1、考研数学二-练习七及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 为 3 维列向量， T是 的转置，若 （分数：5.00）_2.A 是 n 阶反对称矩阵，对任意的 x=x1，x 2，x nT，计算 xTAx 的值(2)设 A 是 3 阶矩阵，若对任意的 x=x1，x 2，x 3T都有 xTAx=0，证明 A 是反对称阵（分数：5.00）_3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，如果 A2=O，证明 A=O并举例说明，如果 A 不是实对称矩阵，上述命题不正确（分数：5.00）_4.设 A，B 都是 n 阶矩阵(1)如果 A-B 是对称矩阵，且
2、(A-B) -1=A-B，化简 A(A-1B-E)(E-A-1B)TAT(2)如果 E+AB 是可逆矩阵，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1A（分数：5.00）_5.求与矩阵 （分数：5.00）_6.已知 （分数：5.00）_7.已知 A，B 都是 n 阶矩阵，（分数：5.00）_8.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn和 yn，记成向量的关系式，并写成矩阵形式： （分数：5.00）_9.已知 （分
3、数：5.00）_10.已知 （分数：5.00）_11.已知 （分数：5.00）_12.设 （分数：5.00）_13. （分数：5.00）_14.设 AP=PB，且 （分数：5.00）_15.已知 （分数：5.00）_16.设 （分数：5.00）_17.设 （分数：5.00）_18.设 A 是”阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，由于 AA*=A8A=|A|E，又|A|0，故有（分数：5.00）_19.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，k0，k1，则(kA) *等于 （分数：5.00）A.B.C.D.20.已知 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，证明(AB) *=B*A*（分数：5
4、.00）_考研数学二-练习七答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 为 3 维列向量， T是 的转置，若 （分数：5.00）_正确答案：(解 *注意到*正好是矩阵 T的主对角线元素之和所以本题 T=1+1+1=3)解析：评注 本题是考查矩阵的乘法运算，特别是考查符号 T与 T 的区别一般地，若 ，都是 n 维列向量，符号 T与 T都是秩为 1 的矩阵，而且( T)T= T，而符号 T 与 T 都是数，且这两数相等 T= T，它是矩阵 T的迹(也就是矩阵主对角元素之和)，当然这也是矩阵 T的迹在复习特征值之后，你能否立即回答下面的
5、问题：若 是 3 维列向量， T是 的转置，如果 T=3，那么矩阵 T的 3 个特征值?2.A 是 n 阶反对称矩阵，对任意的 x=x1，x 2，x nT，计算 xTAx 的值(2)设 A 是 3 阶矩阵，若对任意的 x=x1，x 2，x 3T都有 xTAx=0，证明 A 是反对称阵（分数：5.00）_正确答案：(按定义，有 AT=-A，又对任意的 x，x T是一个数，那么xTAx=(xTAx)T，故(xTAx)T=xTATx=-xTAx，从而有 2xTAx=0，即对任何 X 均有 xTAx=0(2)设*因已知对任意的 x=x1，x 2，x 3T，均有 xTAx=0故取 x=1，0，0 T，有
6、 xTAx=a11=0同理，取 x=0，1，0 T时得 a22=0，取 x=0，0，1 T时得 a33=0取 x=1，1，0 T，有 xTAx=a12+a21=0，知 a12=-a21；取 x=1，0，1 T，可得 a13=-a31;再取 x=0，1，1 T，又得 a23=-a32，所以 A 是反对称阵)解析：3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，如果 A2=O，证明 A=O并举例说明，如果 A 不是实对称矩阵，上述命题不正确（分数：5.00）_正确答案：(证 设*因 A2=O 且 AT=A，故A2=AAT=0，即*从而得*从而有 a ij=0，i=1，2，n，j=1，2，n故得证 A=O*)解析
7、：评注 证明矩阵 A=O 通常有两种构思，一个是按定义，设法证出每个元素 aij=0(如本题)；也可设法证出秩 r(A)=0从而 A=O。本题还可以如下证明：方法二 (用秩) 按已知有 ATA=A2=0，那么对任意的 n 维向量 x，恒有xT(ATA)x=0*(Ax)T(Ax)=0从而*恒有 Ax=0，所以齐次方程组 Ax=0 有 n 个线性无关的解那么 n-r(A)=n即 r(A)=0，因此 A=O方法三 (用秩) 根据 r(ATA)=r(A)由题设 ATA=A2=0故 r(ATA)=0即有 r(A)=0所以 A=O方法四 (用相似) 因为 A 是实对称矩阵知，AA即 P-1AP=，那么 A
8、=PP -1于是 P 2p-1=0* 2=O*=O*A=O4.设 A，B 都是 n 阶矩阵(1)如果 A-B 是对称矩阵，且(A-B) -1=A-B，化简 A(A-1B-E)(E-A-1B)TAT(2)如果 E+AB 是可逆矩阵，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1A（分数：5.00）_正确答案：(原式=A(A -1B-E)(E-A-1B)TAT=(AA-1B-AE)A(E-A-1B)T=(B-A)(A-B)T=-(A-B)(A-B)=-(A-B)-1(A-B)=-E*)解析：评注 这一类化简的题目通常是利用矩阵乘法的分配律和结合律，借助相应法则，和关系式来恒等变形5.求与矩阵 （分数：5
9、.00）_正确答案：(解 矩阵的乘法没有交换律，一般情况 ABBA若 AB=BA，则称 A 与 B 可交换，为了求与 A可交换的矩阵，通常是按定义，设未知数，构造方程组，然后求解得所需矩阵设*与矩阵 A 可交换，即 AX=XA，即*所以和 A 可以交换的矩阵是*注 由于*那么 AX=XA 即 BX=XB，如果这样处理计算量略小)解析：6.已知 （分数：5.00）_正确答案：(证 因为 A 是正交矩阵，A T=A-1由于上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵，故可设*那么*得 a12=a13=a23=0即 A 是对角矩阵*所以 aii为 1 或-1(i=1，2，3)解析：7.已知 A，B 都是 n 阶
