1、考研数学二-89 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.函数 y=x+2cosx 在区间 （分数：1.00）2.设 （分数：1.00）3.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1 （分数：1.00）4.曲线 y=e -x2 的凸区间是 1 （分数：1.00）5.设函数 y(x)由参数方程 （分数：1.00）6.曲线 （分数：1.00）二、选择题(总题数：14，分数：14.00)7.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 0 0 是函数 f(x)的极大值点，则（分数：1.00）A.x0 必是 f(x)的驻点B.-x0 必是-
2、f(-x)的极小值点C.-x0 必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x0)8.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y“-e sinx =0 的解，且 f“(x 0 )=0，则 f(x)在（分数：1.00）A.x0 某邻域内单调增加B.x0 某邻域内单调减少C.x0 处取得极小值D.x0 处取得极大值9.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则（分数：1.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加10.已知函数
3、y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ，若 f“(x 0 )=0(x 0 0)，则（分数：1.00）A.f(x0)是 f(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极小值C.(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点11.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有 A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0 C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设函数 f(x)满足关系
4、式 f“(x)+f“(x) 2 =x，且 f“(0)=0，则（分数：1.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13.已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图所示，则其导函数 y=f“(x)的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 （分数：1.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个
5、极大值点D.三个极小值点和一个极大值点15.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内（分数：1.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)016.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为（分数：1.00）A.0B.1C.2D.317.设 f(x)=|x(1-x)|，则（分数：1.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0
6、是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点18.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：1.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)19.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：1.00）A.0B.1C.2D.320.设函数 f(
7、x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 （分数：1.00）A.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点C.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点三、解答题(总题数：10，分数：80.00)21.如图所示，A，D 分别是曲线 y=e x 和 y=e -2x 上的点，AB 和 DC 均垂直 x 轴，且|AB|:|DC|=2:1，|AB|1求点 B 和 C 的横坐标，使梯形 ABCD 的面积最大 （分数：
8、8.00）_22.求曲线 （分数：8.00）_23.作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小，并求出该最小值 （分数：8.00）_24.求函数 （分数：8.00）_25.设函数 y=y(x)由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 所确定，试求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点 （分数：8.00）_26.求函数 （分数：8.00）_27.已知函数 y=y(x)满足微分方程 x 2 +y 2 y“=1-y“，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值 （分数：8.00）_28.求曲线 （分数：8.00）_29.设函数 y=y(x)由参数
9、方程 （分数：8.00）_30.作函数 （分数：8.00）_考研数学二-89 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1.函数 y=x+2cosx 在区间 （分数：1.00）解析：解析 y“=1-2sinx，y“=-2cosx，令 y“=0 得 ，则 y=x+2cosx 在 取得极大值又在上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为 2.设 （分数：1.00）解析：解析 ，令 ，解得 则 F(x)单调减少区间为 3.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1 （分数：1.00）解析： 解析 因为 y“=x 2x (2lnx+2)，令 y
10、“=0 得驻点 当 时，y“(x)0；当 时，y“(x)0，即 y(x)在 内单调减少，在 内单调增加，故 为 y=x 2x 的极小值点，此时 又 所以 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 4.曲线 y=e -x2 的凸区间是 1 （分数：1.00）解析： 解析 y“=2xe -x2 ，y“=-2e -x2 +4x 2 e -x2 =2e -x2 (2x 2 -1)。 令 y“=0 得 5.设函数 y(x)由参数方程 （分数：1.00）解析：(-，1)(或(-，1) 解析 因 由题设知 ，故 t0又 x“(t)=3t 2 +30，x(t)为 t 的单调增加函数；t=0 时，x=1， 6.
