1、考研数学二-练习五及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.微分方程 y+xy2-y2=1-x 的通解为_（分数：5.00）_2.微分方程 （分数：5.00）_3.求方程 （分数：5.00）_4.求方程 （分数：5.00）_5.方程 y=cos(x+y)的通解为_（分数：5.00）_6.求方程(x+1)y“+y=ln(x+1)的通解（分数：5.00）_7.求方程 2yy“=y2+y2满足条件 y(0)=1，y(0)=-1 的特解（分数：5.00）_8.方程 y“-y=ex+1 的特解形式可设为 （分数：5.00）A.aex+bB.a
2、xex+bC.aex+bxD.axex+bx9.方程 y“-y“=3x2的特解形式可设为 （分数：5.00）A.ax2+bx+CB.x2(ax2+b)C.x2(ax2+bx+c)D.)10.方程 y“+y=x2+1+sin=c 的特解形式可设为 （分数：5.00）A.ax2+bx+C+AsinxB.ax2+bx+C+BcosxC.ax2+bx+C+Asinx+BcosxD.ax2+bx+C+=x(Asinx+Bcosx)11.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程通解是 （分数：5.00）A.C1y1
3、+C2y2+C3y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3y=C1y1+C2y2+y*其中 y1，y 2为齐次方程两个线性无关的解，y*为非齐次方程的一个解12.已知 Y1=xex+e2x，y 2=xex-e-x，y 3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程（分数：5.00）_13.若 y=e2x+(x+1)ex是方程 y“+ay+by=cex的解，求 a，b，c 及该方程通解（分数：5.00）_14.已知 y1=3，y 2=3+x2，y 3=3+ex是某二阶线性非齐次
4、方程的三个特解，求该微分方程及通解（分数：5.00）_15.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：5.00）_16.设 f(x)连续，且满足 （分数：5.00）_17.设 f(x)在(-，+)上有定义，f(0)=2，对任意的 x，y，f(x+y)=e xf(y)+eyf(x)，求 f(x)（分数：5.00）_18.设 f(x)有连续一阶导数，(xy-yf(x)dx+(f(x)+y 2)dy=du(x，y)，求 f(x)及 u(x，y)，其中 f(0)=-1（分数：5.00）_19.设 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 （分数：5.00）_20.设函数 y=y(x)
5、在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：5.00）_考研数学二-练习五答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.微分方程 y+xy2-y2=1-x 的通解为_（分数：5.00）_正确答案：(解 应填*原方程 y+xy2-y2=1-x 可改写为 y=(1+y2)(1-x)即*两端积分得*)解析：2.微分方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*令*则原方程变为*即*由此可得该
6、方程通解为*即*由 y(0)=1 知 C=1，则所求特解为*)解析：3.求方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 令 x=X+h，y=Y+k，代入原方程得*得 h=-2，k=-3原方程变为*由此可得*则原方程通解为*)解析：评注 形如*都可用本题中的思想方法化为齐次方程求解4.求方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 由*得*即*由线性方程通解公式知，该方程通解为*)解析：评注 当所求解方程不直接属于我们所学过的类型时，将 x 与 y 对调化为我们学过的类型求解是一种常用的思想方法5.方程 y=cos(x+y)的通解为_（分数：5.00）_正确答案：(解 应填*令 x+y=u，则 1+y=