10、矩阵，（分数：5.00）_正确答案：(解 这是简单的分块矩阵乘法运算，按定义易见*)解析：评注 实际上，*是分块矩阵的初等矩阵，有左乘是行变换，右乘是列变换的性质如果对(1)，(2)两个式子两边分别取行列式，并利用行列式的乘法公式和拉普拉斯展开式，立即有*8.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn和 yn，记成向量的关系式，并写成矩阵形式： （分数：5.00）_正确答案：(解 按题意，x n表示第 n 年一
11、月份熟练工的人数比例，x n+1为第 n+1 年一月份熟练工的人数比例到第 n+1 年一月份时，上一年熟练工 xn中有*继续成为新 xn+1中成员，而 xn+1中还有上一年非熟练工(*)和老非熟练工 yn经过培训考核的成员，故有*化简为*用矩阵表示，有*)解析：评注 本考题的后续部分是考查建立递推关系*然后再通过用相似求 An9.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 本题在考查符号 T和 T，题目中 , 都是行向量，故 T是一个数， T是 3 阶矩阵按矩阵乘法定义，有*再按矩阵乘法有结合律，得*因为*)解析：10.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 由于矩阵 A 的任何两行(列)都成
12、比例，矩阵 A 可分解为两个矩阵的乘积，例如*归纳地，A 3=A2A=7A2=72A，所以*)解析：评注 若秩 r(A)=1，则 A 可分解为两个矩阵的乘积，有 A2=lA 之规律，从而 An=ln-1A例如*那么A2=( T)( T)=( T) T=l T=lA其中l= T= T=a 1b1+a2b2+a3b311.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 由于*)解析：12.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 利用分块矩阵*现将 A 分块如下*由于*故*)解析：13. （分数：5.00）_正确答案：(解 因为*故有 A n-2An-1=An-1(A2-2A)=O或者，A n-2An-1
13、=An-1(A-2E)*亦可知 An-2An-1=O本题难度系数 0.78)解析：14.设 AP=PB，且 （分数：5.00）_正确答案：(解 由|P|=-10，知 P 可逆，故 A=PBP-1，于是A5=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PB(P-1P)B(P-1P)B(P-1P)B(P-1P)BP-1=PB5P-1*)解析：15.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 *对 =1，由(E-A)x=0求出特征向量 1=(2，1) T，对 =-1，由(-E-A)x=0求出特征向量 2=(3，2) T那么令*从而 p-1AnP=*)解析：16.设 （分数：
14、5.00）_正确答案：(按伴随矩阵定义，求出代数余子式*故*(2)因为*而*所以*)解析：评注 在用定义法求伴随矩阵 A*时，注意 A*的元素是行列式|A|的代数余子式，因此要小心正负号，在用 Aij构造伴随矩阵 A*时，排列的次序不要出错对于 2 阶矩阵*易见代数余子式 A11=d，A 22=a，A 12=-c，A 22=-b，故*可知 2 阶矩阵的伴随矩阵有主对角线元素互换，副对角线元素变号的规则17.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 本题当然可如上题那样按定义求出代数余子式再来构点 A*，但这样计算是繁琐的因为本题通过分块 A-1好求那么由 A*=|A|A-1来求 A*就简便了将矩
15、阵 A 分块如下：*其中*因|A|=(-1)23|B|C|=5又*故*)解析：评注 上面的 2 个例题给出了求伴随矩阵的两种方法一个是用定义，一个是在 A 可逆且 A-1便于计算时通过 A-1来转换18.设 A 是”阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，由于 AA*=A8A=|A|E，又|A|0，故有（分数：5.00）_正确答案：(*因为 AA*=A*A=|A|E 对任意的 n 阶矩阵 A 都是成立的，那么对于 A-1上述关系式也应当成立故有*比较，得*)解析：19.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，k0，k1，则(kA) *等于 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解
16、本题考查伴随矩阵的概念以及伴随矩阵的核心公式 AA*=A*A=|A|E方法一 由 A*的定义，直接计算(kA) *，设 A=aijnn，A ij是 A 中元素 aij的代数余子式，则*=kn-1A*故应选(C)方法二 由 AA*=|A|E，当 A 可逆时，有 A*=|A|A-1虽然题中没有 A 可逆的条件，但选项应是普遍成立的公式，故结论应对 A 可逆时也成立，因此现可设 A 可逆，那么*故应选(C)方法三 逐个验算，是否符合公式(kA)(kA) *=|kA|E(A) (kA)kA*=k2AA*=k2|A|E|kA|E=k n|A|E；*(C) (kA)kn-1A*=knAA*=kn|A|E=|kA|E；(D) (kA)knA*=kn+1AA*=kn+1|A|E|kA|E由上可知，应排除(A)，(B)，(D)，而选(C)20.已知 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，证明(AB) *=B*A*（分数：5.00）_正确答案：(证 因为 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，由|AB|=|A|B|0 知 AB 是 n 阶可逆矩阵那么(AB)(AB)*=|AB|E即有(AB) *=|AB|(AB)-1=|A|B|B-1A-1=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*)解析：
