离为 a，且位于一条直线上(如图)的两条均匀细杆之间引力的大小 *（分数：6.00）_14.设函数 f(x)在(-，+)内具有三阶导数，且*求证：*有 *（分数：6.00）_15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0求证：存在 (0，1)使 *（分数：6.
5、00）_16.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1，求*（分数：6.00）_17.设*求*，其中 D=(x，y)|x 2+y22y（分数：6.00）_18.设有二元可微函数 F(x，y)=f(x)g(y)，若在极坐标系中可写成*，求 F(x，y)（分数：6.00）_19.设方程 ez=1+xz+x2+y2确定隐函数 z=z(x，y)，求 dz 与 z“xy。（分数：6.00）_（分数：6.00）(1).将累次积分*化成定积分，其中 a0 为常数；（分数：3.00）_(2).求*（分数：3.00）_考研数学二-高等数学(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90
6、分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.*=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是*型极限，若直接用洛必达法则，则计算较复杂先作恒等变形，即 * 然后用等价无穷小因子替换(x0) * 于是 * * 分析二 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题因为 * * 把它们代入要求的极限，可得 *2.* 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *3.设 f(x)可导且单调增加，并满足 f(0)=0，f(0)=*已知方程 xef(y)=ey确定隐函数 y=y(x)，则曲线y=y(x)在点(1，0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1
7、:_ （正确答案：x+2y=1）解析：解析 因*，故隐函数 y(x)满足方程 lnx+f(y)=y由 f(x)单调增加且满足 f(0)=0 知 y(1)=0将方程两端对 x 求导数，得*，用 x=1，y=0 代入便有 1+f(0)y(1)=y(1)， 即 * 于是曲线 y=y(x)在点(1，0)处的法线方程是 *4.设函数 f(x)在1，+)上连续，且反常积分*收敛，并满足*，则函数 f(x)的表达式是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令*，从而 * 代入即得 *5.微分方程 y“+y=x+2cosx 的通解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
8、y=C 1cosx+C2sinx+x+xsinx）解析：解析 这是二阶常系数线性微分方程特征方程是 2+1=0，特征根是 1=i 与 2=-i 利用解的迭加原理可设非齐次方程有特解 y*=A+Bx+x(Csinx+Dcosx)， 其中 A，B，C，D 是待定常数，由于 * 代入方程即得 * 于是可确定常数 A=0，B=1，C=1，D=0 故原方程的通解是 y=C 1cosx+C2sinx+x+xsinx，其中 C1与 C2是两个任意常数二、选择题(总题数：5，分数：20.00)6.设函数 f(x)具有连续导数，且*，则 (A) f(0)=0 且 f(0)=2 (B) f(0)=0 且 f(0)
9、=1 (C) f(0)=-1 且 f(0)=2 (D) f(0)=-1 且 f(0)=1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 求出 f(x)带皮亚诺余项的麦克劳林公式解本题由极限与无穷小的关系得 * 其中* * 又 * * 代入得 * 因此，f(0)=-1，f(0)=2，应选(C) 分析二 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题把 * 代入题设的极限，可得 * 从而 f(0)+1=0，*，即 f(0)=-1，f(0)=2 故应选(C) 分析三 利用极限的运算法则，导数的定义与洛必达法则来求解本题由题设可知 * 从而 * 又 * 故应选(C)7.已知当 x0 时*是 kxn的等价无穷小
10、，则 *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用洛必达法则，变限积分求导法与当 x0 时的等价无穷小关系 * 对 n0，有* 对 n3，再用洛必达法则，即得 * 从而当 x0 时 f(x)与*是等价无穷小故应选(B)8.设 f(x)在(-1，1)有定义且 x=0 是 f(x)的一个间断点，则在点 x=0 处必间断的一个函数是 (A) f(x)+sinx (B) f(x)sinx (C) |f(x)| (D) f2(x)（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 若 f(x)+sinx 在 x=0 连续，于是 f(x)=f(x)+sinx)-sinx 必在 x=0 连续，这与 f
11、(x)以 x=0为间断点矛盾故应选(A)9.若常数 a，b，c 满足*，则 a，b，c 分别是 *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设* 对任何常数 a 和 b，I(a，b)都是*型未定式，用洛必达法则可得 * 由于当 x0 时分子*，从而当 b+10 时对任何 a 都有 I(a，b)= 又因* 综合得 * 故应选(C)10.设 D 是有界闭区域，则下列命题 若 f(x，y)在 D 连续且 f(x，y)0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)在 D 可积，f(x，y)0，0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)在 D 连续，f(x，y)0，0(x，y)D)，则* 若 f(x，y)
12、在 D 连续，*，则 f(x，y)=0(x，y)D) 中正确的是 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ，（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由二重积分的比较性质知正确*正确(是的一种特例)j正确(若不然*(x，y)在 D 上连续，f 2(x，y)0，0(x，y)D)，由得*与已知矛盾) 命题是不正确的例如， * 其中(x 0，y 0)D 为某定点，显然当(x，y)D 时 f(x，y)0，0，但*三、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求根限*（分数：6.00）_正确答案：(解 把*换为 x 引入以 x 为自变量的函数*，并设数列x n的一般项*，于是 * 注意*是
13、“1 ”型未定式，且 * 用洛必达法则可得 * 故*)解析：12.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数，又 f(0)=0，*求证：F(x)在 x=0 有连续导数（分数：6.00）_正确答案：(分析与证明一 先求 F(0) * 再求 * 及 * 因此，F(x)在 x=0 连续 分析与证明二 先证 F(x)在 x=0 连续 * *连续 如同证法一* 于是 F(0)=2f(0)，F(x)在 x=0 连续)解析：13.已知质量分别为 m1与 m2且距离为 r 的两个质点之间引力的大小为*，其中常数 k0 是引力系数求长度分别为 l1与 l2，质量分别为 M1与 M2，相邻两端点距离为 a，且位于一
14、条直线上(如图)的两条均匀细杆之间引力的大小 *（分数：6.00）_正确答案：(解 建立坐标系如下图 * 把左、右两条均匀细杆上分别位于 xx+dx 与 yydy 的两个小段看成两个质点，则这两个质点的质量分别是*，它们之间的距离是 y-x，于是这两个质点间引力的大小是 dF=*，其中 x 的变化范围是从 0 到l1，y 的变化范围是从 l1+a 到 l1+a+l2按照迭加原理球积分可得两条均匀细杆间引力的大小为 *)解析：14.设函数 f(x)在(-，+)内具有三阶导数，且*求证：*有 *（分数：6.00）_正确答案：(证明 把要证明的不等式中的 b 改写为 x，问题转化为证明：对任何常数
15、a，当 xa 时有 * 注意 F(x)满足 F(a)=0，且 * 于是又可得 F(a)=0，且 * 这表明 F(x)在0，+)单调减少，于是*有 F(x)F(a)=0， 这又表明 F(x)在a，+)单调减少，于是*就有 F(x)F(a)=0， 即*有 *)解析：15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0求证：存在 (0，1)使 *（分数：6.00）_正确答案：(分析与证明 注意结论 f()+f()+=0 * 引入辅助函数 F(x)=ex(f(x)+x-1)，由题设知 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=f(0)-1=0，F(1)=
16、ef(1)=0，即 F(x)在0，1上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一个 (0，1)，使F()=0，即，f()+f()+=0)解析：16.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1，求*（分数：6.00）_正确答案：(解 将 D=(x，y)|0x1，0y1分成 D1=(x，y)|0xy1与 D2=(x，y)|0yx1 * * 但 D2又可分为曲线 y=x2上方及下方两块，于是 *)解析：17.设*求*，其中 D=(x，y)|x 2+y22y（分数：6.00）_正确答案：(解 如图，设 D1=(x，y)|1x 2+y22y，x0，则 * 当 x0 时曲线 x2+y2=2y
17、 与 x2+y2=1 的交点 M 的坐标满足 * 令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系(r，)，则点 M 的极坐标为(1，*)，从而，积分区域 D1在极坐标系(r，)中可表示为 * 故 *)解析：18.设有二元可微函数 F(x，y)=f(x)g(y)，若在极坐标系中可写成*，求 F(x，y)（分数：6.00）_正确答案：(分析与求解 * * 解此方程得 * * 同理得 * 因此 *，其中 C， 为任意常数)解析：19.设方程 ez=1+xz+x2+y2确定隐函数 z=z(x，y)，求 dz 与 z“xy。（分数：6.00）_正确答案：(解 利用一阶全微分形式不变性，得 * 由此可得 * 从而 *)解析：（分数：6.00）(1).将累次积分*化成定积分，其中 a0 为常数；（分数：3.00）_正确答案：(I(a)是二重积分 * 的一个累次积分，其中 Da：0y2a，*，它是半圆域，如图所示 改换极坐标，则 Da的极坐标表示是： * * 于是 *)解析：(2).求*（分数：3.00）_正确答案：(注意当 a0 +时 In(1+a2)a 2，于是 * 由二重积分中值定理知存在(，)D a，使得 * 其中 Da的面积为*，而当 a0 +时*)解析：
