1、考研数学二-练习八及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 A 是 mn 矩阵，C 与 n 阶单位矩阵等价，B=AC，若 r（分数：5.00）A.=r，rB.=r1，则必有 (A)C.r=r1D.r 与 r1的关系与矩阵 C 有关系(2)设 3 阶矩阵img2.设（分数：5.00）A.B.C.D.3.设矩阵 A=aij33满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵若 a11,a12,a13为 3 个相等的正数，则 a11为 （分数：5.00）A.B.C.D.4.设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A-
2、3E=O，(1)证明 A，A+2E，A+4E 可逆，并求它们的逆；(2)当 AE 时，判断A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.00）_5.设 （分数：5.00）_6. （分数：5.00）_7.设 （分数：5.00）_8.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，证明：（分数：5.00）_9.设 A，P 均为 3 阶矩阵，p T为 P 的转置矩阵，且 （分数：5.00）_10. （分数：5.00）_11.设 A，B 为 n 阶矩阵，如果 E+AB 可逆，证明矩阵 E+BA 可逆（分数：5.00）_12.设 A 为 3 阶可逆矩阵，得 A 的第 2 行一 3 倍加到第 1 行得 B，
3、再将 B 的第 1 列的 3 倍加到第 2 列得C记 （分数：5.00）A.B.C.D.13.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明 A-E 可逆，并求(A-E) -1（分数：5.00）_14.若 （分数：5.00）_15. （分数：5.00）_16.已知 A，B，A+B 都是 n 阶可逆矩阵证明 A-1+B-1可逆且(A -1+B-1)=B(A+B)-1A（分数：5.00）_17.已知 （分数：5.00）_18.设 A 是 n 阶非奇异阵， 是 n 维列向量，b 是常数，记分块矩阵（分数：5.00）_19.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得到矩阵
4、B，A *与 B*分别为 A 和 B 的伴随矩阵，则 （分数：5.00）A.交换 A*的第 1 列与第 2 列，得 B*B.交换 A*的第 1 行与第 2 行，得 B*C.交换 A*的第 1 列与第 2 列，得-B *D.交换 A*的第 1 行与第 2 行，得-B *20.已知 （分数：5.00）_考研数学二-练习八答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 A 是 mn 矩阵，C 与 n 阶单位矩阵等价，B=AC，若 r（分数：5.00）A.=r，rB.=r1，则必有 (A)C.r=r1 D.r 与 r1的关系与矩阵 C 有关系(
5、2)设 3 阶矩阵img解析：由于 C 和单位矩阵等价，故 r(C)=n 即 C 是可逆矩阵那么 r(B)=r(AC)=r(A)，所以应选(C)(2)根据伴随矩阵 A*秩的关系式*故 r(A*)=1*r(A)=2如果 a=b 易见 r(A)1，故可排除(A)(B)当 ab 时，矩阵 A 中有 2 阶子式*因此只要|A|=0 就可保证 r(A)=2因为*所以应选(C)2.设（分数：5.00）A.B. C.D.解析：解 观察矩阵 A，B 元素之问的关系，把矩阵 A 的第 3 列加到第 2 列，再把 1、2 两列互换就可得到矩阵 B(或者把 A 的 1、2 两列互换，再把第 3 列加到第 1 列)所
6、以*故本题应当选 B3.设矩阵 A=aij33满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵若 a11,a12,a13为 3 个相等的正数，则 a11为 （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解 因为 A*=AT，即*由此可知 a ij=Aij,*=1，2，3那么*再由 A*=AT，两边取行列式并利用|A *|=|A|n-1，|A T|=|A|得到|A| 2=|A|*|A|(|A-1)=0比较，得|A|=1 即*类似地，由 AA*=A*A=|A|E，因为 A*=AT，即有 AAT=|A|E 两边取行列式有|A| 2=|A|3，从而|A|=0 或 1亦即那么，由*就
