1、考研数学二-高等数学(一)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:5,分数:20.00)1.*=_(分数:4.00)填空项 1:_2.* 1(分数:4.00)填空项 1:_3.设 f(x)可导且单调增加,并满足 f(0)=0,f(0)=*已知方程 xef(y)=ey确定隐函数 y=y(x),则曲线y=y(x)在点(1,0)处的法线方程是_(分数:4.00)填空项 1:_4.设函数 f(x)在1,+)上连续,且反常积分*收敛,并满足*,则函数 f(x)的表达式是_(分数:4.00)填空项 1:_5.微分方程 y“+y=x+2cosx 的通解是 y=_(分数:4.
2、00)填空项 1:_二、选择题(总题数:5,分数:20.00)6.设函数 f(x)具有连续导数,且*,则 (A) f(0)=0 且 f(0)=2 (B) f(0)=0 且 f(0)=1 (C) f(0)=-1 且 f(0)=2 (D) f(0)=-1 且 f(0)=1(分数:4.00)A.B.C.D.7.已知当 x0 时*是 kxn的等价无穷小,则 *(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 f(x)在(-1,1)有定义且 x=0 是 f(x)的一个间断点,则在点 x=0 处必间断的一个函数是 (A) f(x)+sinx (B) f(x)sinx (C) |f(x)| (D) f2(x)(分数
3、:4.00)A.B.C.D.9.若常数 a,b,c 满足*,则 a,b,c 分别是 *(分数:4.00)A.B.C.D.10.设 D 是有界闭区域,则下列命题 若 f(x,y)在 D 连续且 f(x,y)0(x,y)D),则* 若 f(x,y)在 D 可积,f(x,y)0,0(x,y)D),则* 若 f(x,y)在 D 连续,f(x,y)0,0(x,y)D),则* 若 f(x,y)在 D 连续,*,则 f(x,y)=0(x,y)D) 中正确的是 (A) , (B) , (C) , (D) ,(分数:4.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:10,分数:60.00)11.求根限*(分数:6.
4、00)_12.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数,又 f(0)=0,*求证:F(x)在 x=0 有连续导数(分数:6.00)_13.已知质量分别为 m1与 m2且距离为 r 的两个质点之间引力的大小为*,其中常数 k0 是引力系数求长度分别为 l1与 l2,质量分别为 M1与 M2,相邻两端点距离为 a,且位于一条直线上(如图)的两条均匀细杆之间引力的大小 *(分数:6.00)_14.设函数 f(x)在(-,+)内具有三阶导数,且*求证:*有 *(分数:6.00)_15.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=1,f(1)=0求证:存在 (0,1)使 *(分数:6.
5、00)_16.设 f(x,y)=maxx,y,D=(x,y)|0x1,0y1,求*(分数:6.00)_17.设*求*,其中 D=(x,y)|x 2+y22y(分数:6.00)_18.设有二元可微函数 F(x,y)=f(x)g(y),若在极坐标系中可写成*,求 F(x,y)(分数:6.00)_19.设方程 ez=1+xz+x2+y2确定隐函数 z=z(x,y),求 dz 与 z“xy。(分数:6.00)_(分数:6.00)(1).将累次积分*化成定积分,其中 a0 为常数;(分数:3.00)_(2).求*(分数:3.00)_考研数学二-高等数学(一)答案解析(总分:100.00,做题时间:90
6、分钟)一、填空题(总题数:5,分数:20.00)1.*=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 这是*型极限,若直接用洛必达法则,则计算较复杂先作恒等变形,即 * 然后用等价无穷小因子替换(x0) * 于是 * * 分析二 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题因为 * * 把它们代入要求的极限,可得 *2.* 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 *3.设 f(x)可导且单调增加,并满足 f(0)=0,f(0)=*已知方程 xef(y)=ey确定隐函数 y=y(x),则曲线y=y(x)在点(1,0)处的法线方程是_(分数:4.00)填空项 1