11、曲线 （分数：1.00）解析：(-1，-6) 解析 二、选择题(总题数：14，分数：14.00)7.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 0 0 是函数 f(x)的极大值点，则（分数：1.00）A.x0 必是 f(x)的驻点B.-x0 必是-f(-x)的极小值点 C.-x0 必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x0)解析：解析 解法 1 排除法f(x)=-|x-x 0 |，显然 f(x)在 x 0 取极大值，但 f“(x 0 )不存在，则 x 0 不是 f(x)的驻点，从而 A 不对又-f(x)=|x-x 0 |，显然-f(x)只有唯一极小值点 x=x 0 ，又 x
12、0 0，则 x 0 -x 0 ，从而-x 0 不是-f(x)的极小值点，则 C 也不对。D 显然不对，由于极值是一个局部性质，不能保证对一切 x 有 f(x)f(x 0 )，而只能保证在 x 0 某邻域内有 f(x)f(x 0 )，所以应选 B 解法 2 直接法由于 f(x)在 x 0 取极大值，则 8.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y“-e sinx =0 的解，且 f“(x 0 )=0，则 f(x)在（分数：1.00）A.x0 某邻域内单调增加B.x0 某邻域内单调减少C.x0 处取得极小值 D.x0 处取得极大值解析：解析 由于 y=f(x)满足方程 y“+y“-e sinx =
13、0，则 f“(x)+f“(x)-e sinx 0， 令 x=x 0 ，得 f“(x 0 )+f“(x 0 )-e sinx0 =0， 即 f“(x 0 )=e sinx0 0， 又 f“(x 0 )=0，则 f(x)在 x 0 处取极小值 本题不要试着去解方程得到 y=f(x)的表达式，我们关心的是 x 0 这一点的导数9.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则（分数：1.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析：解析 由于
14、对任意的 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时-x 1 -x 2 ，则有 f(-x 1 )f(-x 2 )，即-f(-x 1 )-f(-x 2 )，也就是说，当 x 1 x 2 时，-f(-x 1 )-f(-x 2 )，故-f(-x)单调增加 由题意知 f(x)在(-，+)上单调增加，于是 f(-x)在(-，+)单调减少，则f(-x)“=f“(-x)(-1)0，故 f“(-x)0，B 错误这里要知道 f“(-x)表示的是对中间变量 u=-x 这个整体求导，与f(-x)“不是一回事10.已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ，若 f“(x
15、 0 )=0(x 0 0)，则（分数：1.00）A.f(x0)是 f(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 f“(x 0 )=0 知 x 0 是 f(x)的驻点将 x=x 0 代入微分方程 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x 中，得 11.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有 A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0 C D
16、（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 函数在点 x=a 处取极大值，按定义，存在一个邻域(a-，a+)，使当 x(a-，a+)时，有 f(x)f(a)所以当 a-xa 时， (x-a)f(x)-f(a)0； 当 axa+ 时， (x-a)f(x)-f(a)0 因此，A，B 均错至于 C，D 两项，由于 f(t)在 t=a 连续，且 xa，故 C，D 分别就是 f(a)-f(x)0 及f(a)-f(x)0，当 f(a)为极大值时 C 成立，应选 C12.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f“(x) 2 =x，且 f“(0)=0，则（分数：1.00）A.f(0)是 f(x)的极大值
17、B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 f“(0)=0 知 x=0 是函数 f(x)的一个驻点；由关系式知 f“(0)=0，即(0，f(0)可能是拐点如何判断?可以分别考查 f“(x)与 f“(x)在点 x=0 的左右邻域是否变号，但在本题中这不容易做到；于是去求 f(x)在点 x=0 处的更高阶的导数仍由原关系式可得 f“(0)=1从而得知点(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点，即选项 C 是正确的 可导函数的极值点与拐点不可能是同一个点的13.已知函数
18、y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图所示，则其导函数 y=f“(x)的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 抓住 y=f(x)的图形中的曲线上升(f“(x)0)、下降(f“(x)0)区间，驻点(f“(x)=0)的个数，就可知应选 D14.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 （分数：1.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析 因 f(x)处处连续，故其一阶导数等于 0 的点(驻点)和一阶导数不存在的点是可能的极值点当
19、x 自左至右经过这些点时，导数符号由正变负，则该点为极大值点；当 x 自左至右经过这些点时，导数符号由负变正，则该点为极小值点故应选择 C由于本题题型新颖，特别是考生未考虑 x=0 处的情况，因此相当多考生选择了 B15.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内（分数：1.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 解法 1 由 f(x)=-f(-x)知 f(-x)=-f(x)，即 f(x)的图形关于原点对称，从而由在(0，+)内 f“(x)
20、0，f“(x)0 可知，在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0因此应选 C 解法 2 等式 f(x)=-f(-x)两边对 x 求导得 f“(x)=f“(-x)，f“(x)=-f“(-x) 当 x(0，+)时，-x(-，0)，则 f“(-x)=f“(x)0，f“(-x)=-f“(x)0 故 f(x)在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)016.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为（分数：1.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 本题的曲线对称于直线 x=2，所以，它或者没有拐点或者只有 2 个拐点，因此 B，D 被排除又 y“=4(x-1)(x-2)(x-3)， 对
21、导函数 y“应用罗尔中值定理，y“有两个零点，从而知原曲线有两个拐点也可直接求函数的二阶导数的零点，再判断在零点左、右邻域的二阶导数是否变号17.设 f(x)=|x(1-x)|，则（分数：1.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 因为 f(x)=|x(1-x)|0，f(0)=0，故 x=0 是极值点，因而选项 B 与 D
22、 不正确而在点 x=0的邻域内： 当 x0 时，f(x)=-x(1-x)=x 2 -x，f“(x)=20； 当 x0 时，f(x)=x(1-x)=x-x 2 ，f“(x)=-20， 所以(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点选项 C 正确18.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：1.00）A.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) 解析：解析 解法 1 如果对区间上任意两点 x 1 ，x 2 及常数 01，恒
23、有 f(1-)x 1 +x 2 (1-)f(x 1 )+f(x 2 )， 则曲线是凹的 令 x 1 =0，x 2 =1，=x，则(1-)f(x 1 )+f(x 2 )=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x)，而 f(1-)x 1 +x 2 =f(x)， 故当 f“(x)0 时，曲线是凹的，即 f(1-)x 1 +x 2 (1-)f(x 1 )+f(x 2 )， 也就是 f(x)g(x)，应选 D 解法 2 令 F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x)(1-x)-f(1)x，则 F(0)=F(1)=0，且 f“(x)=f“(x)，故当 f“(x)0 时，曲线是凹的，从而 F(x)在端点
24、 x=0，x=1 处取最大值，而 F(0)=F(1)=0，故 F(x)=f(x)-g(x)0，也就是f(x)g(x)，应选 D19.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：1.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 f(x)在(-，+)内连续，除点 x=0 外处处 2 阶可导y=f(x)的可疑拐点是 f“(x)=0 的点及 f“(x)不存在的点 f“(x)的零点有 2 个，如图所示，A 点两侧 f“(x)恒正，对应的点不是 y=f(x)的拐点B 点两侧 f“(x)异号，对应的点是 y=f(x)的拐点 20.设
25、函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 （分数：1.00）A.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点 C.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点解析：解析 如图所示，x 1 ，x 3 ，x 5 为驻点，而在 x 1 和 x 3 两侧 f“(x)变号，为极值点；x 5 两侧 f“(x)不变号，则不是极值点；在 x 2 处一阶导数不存在，但在 x 2 两侧 f“(x)不变号，则不是极值点；在
26、 x 2 处二阶导数不存在，在 x 4 和 x 5 处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数单调性发生变化，则都为拐点，故应选 B 三、解答题(总题数：10，分数：80.00)21.如图所示，A，D 分别是曲线 y=e x 和 y=e -2x 上的点，AB 和 DC 均垂直 x 轴，且|AB|:|DC|=2:1，|AB|1求点 B 和 C 的横坐标，使梯形 ABCD 的面积最大 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设 B，C 的横坐标分别为 x 1 ，x，则 e x1 =2e -2x ， 得 x 1 =ln2-2x， BC=x-x 1 =3x-ln2，x0 梯形 ABCD 的面积 ，则
27、 S“= (-6x+2ln2+3)e -2x 令 S“=0，得 于是由问题的实际意义可得，当 22.求曲线 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 在点 处的切线 l 方程为 所围面积为 令 ，得 t=1 又 S“(1)0，故 t=1 时，S 取最小值此时 l 的方程为 23.作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小，并求出该最小值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 如图所示，设圆锥底面圆半径为 R则 于是圆锥体积为 由 可得 V(h)在(2r，+)内的唯一驻点 h=4r，当 h=4r 时，V 取最小值， 24.求函数 （分数：8
28、.00）_正确答案：()解析：解 因 f(x)是偶函数，故只需求 f(x)在(0，+)内的最大值与最小值 令 f“(x)=2x(2-x 2 )e -x2 =0，在区间(0，+)内有唯一驻点 当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0，所以 极大值点，即最大值点 最大值 又 25.设函数 y=y(x)由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 所确定，试求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 对方程两边求导可得 3y 2 y“-2yy“+xy“+y-x=0 (*) 令 y“=0，由(*)得 y=x，将此代入原方程有 2x 3 -x 2
29、-1=0 从而可得唯一驻点 x=1对(*)式两边再求导，得 (3y 2 -2y+x)y“+2(3y-1)y “2 +2y“-1=0， 因此 26.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 函数 f(x)的定义域为(-，+)，由于 所以 f(x)的驻点为 x=0，1 列表讨论如下： x (-，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+) f“(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 极小 极大 极小 因此，f(x)的单调增加区间为(-1，0)和(1，+)；f(x)的单调减少区间为(-，-1)和(0，1)f(x)的极小值为 ；极大值为 27.已知函数 y=y(x)满足微
30、分方程 x 2 +y 2 y“=1-y“，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 x 2 +y 2 y“=1-y“，得 28.求曲线 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=0，解得 因在点 的左、右邻域 y“变号，故 是拐点的横坐标 所以曲线的拐点是 29.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 ，得 t=1当 t=1 时， ；当 t=-1 时，x=-1，y=1 令 ，得 t=0，此时 列表如下： 由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(-1)=1，极小值为 ； 曲线 y=y(x)的凹区间为 ，凸区间为 ； 曲线 y=y(x)的拐点为 30.作函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 单调增加区间 (-，1) 单调减少区间 (1，+) 极值点 1 极值 2 凹()区间 (-，0)及(2，+) 凸()区间 (0，2) 拐点 渐近线 y=0