7、是4.设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A-3E=O，(1)证明 A，A+2E，A+4E 可逆，并求它们的逆；(2)当 AE 时，判断A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.00）_正确答案：(证明 因 A2+2A-3E=O，故有*类似地，*(A+2E)可逆，且*又因(A+4E)(A-2E)=-5E，A+4E 可逆，且*(2)当 AE 时，A-EO，因 A2+2A-3E=(A+3E)(A-E)=O，即齐次方程组(A+3E)x=0 有非零解，故有|A+3E|=0，所以 A+3E 不可逆)解析：评注 要会用定义法求逆矩阵例如要求 A+5E 的逆矩阵，那就由已知条件出发，经恒等变形构造出(A+5E
8、)B=E 的形式，那么(A+5E) -1就是矩阵 B5.设 （分数：5.00）_正确答案：(证 因为 A，B 可逆，由拉普拉斯展开式(1.9)有*所以矩阵 H 可逆*故*)解析：6. （分数：5.00）_正确答案：(解 对于(A+B) -1没有运算法则，通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式(E+B)-1=E+(E+A)-1(E-A)-1=(E+A)-1(E+A)+(E+A)-1(E-A)-1=(E+A)-1(E+A+E-A)-1=2(E+A)-1-1*)解析：7.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 对 A 作初等变换，得*由 A 的等价阶梯形矩阵知当 a=b=0 时，A=O，r(A)
9、0；当 a=b0 时，r(A)=1；当 a+4b=0 时(此时 ab)，r(A)=4；当 ab 且 a-4b 时，r(A)=5)解析：评注 (1)本题也可通过计算行列式的值用定义法来分析讨论矩阵 A 的秩计算出|A|=(a+4b)(a-b) 4之后，当 a+4b0 且 a-b0 知 r(A)=5；当 a=b=0 知 A=O，此时 r(A)=0；当a=b0 易见 r(A)=1，当 a=-4b 且 b0 时，|A|=0 但*(2)因为 A 是实对称矩阵，必有 A 且 r(A)=r()那么当把矩阵 A 的特征值求出来，得到 后，亦可用 r()来求 r(A)8.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A
10、的伴随矩阵，证明：（分数：5.00）_正确答案：(证 若秩 r(A)=n，则|A|0，由于|A *|=|A|n-1，故|A *|0，所以秩 r(A*)=n若秩 r(A)n-1，则 A 中所有 n-1 阶子式均为 0，即行列式|A|的所有代数余子式均为 0，即 A*=O，故 r(A*)=0若秩 r(A)=n-1，则|A|=0 且 A 中存在 n-1 阶子式不为 0那么，由|A|=0 有AA*=|A|E=0从而 r(A)+r(A*)n，得 r(A*)1又因 A 中有 n-1 阶子式非 0，知有 AijO，即 A*O，得 r(A*)1，故 r(A*)=1)解析：9.设 A，P 均为 3 阶矩阵，p
11、T为 P 的转置矩阵，且 （分数：5.00）_正确答案：(解 注意到矩阵 P 经过两次列变换可得到矩阵 Q，*)解析：10. （分数：5.00）_正确答案：(解 因为*因此*是把 A 的 i，j 两列互换所以*又因*一般地*所以*故本题答案是*)解析：11.设 A，B 为 n 阶矩阵，如果 E+AB 可逆，证明矩阵 E+BA 可逆（分数：5.00）_正确答案：(证 (反证法)如果 E+BA 不可逆，则行列式|E+BA|=0，那么齐次方程组(E+BA)x=0 有非 0解设 是(E+BA)x=0 的非 0 解，即(E+BA)=0，0亦即 BA=-，0因为(E+AB)(A)=A+A(BA)=A-A=