7、:_ (正确答案:x+2y=1)解析:解析 因*,故隐函数 y(x)满足方程 lnx+f(y)=y由 f(x)单调增加且满足 f(0)=0 知 y(1)=0将方程两端对 x 求导数,得*,用 x=1,y=0 代入便有 1+f(0)y(1)=y(1), 即 * 于是曲线 y=y(x)在点(1,0)处的法线方程是 *4.设函数 f(x)在1,+)上连续,且反常积分*收敛,并满足*,则函数 f(x)的表达式是_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 令*,从而 * 代入即得 *5.微分方程 y“+y=x+2cosx 的通解是 y=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:
8、y=C 1cosx+C2sinx+x+xsinx)解析:解析 这是二阶常系数线性微分方程特征方程是 2+1=0,特征根是 1=i 与 2=-i 利用解的迭加原理可设非齐次方程有特解 y*=A+Bx+x(Csinx+Dcosx), 其中 A,B,C,D 是待定常数,由于 * 代入方程即得 * 于是可确定常数 A=0,B=1,C=1,D=0 故原方程的通解是 y=C 1cosx+C2sinx+x+xsinx,其中 C1与 C2是两个任意常数二、选择题(总题数:5,分数:20.00)6.设函数 f(x)具有连续导数,且*,则 (A) f(0)=0 且 f(0)=2 (B) f(0)=0 且 f(0)
9、=1 (C) f(0)=-1 且 f(0)=2 (D) f(0)=-1 且 f(0)=1(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 求出 f(x)带皮亚诺余项的麦克劳林公式解本题由极限与无穷小的关系得 * 其中* * 又 * * 代入得 * 因此,f(0)=-1,f(0)=2,应选(C) 分析二 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题把 * 代入题设的极限,可得 * 从而 f(0)+1=0,*,即 f(0)=-1,f(0)=2 故应选(C) 分析三 利用极限的运算法则,导数的定义与洛必达法则来求解本题由题设可知 * 从而 * 又 * 故应选(C)7.已知当 x0 时*是 kxn的等价无穷小
10、,则 *(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 利用洛必达法则,变限积分求导法与当 x0 时的等价无穷小关系 * 对 n0,有* 对 n3,再用洛必达法则,即得 * 从而当 x0 时 f(x)与*是等价无穷小故应选(B)8.设 f(x)在(-1,1)有定义且 x=0 是 f(x)的一个间断点,则在点 x=0 处必间断的一个函数是 (A) f(x)+sinx (B) f(x)sinx (C) |f(x)| (D) f2(x)(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 若 f(x)+sinx 在 x=0 连续,于是 f(x)=f(x)+sinx)-sinx 必在 x=0 连续,这与 f
11、(x)以 x=0为间断点矛盾故应选(A)9.若常数 a,b,c 满足*,则 a,b,c 分别是 *(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 设* 对任何常数 a 和 b,I(a,b)都是*型未定式,用洛必达法则可得 * 由于当 x0 时分子*,从而当 b+10 时对任何 a 都有 I(a,b)= 又因* 综合得 * 故应选(C)10.设 D 是有界闭区域,则下列命题 若 f(x,y)在 D 连续且 f(x,y)0(x,y)D),则* 若 f(x,y)在 D 可积,f(x,y)0,0(x,y)D),则* 若 f(x,y)在 D 连续,f(x,y)0,0(x,y)D),则* 若 f(x,y)
12、在 D 连续,*,则 f(x,y)=0(x,y)D) 中正确的是 (A) , (B) , (C) , (D) ,(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由二重积分的比较性质知正确*正确(是的一种特例)j正确(若不然*(x,y)在 D 上连续,f 2(x,y)0,0(x,y)D),由得*与已知矛盾) 命题是不正确的例如, * 其中(x 0,y 0)D 为某定点,显然当(x,y)D 时 f(x,y)0,0,但*三、解答题(总题数:10,分数:60.00)11.求根限*(分数:6.00)_正确答案:(解 把*换为 x 引入以 x 为自变量的函数*,并设数列x n的一般项*,于是 * 注意*是