7、u即*)解析：评注 当所求解方程不直接属于我们所学过的类型时，作适当的变量代换将其化为我们所学过的类型求解是一种常用的方法6.求方程(x+1)y“+y=ln(x+1)的通解（分数：5.00）_正确答案：(方法一 令 y=P，则*代入原方程得*即*解此线性方程得*y=(x+1+C1)ln(x+1)-2x+C2方法二 由(x+1)y“+y=ln(x+1)知(x+1)y=ln(x+1)则*由此可解得 y=(x+l+C 1)ln(x+1)-2x+C2)解析：7.求方程 2yy“=y2+y2满足条件 y(0)=1，y(0)=-1 的特解（分数：5.00）_正确答案：(解 令*显然 u=1，u=-1 均为
8、原方程解，但由 y(0)=1，y(0)=-1 知，u=-1，即*由 y(0)=1 知，C=1，y=e -x)解析：8.方程 y“-y=ex+1 的特解形式可设为 （分数：5.00）A.aex+bB.axex+b C.aex+bxD.axex+bx解析：特征方程为 r2-1=0，r 1.2=1则方程 y“-y=ex的特解应设为 *方程 y“-y=1 的特解应设为*则，原方程特定特解应设为 y*=axe x+b故应选(B)9.方程 y“-y“=3x2的特解形式可设为 （分数：5.00）A.ax2+bx+CB.x2(ax2+b)C.x2(ax2+bx+c) D.)解析：特征方程为 r3-r2=0，r
9、 1.2=0，r 3=1其中 x3=ex x3(=0)，则该方程特解应设为y*=x2(ax2+bx+c)故应选(C)10.方程 y“+y=x2+1+sin=c 的特解形式可设为 （分数：5.00）A.ax2+bx+C+AsinxB.ax2+bx+C+BcosxC.ax2+bx+C+Asinx+BcosxD.ax2+bx+C+=x(Asinx+Bcosx) 解析：特征方程为 r2+1=0，r 1.2=i则方程 y“+y=x2+1 的特解应设为*方程 y“+y=sinx 的特解应设为*则原方程特解应设为y=ax2+bx+C+x(Asinx+Bcosx)11.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都
10、是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程通解是 （分数：5.00）A.C1y1+C2y2+C3y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3y=C1y1+C2y2+y*其中 y1，y 2为齐次方程两个线性无关的解，y*为非齐次方程的一个解解析：由于 C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3而 y1-y3与 y2-y3是齐次方程的两个线性无关的解，事实上，若A(y1-y3)+B(y2-y3)=0则 Ay1
11、+By2-(A+B)y3=0由于 y1，y 2，y 3线性无关，则 A=0，B=0，而 y3为非齐次的一个解，则应选(C)评注 本题考查线性方程解的结构12.已知 Y1=xex+e2x，y 2=xex-e-x，y 3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程（分数：5.00）_正确答案：(解 方法一 设所求的方程为y“+ay+by=f(x)分别将 y1=xex+e2x，y 2=xex-e-x，y 3=xex+e2x+e-x代入以上方程，解得a=-1，b=-2，f(x)=e x(1-2x)方法二 y 1-y2=e-x应为齐次方程的解，而y2+e-x=xex应为非齐次方程
12、的解，则y1-xex=e2x应为齐次方程的解，齐次方程的特征方程为(r+1)(r+2)=0即 r 2-r-2=0则齐次方程为 y“-y-2y=0设所求的非齐次方程为y“-y“-2y=f(x)将 y=xex代入该方程得 f(x)=e x(1-2x)故所求方程为 y“-y-2y=e x(1-2x)解析：评注 显然，方法二方便，而方法一较繁13.若 y=e2x+(x+1)ex是方程 y“+ay+by=cex的解，求 a，b，c 及该方程通解（分数：5.00）_正确答案：(解 方法一 将 y=e2x+(x+1)ex代入方程y“+ay+by=cex比较系数得a=-3b=2c=-1原方程为 y“-3y+2
13、y=-e x特征方程为 r 2-3r+2=0由此解得 r 1=1，r 2=2设非齐次方程特解为 y=Axex，将其代入方程y“-3y+2y=-ex得 A=1则原方程通解为y=C1ex+C2e2x+xex方法二 由于 y=e2x+(1+x)ex=e2x+ex+xex为原方程的解，则 y1=e2x必为齐次的解(由方程非齐次项知非齐次解中只会出现 ex而不会出现 e2x)xex与 ex中，y 2=ex为齐次的解(若 xex是齐次的解，=1 为特征方程二重根，但 =2 已是一个根)则齐次方程的特征方程为 (-1)(-2)=0，即 2-3+2=0齐次方程为 y“-3y+2y=0于是 a=-3，b=2将
14、y=xex代入方程 y“-3y+2y=cex得c=-1则所求方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x+xex)解析：14.已知 y1=3，y 2=3+x2，y 3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解（分数：5.00）_正确答案：(解y 2-y1=x2，y 3-y1=ex为齐次方程的两个线性无关的特解，则求方程通解为 y=C1x2+C2ex+3y=C1x2+C2ex+3 (1)(1)式求导得 y=2C 1x+C2ex (2)再求导得 y“=2C 1+C2ex (3)(3)-(2)得 y“-y=2C 1(1-x) (4)(1)-(2)得 y-y=C 1(x2-2x)+3
15、(5)联立(5)式和(4)式消去 C1得(2x-x2)y“+(x2-2)y+2(1-x)y=6(1-x)解析：评注 本题给出了已知方程的通解求方程的一般方法，即利用 y，y及 y“消去其中的任意常数 C1和 C2便可求得微分方程15.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：5.00）_正确答案：(解 令 tx=u，则*等式两端求导得f(x)=f(x)+1， f(x)-f(x)=-1，由线性方程通解公式得f(x)=1+Cex由题设可知 f(0)=0，则 C=-1故 f(x)=1-e x)解析：评注 本题中只假设了 f(x)连续，而在求解过程中出现了 f(x)，这是因为从等式*可知 f(x)可导，
16、事实上，由 f(x)连续可知*可导，而*则 f(x)可导16.设 f(x)连续，且满足 （分数：5.00）_正确答案：(解 令 x-t=u，则*从而有*等式两端求导得*则*等式两端求导得f(x)=f(x)由此解得 f(x)=Ce x由等式*知 f(0)=1，则 C=1，f(x)=e x)解析：17.设 f(x)在(-，+)上有定义，f(0)=2，对任意的 x，y，f(x+y)=e xf(y)+eyf(x)，求 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(解 在等式 f(x+y)=exf(y)+eyf(x)中令 x=y=0 得f(0)=2f(0)则 f(0)=0*解此线性方程得 f(x)=e x(2
17、x+C)由 f(0)=0 知 C=0，则f(x)=2xex)解析：评注 如果本题设条件 f(x)在(-，+)上有定义改为 f(x)在(-，+)上可导，则本题有更简单方法，等式f(x+y)=exf(y)+eyf(x)两端对 y 求导，然后令 y=0 使得 f(x)=2ex+f(x)18.设 f(x)有连续一阶导数，(xy-yf(x)dx+(f(x)+y 2)dy=du(x，y)，求 f(x)及 u(x，y)，其中 f(0)=-1（分数：5.00）_正确答案：(解 由(xy-yf(x)dx+(f(x)+y 2)dy=du(x，y)知x-f(x)=f(x)即 f(x)+f(x)=x解此线性方程得 f
18、(x)=(x-1)+Ce -x由 f(0)=-1 知，C=0，f(x)=x-1*)解析：19.设 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 （分数：5.00）_正确答案：(解 令 u=exsiny，则*f“(u)=f(u)，即 f“(u)-f(u)=0这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，特征方程为 r2-1=0，r=1，则f(u)=C1eu+C2e-u)解析：20.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：5.00）_正确答案：(解 *将以上两式代入原方程得 y“-y=sinx(2)方程 y“-y=0 的特征方程为 r2-1=0，r=1非齐次待定特解为 y*=Acosx+Bsinx代入 y“-y=sinx 得，A=0，*则非齐次方程通解为*由 y(0)=0，*可得 C1=1，C 2=-1则所求特解为：*)解析：评注 本题求解的关键是将*用 y 对 x 的导数表示出来
