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    【考研类试卷】考研数学二-94及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学二-94及答案解析.doc

    1、考研数学二-94 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:6.00)1. (分数:1.00)2.设 f(x)连续,且 (分数:1.00)3. (分数:1.00)4.设 f(x)连续,则 (分数:1.00)5.设函数 f(x)连续, (分数:1.00)6.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S= 1 (分数:1.00)二、选择题(总题数:13,分数:13.00)7.设 (分数:1.00)A.依赖于 s,tB.依赖于 s,t,xC.依赖于 t,x,不依赖于 sD.依赖于 s,不依赖于 t8.设函数 记 ,0x2,则 A B C D

    2、(分数:1.00)A.B.C.D.9.设 f(x)连续, (分数:1.00)A.B.C.D.10.已知 设 ,则 F(x)为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.11.设函数 f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.12.设 f(x)是奇函数,除 x=0 外处处连续,x=0 是其第一类间断点,则 (分数:1.00)A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 x=0 间断的奇函数D.在 x=0 间断的偶函数13.设函数 y=f(x)在区间-1,3上的图形如图所示则函数 的图形为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.14

    3、.设函数 (分数:1.00)A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导D.F(x)在 x= 处可导15.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.16.由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.17.曲线 与 x 轴所围成的图形,绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 A B C (分数:1.00)A.B.C.D.18.设 f(x),g(x)在区间a,b上连续,且 g(x)f(x)

    4、m(m 为常数),由曲线 y=g(x),y=f(x),x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.19.如图所示,x 轴上的一线密度为常数 ,长度为 l 的细杆,若质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a,已知引力系数为 k,则质点和细杆之间引力的大小为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:18,分数:81.00)20.设 x-1,求 (分数:4.00)_21.设 ,其中 x0,求 (分数:4.00)_22.设 xOy 平面上有正方形 D(x,y)|0x1,0y1及直线 l:x+y=t(

    5、t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积(如图),试求 (分数:4.00)_23.设函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=0,且其反函数为 g(x),若 (分数:4.00)_24.设 求函数 (分数:4.00)_设 (分数:4.00)(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数;(分数:2.00)_(2).求 f(x)的值域(分数:2.00)_25.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数,且满足 (分数:4.00)_26.设函数 (分数:4.00)_27.如图所示,设曲线方程为 ,梯形 OABC 的面积为 D,曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ,点 A 的坐标为(

    6、a,0),a0,证明: (分数:4.00)_28.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0,x=,y=0 围成的曲边梯形,求 D 绕 Ox 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 (分数:5.00)_29.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点,当 0x1 时 y0,又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 (分数:5.00)_30.过点 P(1,0)作抛物线 (分数:5.00)_31.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 (分数:5.00)_32.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx

    7、 所确定,求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 (分数:5.00)_33.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转所得的旋转体体积 (分数:5.00)_34.设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积 V (分数:5.00)_35.设曲线 y=ax 2 (a0,x0)与 y=1-x 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形(如图)问 a 为何值时,该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积

    8、是多少? (分数:5.00)_设 D 是位于曲线 (分数:5.00)(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a);(分数:2.50)_(2).当 a 为何值时,V(a)最小?并求此最小值(分数:2.50)_考研数学二-94 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:6.00)1. (分数:1.00)解析:解析 2.设 f(x)连续,且 (分数:1.00)解析: 解析 等式 ,两边对 x 求导,得 3x 2 f(x 3 -1)=1令 x=2 得 12f(7)=1,则 3. (分数:1.00)解析:-3f(cos3x)sin3x解析 由变

    9、上限积分求导法可知4.设 f(x)连续,则 (分数:1.00)解析:xf(x 2 ) 解析 令 u=x 2 -t 2 ,du=-2tdt当 t=0 时,u=x 2 ,当 t=x 时,u=0故 5.设函数 f(x)连续, (分数:1.00)解析:2 解析 改写 ,由变限积分求导法得 由 6.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S= 1 (分数:1.00)解析: 解析 由 xe x =ex 可知 x(e x -e)=0则 x=0 或 x=1 故 二、选择题(总题数:13,分数:13.00)7.设 (分数:1.00)A.依赖于 s,tB.依赖于 s,t,xC.依赖于 t,x,不

    10、依赖于 sD.依赖于 s,不依赖于 t 解析:解析 8.设函数 记 ,0x2,则 A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 当 0x1 时, ;当 1x2 时, 由此可见应选 B f(x)在0,2上可积,则 9.设 f(x)连续, (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 由 10.已知 设 ,则 F(x)为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 所以应选 D f(x)在0,2上可积,则 11.设函数 f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 设 ,则 即 F(x)是偶函数,

    11、D 是正确的 类似方法可以证明 A,C 均为奇函数而对 B 中的函数,因为 12.设 f(x)是奇函数,除 x=0 外处处连续,x=0 是其第一类间断点,则 (分数:1.00)A.连续的奇函数B.连续的偶函数 C.在 x=0 间断的奇函数D.在 x=0 间断的偶函数解析:解析 解法 1 取函数 它满足题设条件,则 是一个连续的偶函数,从而排除了选项 A,C,D,故选 B 解法 2 显然 f(x)在任何有限区间a,b上都可积,于是 连续;又因 f(x)是奇函数,则 13.设函数 y=f(x)在区间-1,3上的图形如图所示则函数 的图形为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:

    12、解析 根据题中函数 y=f(x)的图形,可知函数14.设函数 (分数:1.00)A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导 D.F(x)在 x= 处可导解析:15.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的交点为 x=0,x=1,x=2,因此该曲线与 x 轴围成的面积为 16.由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解

    13、析 17.曲线 与 x 轴所围成的图形,绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 A B C (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 18.设 f(x),g(x)在区间a,b上连续,且 g(x)f(x)m(m 为常数),由曲线 y=g(x),y=f(x),x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为 A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 先画草图如图所示,对 x 积分。体积微元 19.如图所示,x 轴上的一线密度为常数 ,长度为 l 的细杆,若质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a,已知引力系数为 k,则质点和细杆之间引力的大小为 A B

    14、C D (分数:1.00)A. B.C.D.解析:解析 三、解答题(总题数:18,分数:81.00)20.设 x-1,求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 当-1x0 时,原式= 当 x0 时,原式= 21.设 ,其中 x0,求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 ,于是 22.设 xOy 平面上有正方形 D(x,y)|0x1,0y1及直线 l:x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积(如图),试求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由题设知 所以,当 0x1 时, 当 1x2 时, 当 x2 时, 因此 23.设函数 f(x)在0

    15、,+)上可导,f(0)=0,且其反函数为 g(x),若 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 等式两边对 x 求导得 gf(x)f“(x)=2xe x +x 2 e x , 而 gf(x)x,故 xf“(x)=2xe x +x 2 e x 当 x0 时,f“(x)=2e x +xe x , 积分得 f(x)=(x+1)e x +C 由于 f(x)在 x=0 处右连续,故由 24.设 求函数 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 当 x-1,0)时, 当 x0,1时, 所以 设 (分数:4.00)(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数;(分数:2.00)_正确答案:()解析:证

    16、 设 t=u+,则有 (2).求 f(x)的值域(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 因为|sinx|在(-,+)内连续,注意到 f(x)的周期为 ,故只需在0,上讨论其值域 因为 令 f“(x)=0,得 ,且 又 因而 f(x)的最小值是 ,最大值是 ,故 f(x)的值域是 25.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数,且满足 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 在 两边对 x 求导,得 即 当 x0 时, 故 在题中所给等式中令 x=0 得 ,因 f(x)是 上的单调、可导函数,f -1 (x)的值域为 ,它是单调、非负的,故必有 f(0)=0,从而 , 于是 解析 (1)本

    17、题又一次用到了反函数的基本性质:f -1 f(x)=x; (2) 26.设函数 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 当 0x1 时, 当 x1 时, 所以 而 故 由 f“(x)=0 得唯一驻点 ,从而 为 f(x)的最小值点,最小值为 27.如图所示,设曲线方程为 ,梯形 OABC 的面积为 D,曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ,点 A 的坐标为(a,0),a0,证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证 因为 28.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0,x=,y=0 围成的曲边梯形,求 D 绕 Ox 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 (分数:5.00)

    18、_正确答案:()解析:解 29.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点,当 0x1 时 y0,又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 因为曲线过原点,所以 c=0 由题设有 ,即 则 令 ,得 ,代入 b 的表达式得 又因 及实际情况,知当 30.过点 P(1,0)作抛物线 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 设所作切线与抛物线相切于点 ,因为 故此切线方程为 又因该切线过点 P(1,0),所以 ,即 x 0 =3 从而,切线方程为 因此,所求旋转体的体积 31.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成一平面图形,求

    19、此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 在1,2上取积分元,体积元素 dV=2x|y|dx 旋转体积的体积 曲线 y=y(x)与 x=a,x=b(0ab)及 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积公式为 32.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 所确定,求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 A 的图形如图中阴影所示,取 y 为积分变量,它的变化区间为0,1,A 的两条边界曲线方程分别为 及 x=y 相应于0,1上任一小区间y,y+dy的薄片的体积元为

    20、于是所求体积为 33.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转所得的旋转体体积 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 作出图形如图所示 的方程为 y=x 2 +2(0x1), 的方程为 y=4-x 2 (1x2) 设旋转体在区间0,1上体积为 V 1 ,在区间1,2上的体积为 V 2 ,则它们的体积元素分别为 dV 1 =3 2 -3-(x 2 +2) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx dV 2 =3 2 -3-(4-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx 由对称性得 34.设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 2a、2b

    21、,用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积 V (分数:5.00)_正确答案:()解析:解法 1 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,两直角边长分别为 故截面积 ,楔形体的体积 解法 2 底面椭圆方程为 ,以垂直于 x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形,其边长分别为 及 xtan,故截面面积 ,楔形体的体积 35.设曲线 y=ax 2 (a0,x0)与 y=1-x 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形(如图)问 a 为何值时,该图形绕 x 轴旋转一周所

    22、得的旋转体体积最大?最大体积是多少? (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 当 x0 时,由 解得 ,故直线 OA 的方程为 旋转体的体积 令 ,并由 a0 得唯一驻点 a=4 由题意知此旋转体在 a=4 时取最大值,其最大体积为 设 D 是位于曲线 (分数:5.00)(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a);(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 所求旋转体的体积为 (2).当 a 为何值时,V(a)最小?并求此最小值(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 令 V“(a)=0,得 lna=1,从而 a=e当 1ae 时,V“(a)0,V(a)单调减少; 当 ae 时,V“(a)0,V(a)单调增加,所以 a=e 时 V 最小,最小体积为


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