1、考研数学二-98 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：11.00)1.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：1.00）2.微分方程 ydx+(x 2 -4x)dy=0 的通解为 1 （分数：1.00）3.过点 且满足关系式 （分数：1.00）4.微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足 （分数：1.00）5.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 （分数：1.00）6.微分方程 （分数：1.00）7.微分方程(y+x 2 e -x )dx-xdy=0 的通解是 y= 1 （分
2、数：1.00）8.微分方程 y“+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y= 1 （分数：1.00）9.微分方程 ydx+(x-3y 2 )dy=0 满足条件 y| x=1 =1 的解为 y= 1 （分数：1.00）10.以 y=x 2 -e x 与 y=x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）11.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1， （分数：1.00）二、选择题(总题数：9，分数：9.00)12.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)= A B2
3、C D （分数：1.00）A.B.C.D.13.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14.y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 -y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.15.微分方程 y“-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：1.00）A.B.C.D.16.微分方程 y“+y=x 2 +
4、1+sinx 的特解形式可设为 A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx) C.y*=ax2+bx+c+Asinx D.y*=ax2+bx+c+Acosx（分数：1.00）A.B.C.D.17.微分方程 y“- 2 y=e x +e -x (0)的特解形式为 A.a(exx +e-x ) B.ax(ex +e-x ) C.x(aex +be-x ) D.x2(aex +be-x )（分数：1.00）A.B.C.D.18.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的 3 阶常系数齐次线性微
5、分方程是（分数：1.00）A.y“-y“+y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=019.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是 A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex C.y“+y“-2y=3xex D.y“+y“-2y=3ex（分数：1.00）A.B.C.D.20.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：1.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+
6、4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0三、解答题(总题数：11，分数：80.00)21.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解 （分数：8.00）_22.求初值问题 （分数：8.00）_23.求微分方程 y“(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=1 的特解 （分数：8.00）_24.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解 （分数：7.00）_25.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解，其中 a 为实数 （分数：7.00）_26.求微分方程 y“+y=x+cosx 的
7、通解 （分数：7.00）_27.求微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解 （分数：7.00）_28.设二阶常系数线性微分方程 y“+y“+y=e x 的一个特解为 y * =e 2x +(1+x)e x 试确定常数，并求该方程的通解 （分数：7.00）_29.求微分方程 y“+a 2 y=sinx 的通解，其中常数 a0 （分数：7.00）_30.求微分方程 y“+y“=x 2 的通解 （分数：7.00）_设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：7.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：3.50）_(2
8、).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：3.50）_考研数学二-98 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：11.00)1.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：1.00）解析： 解析 解法 1 利用极坐标，得 解法 2 利用直角坐标，得 2.微分方程 ydx+(x 2 -4x)dy=0 的通解为 1 （分数：1.00）解析：(x-4)y 4 =Cx，其中 C 为任意常数 解析 该方程是一个变量可分离方程，即 故 3.过点 且满足关系式 （分数：1.00）解析： 解析
9、 题目中把 称为“关系式”而不是方程，就是提醒考生还有更方便的解法事实上，等式的左端等于(yarcsinx)“，关系式变成(yarcsinx)“=1，两边积分得 yarcsinx=x+C， 再以 4.微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足 （分数：1.00）解析： 解析 原方程变形为 这是一阶线性非齐次方程，于是 由 知 C=1，故 5.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 （分数：1.00）解析： 解析 原方程可化为 ，这是一阶线性非齐次微分方程，故 由 得 C=0，故 6.微分方程 （分数：1.00）解析：y=Cxe -x ，其中 C 为任意常数 解析 分离变量，得 7.微分方