12、0，且 A0(否则-=BA=BO=0 与 0 矛盾)所以齐次方程组(E+AB)x=0 有非 0 解，行列式|E+AB|=0 与 E+AB 可逆相矛盾)解析：12.设 A 为 3 阶可逆矩阵，得 A 的第 2 行一 3 倍加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的 3 倍加到第 2 列得C记 （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解 按已知条件，用初等矩阵描述有*那么*所以*故应选 A评注 关于矩阵的初等变换首先要看清是行变换还是列变换，这涉及到初等矩阵是左乘还是右乘的问题关于初等矩阵的逆矩阵、初等矩阵的方幂等应当清晰13.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明 A-E 可逆，并
13、求(A-E) -1（分数：5.00）_正确答案：(证 因 AB=A+B，即AB-A-B=O AB-A-B+E=E,A(B-E)-(B-E)=E，即 (A-E)(B-E)=E， (*)故 A-E 可逆，且(A-E) -1=B-E)解析：14.若 （分数：5.00）_正确答案：(解 这是基础题，考场上虽不会有这种考题，但求逆必须要过硬因为求逆会出现在矩阵方程、相似、方法一 (用伴随矩阵)*又代数余子式*故*方法二 (用初等行变换)*)解析：评注 (1)由于代数余子式的计算量较大，当 A 的阶数较高时一般不用*这一方法假如用这一方法求 A-1，那么求出 A*后不要忘记要除以|A|，再有就是要小心正负
14、号与排序(2)用初等行变换求 A-1的常规步骤：*15. （分数：5.00）_正确答案：(解 本题用行变换或者用分块矩阵都比较简捷*那么将 A 分块如下：*立即有*)解析：16.已知 A，B，A+B 都是 n 阶可逆矩阵证明 A-1+B-1可逆且(A -1+B-1)=B(A+B)-1A（分数：5.00）_正确答案：(证 由于|A -1+B-1|=|EA-1+B-1E|=|(B-1B)A-1+B-1(AA-1)|=|B-1(B+A)A-1|=|B-1|B+A|A-1|0所以矩阵 A-1+B-1可逆因为 (A -1+B-1)B(A+B-1)A=(A-1B+E)(A+B)-1A=A-1(B+A)(A
15、B)-1A=E所以 (A -1+B-1)=B(A+B)-1A)解析：评注 要证(A -1+B-1)-1=B(A+B)-1A 也可如下进行：(1)(A-1+B-1)=(A-1E+EB-1)=(A-1BB-1+A-1AB-1)-1=A-1(B+A)B-1-1=(B-1)-1(A+B)-1(A-1)-1=B(A+B)-1A(2)设(A -1+B-1)=X，则(A -1+B-1)X=E*17.已知 （分数：5.00）_正确答案：(对行列式|B|按第 2 列展开，易见|B|0，所以 B 是可逆矩阵那么 r(AB)=r(A)=2由于矩阵 A 中有 2 阶子式*即 a=5 时 r(AB)=2(2)因为 A
16、0，知 r(A)1由 A5=0*|A|5=0*|A|=0 所以 r(A)=1)解析：18.设 A 是 n 阶非奇异阵， 是 n 维列向量，b 是常数，记分块矩阵（分数：5.00）_正确答案：(由分块矩阵的乘法知*(2)由于|A|(b- TA-1)是一个数，对行列式|PQ|按第 n 行展开，得*同样地，|A|是一个数，对行列式|P|按第 n 列展开，得*因为|PQ|=|P|Q|即|A| 2(b- TA-1)=|A|Q|由于 A 可逆，|A|0，有*)解析：19.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得到矩阵 B，A *与 B*分别为 A 和 B 的伴随矩阵，则 （分
17、数：5.00）A.交换 A*的第 1 列与第 2 列，得 B*B.交换 A*的第 1 行与第 2 行，得 B*C.交换 A*的第 1 列与第 2 列，得-B * D.交换 A*的第 1 行与第 2 行，得-B *解析：解 交换 A 的第 1 行与第 2 行得到 B，即B=E12A，其中*两边取行列式，因 A 可逆，故|B|=|E12A|=|E12|A|=-|A|0，故 B 是可逆矩阵，且*又因 B*=B|B-1，A *=|A|A-1且|A|=|B|即 A*E12=-B*，即交换 A*的第 1 列与第 2 列得到-B *，故应选(C)20.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 经过初等变换矩阵的秩不变，对 A 作初等变换，化其为阶梯形*可见当 a=11 且 b-6 或者 b=-6 且 a11 时，都有秩 r(A)=3)解析：