13、“1 ”型未定式,且 * 用洛必达法则可得 * 故*)解析:12.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数,又 f(0)=0,*求证:F(x)在 x=0 有连续导数(分数:6.00)_正确答案:(分析与证明一 先求 F(0) * 再求 * 及 * 因此,F(x)在 x=0 连续 分析与证明二 先证 F(x)在 x=0 连续 * *连续 如同证法一* 于是 F(0)=2f(0),F(x)在 x=0 连续)解析:13.已知质量分别为 m1与 m2且距离为 r 的两个质点之间引力的大小为*,其中常数 k0 是引力系数求长度分别为 l1与 l2,质量分别为 M1与 M2,相邻两端点距离为 a,且位于一
14、条直线上(如图)的两条均匀细杆之间引力的大小 *(分数:6.00)_正确答案:(解 建立坐标系如下图 * 把左、右两条均匀细杆上分别位于 xx+dx 与 yydy 的两个小段看成两个质点,则这两个质点的质量分别是*,它们之间的距离是 y-x,于是这两个质点间引力的大小是 dF=*,其中 x 的变化范围是从 0 到l1,y 的变化范围是从 l1+a 到 l1+a+l2按照迭加原理球积分可得两条均匀细杆间引力的大小为 *)解析:14.设函数 f(x)在(-,+)内具有三阶导数,且*求证:*有 *(分数:6.00)_正确答案:(证明 把要证明的不等式中的 b 改写为 x,问题转化为证明:对任何常数
15、a,当 xa 时有 * 注意 F(x)满足 F(a)=0,且 * 于是又可得 F(a)=0,且 * 这表明 F(x)在0,+)单调减少,于是*有 F(x)F(a)=0, 这又表明 F(x)在a,+)单调减少,于是*就有 F(x)F(a)=0, 即*有 *)解析:15.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=1,f(1)=0求证:存在 (0,1)使 *(分数:6.00)_正确答案:(分析与证明 注意结论 f()+f()+=0 * 引入辅助函数 F(x)=ex(f(x)+x-1),由题设知 F(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=f(0)-1=0,F(1)=
16、ef(1)=0,即 F(x)在0,1上满足罗尔定理的全部条件,故至少存在一个 (0,1),使F()=0,即,f()+f()+=0)解析:16.设 f(x,y)=maxx,y,D=(x,y)|0x1,0y1,求*(分数:6.00)_正确答案:(解 将 D=(x,y)|0x1,0y1分成 D1=(x,y)|0xy1与 D2=(x,y)|0yx1 * * 但 D2又可分为曲线 y=x2上方及下方两块,于是 *)解析:17.设*求*,其中 D=(x,y)|x 2+y22y(分数:6.00)_正确答案:(解 如图,设 D1=(x,y)|1x 2+y22y,x0,则 * 当 x0 时曲线 x2+y2=2y
17、 与 x2+y2=1 的交点 M 的坐标满足 * 令 x=rcos,y=rsin 引入极坐标系(r,),则点 M 的极坐标为(1,*),从而,积分区域 D1在极坐标系(r,)中可表示为 * 故 *)解析:18.设有二元可微函数 F(x,y)=f(x)g(y),若在极坐标系中可写成*,求 F(x,y)(分数:6.00)_正确答案:(分析与求解 * * 解此方程得 * * 同理得 * 因此 *,其中 C, 为任意常数)解析:19.设方程 ez=1+xz+x2+y2确定隐函数 z=z(x,y),求 dz 与 z“xy。(分数:6.00)_正确答案:(解 利用一阶全微分形式不变性,得 * 由此可得 * 从而 *)解析:(分数:6.00)(1).将累次积分*化成定积分,其中 a0 为常数;(分数:3.00)_正确答案:(I(a)是二重积分 * 的一个累次积分,其中 Da:0y2a,*,它是半圆域,如图所示 改换极坐标,则 Da的极坐标表示是: * * 于是 *)解析:(2).求*(分数:3.00)_正确答案:(注意当 a0 +时 In(1+a2)a 2,于是 * 由二重积分中值定理知存在(,)D a,使得 * 其中 Da的面积为*,而当 a0 +时*)解析: