1、考研数学二-96 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：1.00）2.设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.设 ，其中函数 f(u)可微，则 （分数：1.00）5.设 z=z(x，y)是由方程 确定的函数，则 （分数：1.00）6.若函数 z=z(x，y)由方程 e x+2y+3z +xyz=1 确定，则 dz| (0，0) = 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：12，分数：12.00)7.二元函数 f(x
2、，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：1.00）A.x1x2，y1y2B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2D.x1x2，y1y29.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.设函数 f 连续若 其巾区域 D uv 为下图中阴影部分，则 Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 ，其中函数 f 可微，则 A2yf“(xy) B-2yf“(xy) C D （分
3、数：1.00）A.B.C.D.12.设函数 f(u，v)满足 ，则 依次是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.13.已知函数 （分数：1.00）A.f“x-f“y=0B.f“x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f14.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F“ 2 0，则 （分数：1.00）AxBzC.-xD.-z15.设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)（分数：1.00）A.不是 f(x，y)的连续点B.不是 f(x，y)的极值点C.是 f(x，y)的极大值点D.是 f(x，y)的极小值点16.
4、设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：1.00）A.f“(0)0，g“(0)0B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)017.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 “ y (x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：1.00）A.若 f“x(x0，y0)=0，则 f“y(x0，y0)=0B.若 f“x(x0，y0)=0
5、，则 f“y(x0，y0)0C.若 f“x(x0，y0)0，则 f“y(x0，y0)=0D.若 f“x(x0，y0)0，则 f“y(x0，y0)018.设函数 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 （分数：1.00）A.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得D.u(x，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得三、解答题(总题数：12，分数：82.00)19.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy
6、)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：6.00）_20.设 z=f(x+y，x-y，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：6.00）_21.设函数 z=fxy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求 （分数：7.00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：7.00）(1).验证 （分数：3.50）_(2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：3.50）_22.设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等
7、式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：7.00）_23.设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：7.00）_24.求函数 （分数：7.00）_25.已知函数 f(x，y)满足 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x ，f“ x (x，0)=(x+1)e x ，f(0，y)=y 2 +2y，求 f(x，y)的极值 （分数：7.00）_26.已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2 。+y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0 确定，求 z=z(x，y)的极值 （分数：7.00）_27.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=
8、x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值 （分数：7.00）_28.求曲线 x 3 -xy+y 3 =1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离 （分数：7.00）_29.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：7.00）_考研数学二-96 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：1.00）解析：2 解析 解法 1 等式两边对 x 求偏导数，得 于是得 同理得
9、 于是 解法 2 等式两端直接求全微分， 于是 2.设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：1.00）解析： 解析 3.设 （分数：1.00）解析： 解析 解法 1 因为 故 解法 2 采用“先代后求” 4.设 ，其中函数 f(u)可微，则 （分数：1.00）解析：0 解析 所以 5.设 z=z(x，y)是由方程 确定的函数，则 （分数：1.00）解析： 解析 解法 1 设 ，F“ x =1，F“ y =2ze 2yz +2y，F“ z =2ye 2yz +1，当 x=y= 时，z=0， ，所以 解法 2 将原方程两端直接求全微分，得 e 2yz (2zdy+2ydz)+dx+2ydy+dz
10、=0， 当 时，z=0，代入得 6.若函数 z=z(x，y)由方程 e x+2y+3z +xyz=1 确定，则 dz| (0，0) = 1 （分数：1.00）解析： 解析 先求 z(0，0)在原方程中令 x=0，y=0 得 解法 1 将原方程两边求全微分得 e x+2y+3z d(x+2y+3z)+d(xyz)=0， e x+2y+3z (dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0 令 x=0，y=0，z=0 得 解法 2 将方程两边分别对 x，y 求偏导数得 令 x=0，y=0，z=0 可得 令 x=0，y=0，z=0 可得 因此 二、选择题(总题数：12，分数：12.00)7
11、.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 二元函数在一点连续，可导，可微和偏导数连续的概念以及它们的相互关系是多元函数微分学的基本内容，这些就是本题要考查的知识点只要了解各选项中等式的意义，就会得到正确的选项本题主要利用基本概念和推理，所以有一定的难度 选项 A 的等式是函数 f(x，y)在点(0，0)处连续的定义，故它不是 f(x，y)在点(0，0)处可微的充分条件；选项 B 的两个等式就是 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0，两个偏导数存在当然不是可微的充分条件； 选项 C 的等式就是函数
12、f(x，y)在点(0，0)处可微的定义，故是正确的； 由于 C 是正确的选项，故选项 D 被排除也可举反例： 因为 故 同理 但是在(0，0)处，有 8.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：1.00）A.x1x2，y1y2B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2D.x1x2，y1y2 解析：解析 由于 ，故对于固定的 y，f(x，y)是关于 x 单调增加的函数；同理，由于 9.设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 比较得 10.设函数 f 连续若 其巾区域 D uv 为下图中阴影部分，
13、则 Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 故 11.设 ，其中函数 f 可微，则 A2yf“(xy) B-2yf“(xy) C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 所以 12.设函数 f(u，v)满足 ，则 依次是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1 先求出 f(u，v) 于是 因此 解法 2 不必先求出 f(u，v) 由 即(u，v)=(1，1)对应 ， 现对 两边分别对 x，y 求偏导数得 上两式中令 得 由此解出 13.已知函数 （分数：1.00）A.f“x-f“y=0B.f“
14、x+f“y=0C.f“x-f“y=fD.f“x+f“y=f 解析：解析 直接计算， 因而 14.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F“ 2 0，则 （分数：1.00）AxBz C.-xD.-z解析：解析 在等式 两端关于 x 求偏导，得 在等式 两端关于 y 求偏导，得 x 2 +xy 得 所以 15.设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)（分数：1.00）A.不是 f(x，y)的连续点B.不是 f(x，y)的极值点C.是 f(x，y)的极大值点D.是 f(x，y)的极小值点 解析：解析 由 dz=xdx+ydy，可得 在点(0，
15、0)处，因为 所以(0，0)为函数 z=f(x，y)的极小值点，即选项 D 正确 16.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：1.00）A.f“(0)0，g“(0)0 B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)0解析：解析 由 z=f(x)g(y)，得 由于 17.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 “ y (x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一
16、个极值点，下列选项正确的是（分数：1.00）A.若 f“x(x0，y0)=0，则 f“y(x0，y0)=0B.若 f“x(x0，y0)=0，则 f“y(x0，y0)0C.若 f“x(x0，y0)0，则 f“y(x0，y0)=0D.若 f“x(x0，y0)0，则 f“y(x0，y0)0 解析：解析 设 F(x，y，)=f(x，y)+(x，y) 由已知，点(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，故有 由于 “ y (x 0 ，y 0 )0，故可得 18.设函数 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 （分数：1.00
17、）A.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 B.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得D.u(x，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得解析：解析 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u(x，y)在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点(x 0 ，y 0 )，也就是 ，在这个点处 三、解答题(总题数：12，分数：82.00)19.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 20.
18、设 z=f(x+y，x-y，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由于 所以 21.设函数 z=fxy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解法 1 因为 z=fxy，yg(x)，所以 由题意 g(1)=1，g“(1)=0，所以 解法 2 据题意，有 g(1)=1，g“(1)=0 因为 z=fxy，yg(x)，所以 从而 所以 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：7.00）(1).验证 （分数：3
19、.50）_正确答案：()解析：证由 z=f(u)， ，得 所以根据题设条件可得 ，即 (2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题及 f“(1)=1，得 22.设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 将以上各式代入原等式，得 由题意，令 解得 由 10ab+12(a+b)+80，舍去 故 a=-2， 23.设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：7.00）_
20、正确答案：()解析：解 则 可化为 f“(e x cosy)e 2x =4f(e x cosy)+e x cosye 2x 所以函数 f(u)满足方程 f“(u)=4f(u)+u 解得通解为 由 f(0)=0，f“(0)=0，得 故 24.求函数 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 令 解得驻点(1，0)，(-1，0) 记 在点(1，0)处，由于 ，所以 为 f(x，y)的极大值；在点(-1，0)处，由于 ，所以 25.已知函数 f(x，y)满足 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x ，f“ x (x，0)=(x+1)e x ，f(0，y)=y 2 +2y，求 f(x，
21、y)的极值 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x ，得 f“ x (x，y)=(y+1) 2 e x +(x) 因为 f“ x (x，0)=(x+1)e x ，所以 e x +(x)=(x+1)e x ， 得 (x)=xe x ，从而 f“ x (x，y)=(y+1) 2 e x +xe x 对 x 积分得 f(x，y)=(y+1) 2 e x +(x-1)e 2 +(y)，因为 f(x，y)=y 2 +2y，所以 (y)=0，从而 f(x，y)=(x+y 2 +2y)e x 于是 f“ y (x，y)=(2y+2)e x ，f“ xx (
22、x，y)=(x+y 2 +2y+2)e x ，f“ yy (x，y)=2e x 令 f“ x (x，y)=0，f“ y (x，y)=0，得驻点(0，-1)，所以 A=f“ xx (0，-1)=1，B=f“ xy (0，-1)=0，C=f“ yy (0，-1)=2 由于 B 2 -AC0，A0，所以极小值为 f(0，-1)=-126.已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2 。+y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0 确定，求 z=z(x，y)的极值 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 在(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0 两边分别对 x 和 y 求偏导数，得 令
23、 将 代入方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0，得 ，可知 z=1，从而 对中两式两边分别再对 x，y 求偏导数，得 从而 27.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-4)， 令 28.求曲线 x 3 -xy+y 3 =1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 设(x，y)为曲线上的任一点，目
24、标函数为距离的平方 f(x，y)=x 2 +y 2 ，构造拉格朗日函数 L(x，y，)=x 2 +y 2 +(x 3 -xy+y 3 -1) 令 当 x0，y0 时，由，得 ，即 3xy(y-x)=(x+y)(x-y)， 得 y=x 或 3xy=-(x+y)(由于 x0，y0，舍去) 将 y=x 代入得 2x 3 -x 2 -1=0，即(x-1)(2x 2 +x+1)=0， 解得 x=1，从而(1，1)为唯一可能的极值点 又 x=0 时，y=1；y=0 时，x=1分别计算点(1，1)，(0，1)及(1，0)处的目标函数值，有 f(1，1)=2，f(0，1)=f(1，0)=1， 故所求最长距离为
25、 ，最短距离为 29.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 由 dz=2xdx-2ydy 可知 z=f(x，y)=x 2 -y 2 +C， 再由 f(1，1)=2，得 C=2，故 z=f(x，y)=x 2 -y 2 +2 令 ，解得驻点(0，0) 在椭圆 上，z=x 2 -(4-4x 2 )+2，即 z=5x 2 -2(-1x1)， 其最大值为 z| x=1 =3，最小值为 z| x=0 =-2，再与 f(0，0)=2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D 上的最大值为 3，最小值为-2 解析 在边界 上的最值也可以直接利用拉格朗日乘数法，令 由 得出 M 1 (0，2)，M 2 (0，-2)，M 3 (1，0)，M 4 (-1，0)此时 f(M 1 )=f(M 2 )=-2，f(M 3 )=f(M 4 )=3，故边界
