1、考研数学二-练习三及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1. （分数：5.00）_2.设 （分数：5.00）_3.设 （分数：5.00）A.B.C.D.4.下述 4 个命题在-1，1上 f(x)存在原函数存在定积分 （分数：5.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在(-，+)上是连续函数，F(x)是 f(x)的一个原函数，则 （分数：5.00）A.F(x)是奇函数B.F(x)是偶函数C.F(x)是 T 周期函数D.F(x)是严格单调函数6.设 f(u)为连续函数，a 是常数，则为奇函数的是 （分数：5.00）A.B.C.D.7.设
2、 f(x)为奇函数，且在(-，+)上除 x=0 外均连续，在 x=0 处 f(x)有跳跃间断点 （分数：5.00）A.B.C.D.8. （分数：5.00）_9. （分数：5.00）_10. （分数：5.00）_11.求 （分数：5.00）_12.求 （分数：5.00）_13.设常数 a0，求 （分数：5.00）_14. （分数：5.00）_15.求 （分数：5.00）_16.求 （分数：5.00）_17.求 （分数：5.00）_18.设 G(x)=arcsin(x-1)2，G(0)=0，求 （分数：5.00）_19.如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1
3、与 l2分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（分数：5.00）_20. （分数：5.00）_考研数学二-练习三答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1. （分数：5.00）_正确答案：(解 *在 x=-1，0，1 处分别拼接成连续，令*推得 C1=-1+C2，C 2=C3，C 3=-1+C4，或写成：C1=-1+C， C 2=C， C 3=C，C 4=1+C，代入得*)解析：2.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 *当*则*当*则*)解析：评注 当*是个
4、累计量，所以应分段积分，将区间0，x划分：*而对于积分*前的因子 x，是不应分区间的3.设 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：另一方法，按分段积分，得到 F(x)的表达式，然后再讨论 F(x)在 x=0 处的连续性、可导性4.下述 4 个命题在-1，1上 f(x)存在原函数存在定积分 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：由定理 3.1.1(2)知正确，又由定理 3.1.2 知正确选(C)由定理 3.1.2 的注知不正确由按定义求导知不正确5.设 f(x)在(-，+)上是连续函数，F(x)是 f(x)的一个原函数，则 （分数：5.00）A.F(x)是奇函数B.F(x)是偶函数 C.
5、F(x)是 T 周期函数D.F(x)是严格单调函数解析：方法 1 论证法先讨论“*”，以下证明(A)、(B)、(C)的“*”都正确(A)“*”设 F(x)是奇函数，即 F(x)=-F(-x)两边对 x 求导，有F(x)=-(F(-x)=-F(-x)(-1)=F(-x)，即 f(x)=f(-x)，所以 f(x)是一个偶函数类似可证(B)“*”，(C)“*”都正确至于(D)，例如 F(x)=x3是严格单调增函数f(x)=F(x)=3x 2不是严格单调函数，故(D)的“*”不正确再讨论“*”命*对于(A)，设 f(x)为偶函数，有*所以*为奇函数既然 F(x)为 f(x)的一个原函数，故可设*当 C
6、0=0 时 F(x)才是奇函数，故结论“*”不正确对于(B)，设 f(x)为奇函数，类似可证 (-x)=(x)，所以*为偶函数，从而知 f(x)的一切原函数*均是偶函数，所以(B)的“*”正确对于(C)，设 f(x)为 T 周期函数，有*以下证明*事实上，由 f(x+T)f(x)，所以*所以*与 x 无关，命 x=0，于是证得式(3.2)成立将式(3.2)代入式(3.1)，得*从而推知，若 f(x)为连续的 T 周期函数，则*为 T 周期函数的充要条件是*无此条件时，(C)的“*”不正确(D)的“*”也不正确例如设 f(x)=x 是严格单调增函数，*不论 C 是什么常数，F(x)都不是单调函数
7、由以上分析可知“*”与“*”都正确的只有(B)方法 2 排斥法(A)的反例：f(x)=x 2，取其原函数*F(x)不是奇函数，故(A)的“*”不正确(C)的反例：f(x)=cos 2x 以 为周期，它的一切原函数*都不是周期函数故(C)的“*”不正确(D)的反例见方法 1选(B)评注 总结本题结论如下：设 f(x)在(-，+)上连续，则(A)、(B)、(C)的“*”都正确，(D)的“*”不正确反过来，由 f(x)推 F(x)，(A)若 f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数*为奇函数；(C)若 f(x)为 T 周期函数，则(3.2)式成立；f(x)的原函数*是 T 周期函数的充要条件是*f(x
8、)的一切原函数为丁周期函数的充要条件也是*f(x)没有一个原函数是 T 周期的(D)的“*”是不正确的6.设 f(u)为连续函数，a 是常数，则为奇函数的是 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：(A)：tf(t 2)为 t 的奇函数，*为 u 的偶函数，*不见得是奇函数，(A)不正确(B)f(t3)不一定是 t 的奇函数所以无法讨论(B)的奇偶性(C)：tf(t 2)是 t 的奇函数，*为 u 的偶函数，*为 x 的奇函数，(C)正确(D)：(f(t) 2的奇偶性并不清楚，所以无法知道(D)的奇偶性7.设 f(x)为奇函数，且在(-，+)上除 x=0 外均连续，在 x=0 处 f(x)有
9、跳跃间断点 （分数：5.00）A. B.C.D.解析：方法 1排除法：举例*满足题设一切条件，*不选(B)(由此也可看出不选(C)、(D)，所以选(A)方法 2论证法，设*由于 f(x)为奇函数，所以*作*易见 (x)为连续的奇函数*所以*为连续的偶函数选(A)8. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*)解析：评注 无论分母二次式可不可以因式分解，上述办法都行，只是最后用的积分公式不同而已若分母可以因式分解，则也可以将该分式拆成分母为一次式的两个分式去积分9. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*通分，单独拿分子考虑，有1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1)比较两边同次幂系数，可
10、得 A=1，B=1，C=-1，于是*)解析：10. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*通分，取其分子，得1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+2x)=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A比较系数解得*从而*)解析：11.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *所以*)解析：12.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：13.设常数 a0，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 命 x=asint，从而*)解析：评注 拆项(3.13)的一般步骤为：*由*定出 h 与 k从而*14. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填 6*命*)解析：15.求 （分数：5.00）_正
11、确答案：(解 方法 1 命 arcsinex=t，x=lnsint，dx=cottdt，有*方法 2 *方法 3 *)解析：16.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：17.求 （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：18.设 G(x)=arcsin(x-1)2，G(0)=0，求 （分数：5.00）_正确答案：(解 用分部积分，有*)解析：19.如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1与 l2分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（分数：5.00）_正确答案：(解 点(0，0)与点(2，4)连线的斜率为 f(0)=2，点(3，2)与点(2，4)连线斜率为 f(3)=-2；点(3，2)是一个拐点，从而 f“(3)=0；又 f(0)=0，f(3)=2以下计算*)解析：20. （分数：5.00）_正确答案：(解 *)解析：