10、程(y+x 2 e -x )dx-xdy=0 的通解是 y= 1 （分数：1.00）解析：x(C-e -x )，其中 C 为任意常数 解析 微分方程可变形为 这是一阶线性非齐次微分方程，通解为 8.微分方程 y“+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y= 1 （分数：1.00）解析：e -x sinx 解析 根据一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 y(x)=e -dx (C+e -x cosxe dx dx) =e -x (C+cosxdx) =e -x (C+sinx)， 由 y(0)=0，得 C=0，所以 y=e -x sinx9.微分方程 ydx+(x-3y 2 )dy
11、=0 满足条件 y| x=1 =1 的解为 y= 1 （分数：1.00）解析： 解析 将微分方程变形为 ，这是一阶线性微分方程，其通解为 以 y| x=1 =1 代入上式，得 C=0，于是 x=y 2 ，即 注意到 y| x=1 =1，故将 舍去，得 10.以 y=x 2 -e x 与 y=x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）解析：y“-y=2x-x 2 解析 利用线性微分方程解的性质与结构设所求的一阶非齐次线性微分方程为 y“+p(x)y=q(x)， 显然 y=x 2 和 y=x 2 -e x 的差 e x 是方程 y“+p(x)y=0 的解，代入方程得 p(x)
12、=-1 再把 y=x 2 代入方程 y“+p(x)y=q(x)得 q(x)=2x-x 2 所求的一阶非齐次线性微分方程为 y“-y=2x-x 2 11.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1， （分数：1.00）解析： 或 y 2 =x+1 解析 令 y“=p 代入方程得 ，而 ，所以有 则 解得 代入初始条件 知 C 1 =2，即 ，再由此方程解得 y 2 =x+C 2 ，由于 y| x=0 =1，所以 C 2 =1，即得特解为 若是一开始看出方程左端可以写成(yy“)“，则直接有：(yy“)“=0 二、选择题(总题数：9，分数：9.00)12.已知函数 y=y(
13、x)在任意点 x 处的增量 ，其中 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)= A B2 C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 本题实质上是解微分方程首先由增量式舍去高阶无穷小得到微分方程 利用分离变量解得 y=Ce arctanx 再由 y(0)= 得 C=，即 y=e arctanx 最后 所以 A 项是正确的 还可以在 两端同除以 x，建立微分方程 13.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1 由 ，代入微分方程得 则 解法 2 令 ，则 y“=u+xu“，代入微分方程得 故 而
14、 是微分方程的解，从而 两边求导有 即 14.y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 -y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 将 y 1 +y 2 代入方程 y“+p(x)y=q(x)，得 y“ 1 +p(x)y 1 +y“ 2 +p(x)y 2 =q(x) 由题设可知 y“ 1 +p(x)y 1 =q(x)，y“ 2 +p(x)y 2 =q(x)， 从而有 +=1 类似地，将 y 1 -y 2 代入方程 y“+p(x)y=0，得
15、-=0 解得 故选项 A 正确 事实上，当 时，y 1 +y 2 不是方程 y“+p(x)y=q(x)的解，与题设矛盾故选项 B 不正确 同理可知选项 D 也不正确 当 15.微分方程 y“-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 y“y=e x +1 的特解应为方程 y“-y=e x 和 y“-y=1 的特解之和，而特征方程为 r 2 -1=0，解得 r=1 因此 y“-y=e x 的特解应为 y 1 * =axe x ，y“-y=1 的特解应为 y
16、2 * =b 则原方程特解应具有形式 y * =axe x +b16.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为 A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx) C.y*=ax2+bx+c+Asinx D.y*=ax2+bx+c+Acosx（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 这是二阶常系数线性非齐次方程，它对应的齐次方程的特征方程是 r 2 +1=0，其根为r=i把原非齐次方程分解为两个方程：y“+y=x 2 +1 与 y“+y=sinx对于方程 y“+y=x 2 +1，其特解形式显然为 y 1
17、* =ax 2 +bx+c对于方程 y“+y=sinx，由于i 恰是特征方程的根，故它的特解形式应为 y 2 * =x(Asinx+Bcosx)于是根据叠加原理，原方程的特解形式为 y * =y 1 * +y 2 * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)，即选项 A 是正确的17.微分方程 y“- 2 y=e x +e -x (0)的特解形式为 A.a(exx +e-x ) B.ax(ex +e-x ) C.x(aex +be-x ) D.x2(aex +be-x )（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 - 2 =0，其根为
18、r 1，2 =，所以 y“- 2 y=e x 的特解为 y 1 * =axe x ，y“- 2 y=e -x 的特解为 y 2 * =bxe -x ，由叠加原理知原方程的特解形式为 y * =y 1 * +y 2 * =x(ae x +be -x )， 因此选 C18.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是（分数：1.00）A.y“-y“+y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0 C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析 解高阶常系数齐次线性微分方程，是通过解其特征方程确定微分方程的
19、通解本题是将此过程反过来使用：由给定的特解知特征方程的根为 1 =1， 2 =-1(2 重)，故特征方程是(-1)(+1) 2 =0，展开得 3 + 2 -1=0 从而，微分方程为 y“+y“-y“-y=0，即选项 B 正确19.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是 A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex C.y“+y“-2y=3xex D.y“+y“-2y=3ex（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 是二阶常系数非齐次线性方程的解，故 Y=C 1 e x +
20、C 2 e -2x 是对应齐次,方程的通解，y * =xe x 是非齐次方程的特解，从而 r=1，r=-2 是齐次方程特征方程的根，齐次方程应为 y“+y“-2y=0，这样可排除 A、B又 =1 是特征方程的单根，故非齐次项 f(x)=Ae x ，于是选 D20.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：1.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0 解析：解析 根据条件，由通解的形式可以看出此微分方程的
21、三个特征值分别为 1，2i，-2i，所以它的特征方程为(-1)( 2 +4)= 3 - 2 +4-4=0，从而可知该微分方程是 y“-y“+4y“-4y=0选项 D是正确的三、解答题(总题数：11，分数：80.00)21.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 y=xu，则 即 22.求初值问题 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 原方程可化为 令 y=xu，得 解得 其中 C 为任意正常数，从而 亦即 将 y| x=1 =0 代入，得 C=1，故初值问题的解为 化简得 23.求微分方程 y“
22、(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=1 的特解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 y“=p“，原方程化为 p“(x+p 2 )=p 移项可得 pdx-xdp=p 2 dp， 即 ， 于是有 因 p| x=1 =y“(1)=1，得 C 1 =0，故 p 2 =x 由 y“(1)=1 知，应取 ，即 解得 又由 y(1)=1 得 ，故 24.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由特征方程 r 2 +2r+1=0，知其特征根为 r 1，2 =-1故对应齐次方程的通解为 =(C 1 +C 2 x
23、)e -x 设原方程的特解为 y * =e x (ax+b)，代入原方程可得 因此，原方程的通解为 25.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解，其中 a 为实数 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 r 2 +4r+4=0，特征根为 r 1，2 =-2，对应齐次方程的通解为 当 a-2 时，设非齐次方程的特解为 y * =Ae ax 代入原方程，得 ； 当 a=-2 时设非齐次方程的特解为 y * =A 1 x 2 e -2x ， 代入原方程，得 故通解为 26.求微分方程 y“+y=x+cosx 的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 原方程对应的齐
24、次方程的通解为 设非齐次方程 y“+y=x 的特解为 y 1 * =Ax+B代入方程得：A=1，B=0所以 y 1 * =x 设非齐次方程 y“+y=cosx 的特解为 y 2 * =Excosx+Dxsinx， 则 y 2 * =2Esinx+2Dcosx-Excosx-Dxsinx 代入原方程得：E=0， 所以 原方程的通解为 27.求微分方程 y“-3y“+2y=xe x 的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 原方程的特征方程为 r 2 -3r+2=0，其根为 r 1 =1，r 2 =2于是对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e 2x 由于 =1 是特征方程
25、的单根，故可设原方程的一个特解为 y * =x(ax+b)e x ， 将其代入原方程得 -2ax+2a-b=x 解28.设二阶常系数线性微分方程 y“+y“+y=e x 的一个特解为 y * =e 2x +(1+x)e x 试确定常数，并求该方程的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2，所以特征方程为(r-1)(r-2)=0，即 r 2 -3r+2=0，于是 =-3，=2 为确定 ，只需将 y 1 * =xe x 代入方程，得 (x+2)e x -3(x+1)e x +2xe x =e x ， =-1 从而原方程的通解为 y=C 1 e x
26、+C 2 e 2x +xe x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数29.求微分方程 y“+a 2 y=sinx 的通解，其中常数 a0 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 对应的齐次方程的通解为 y=C 1 cosax+C 2 sinax 当 a1 时，设原方程的特解为 y * =Asinx+Bcosx 代入原方程，得 A(a 2 -1)sinx+B(a 2 -1)cosx=sinx 比较等式两端对应项的系数，得 所以 当 a=1 时，设原方程的特解为 y * =x(Asinx+Bcosx) 代入原方程，得 2Acosx-2Bsinx=sinx 比较等式两端对应项的系数，得 所以 综
27、合上述讨论： 当 a1 时，通解为 当 a=1 时，通解为 30.求微分方程 y“+y“=x 2 的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 对应的齐次方程的特征方程为 2 +=0，解之得 =0，=-1，故齐次方程的通解为 y=C 1 +C 2 e -x 设非齐次方程的特解为 x(ax 2 +bx+c)，代入原方程得 ，b=-1，c=2因此，原方程的通解为 y= 设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：7.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 方程 y“-y=sinx 所对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程 y“-y=sinx 的特解为 y * =Acosx+Bsinx， 代入方程 y“-y=sinx 求得 A=0， ，从而 y“-y=sinx 的通解是 由 y(0)=0， ，得 C 1 =1，C 2 =-1 故所求初值问题的解为
