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    【考研类试卷】考研数学二-89及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学二-89及答案解析.doc

    1、考研数学二-89 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:6.00)1.函数 y=x+2cosx 在区间 (分数:1.00)2.设 (分数:1.00)3.函数 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 1 (分数:1.00)4.曲线 y=e -x2 的凸区间是 1 (分数:1.00)5.设函数 y(x)由参数方程 (分数:1.00)6.曲线 (分数:1.00)二、选择题(总题数:14,分数:14.00)7.设函数 f(x)在(-,+)内有定义,x 0 0 是函数 f(x)的极大值点,则(分数:1.00)A.x0 必是 f(x)的驻点B.-x0 必是-

    2、f(-x)的极小值点C.-x0 必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x0)8.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y“-e sinx =0 的解,且 f“(x 0 )=0,则 f(x)在(分数:1.00)A.x0 某邻域内单调增加B.x0 某邻域内单调减少C.x0 处取得极小值D.x0 处取得极大值9.设 f(x)在(-,+)内可导,且对任意 x 1 ,x 2 ,当 x 1 x 2 时,都有 f(x 1 )f(x 2 ),则(分数:1.00)A.对任意 x,f“(x)0B.对任意 x,f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加10.已知函数

    3、y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ,若 f“(x 0 )=0(x 0 0),则(分数:1.00)A.f(x0)是 f(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极小值C.(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值,(x0,f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点11.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续,且 f(a)为其极大值,则存在 0,当 x(a-,a+)时,必有 A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0 C D (分数:1.00)A.B.C.D.12.设函数 f(x)满足关系

    4、式 f“(x)+f“(x) 2 =x,且 f“(0)=0,则(分数:1.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值,点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13.已知函数 y=f(x)在其定义域内可导,它的图形如图所示,则其导函数 y=f“(x)的图形为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.14.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有 (分数:1.00)A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个

    5、极大值点D.三个极小值点和一个极大值点15.若 f(x)=-f(-x),在(0,+)内 f“(x)0,f“(x)0,则 f(x)在(-,0)内(分数:1.00)A.f“(x)0,f“(x)0B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0D.f“(x)0,f“(x)016.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为(分数:1.00)A.0B.1C.2D.317.设 f(x)=|x(1-x)|,则(分数:1.00)A.x=0 是 f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点,但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0

    6、是 f(x)的极值点,且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点18.设函数 f(x)具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间0,1上(分数:1.00)A.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)19.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其 2 阶导函数 f“(x)的图形如图所示,则曲线 y=f(x)的拐点个数为 (分数:1.00)A.0B.1C.2D.320.设函数 f(

    7、x)在(-,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则 (分数:1.00)A.函数 f(x)有 2 个极值点,曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点,曲线 y=f(x)有 3 个拐点C.函数 f(x)有 3 个极值点,曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函数 f(x)有 3 个极值点,曲线 y=f(x)有 2 个拐点三、解答题(总题数:10,分数:80.00)21.如图所示,A,D 分别是曲线 y=e x 和 y=e -2x 上的点,AB 和 DC 均垂直 x 轴,且|AB|:|DC|=2:1,|AB|1求点 B 和 C 的横坐标,使梯形 ABCD 的面积最大 (分数:

    8、8.00)_22.求曲线 (分数:8.00)_23.作半径为 r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高 h 为何值时,其体积 V 最小,并求出该最小值 (分数:8.00)_24.求函数 (分数:8.00)_25.设函数 y=y(x)由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 所确定,试求 y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点 (分数:8.00)_26.求函数 (分数:8.00)_27.已知函数 y=y(x)满足微分方程 x 2 +y 2 y“=1-y“,且 y(2)=0,求 y(x)的极大值与极小值 (分数:8.00)_28.求曲线 (分数:8.00)_29.设函数 y=y(x)由参数

    9、方程 (分数:8.00)_30.作函数 (分数:8.00)_考研数学二-89 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:6.00)1.函数 y=x+2cosx 在区间 (分数:1.00)解析:解析 y“=1-2sinx,y“=-2cosx,令 y“=0 得 ,则 y=x+2cosx 在 取得极大值又在上极值点唯一,则该极大值为最大值,最大值为 2.设 (分数:1.00)解析:解析 ,令 ,解得 则 F(x)单调减少区间为 3.函数 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 1 (分数:1.00)解析: 解析 因为 y“=x 2x (2lnx+2),令 y

    10、“=0 得驻点 当 时,y“(x)0;当 时,y“(x)0,即 y(x)在 内单调减少,在 内单调增加,故 为 y=x 2x 的极小值点,此时 又 所以 y=x 2x 在区间(0,1上的最小值为 4.曲线 y=e -x2 的凸区间是 1 (分数:1.00)解析: 解析 y“=2xe -x2 ,y“=-2e -x2 +4x 2 e -x2 =2e -x2 (2x 2 -1)。 令 y“=0 得 5.设函数 y(x)由参数方程 (分数:1.00)解析:(-,1)(或(-,1) 解析 因 由题设知 ,故 t0又 x“(t)=3t 2 +30,x(t)为 t 的单调增加函数;t=0 时,x=1, 6.

    11、曲线 (分数:1.00)解析:(-1,-6) 解析 二、选择题(总题数:14,分数:14.00)7.设函数 f(x)在(-,+)内有定义,x 0 0 是函数 f(x)的极大值点,则(分数:1.00)A.x0 必是 f(x)的驻点B.-x0 必是-f(-x)的极小值点 C.-x0 必是-f(x)的极小值点D.对一切 x 都有 f(x)f(x0)解析:解析 解法 1 排除法f(x)=-|x-x 0 |,显然 f(x)在 x 0 取极大值,但 f“(x 0 )不存在,则 x 0 不是 f(x)的驻点,从而 A 不对又-f(x)=|x-x 0 |,显然-f(x)只有唯一极小值点 x=x 0 ,又 x

    12、0 0,则 x 0 -x 0 ,从而-x 0 不是-f(x)的极小值点,则 C 也不对。D 显然不对,由于极值是一个局部性质,不能保证对一切 x 有 f(x)f(x 0 ),而只能保证在 x 0 某邻域内有 f(x)f(x 0 ),所以应选 B 解法 2 直接法由于 f(x)在 x 0 取极大值,则 8.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y“-e sinx =0 的解,且 f“(x 0 )=0,则 f(x)在(分数:1.00)A.x0 某邻域内单调增加B.x0 某邻域内单调减少C.x0 处取得极小值 D.x0 处取得极大值解析:解析 由于 y=f(x)满足方程 y“+y“-e sinx =

    13、0,则 f“(x)+f“(x)-e sinx 0, 令 x=x 0 ,得 f“(x 0 )+f“(x 0 )-e sinx0 =0, 即 f“(x 0 )=e sinx0 0, 又 f“(x 0 )=0,则 f(x)在 x 0 处取极小值 本题不要试着去解方程得到 y=f(x)的表达式,我们关心的是 x 0 这一点的导数9.设 f(x)在(-,+)内可导,且对任意 x 1 ,x 2 ,当 x 1 x 2 时,都有 f(x 1 )f(x 2 ),则(分数:1.00)A.对任意 x,f“(x)0B.对任意 x,f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析:解析 由于

    14、对任意的 x 1 ,x 2 ,当 x 1 x 2 时-x 1 -x 2 ,则有 f(-x 1 )f(-x 2 ),即-f(-x 1 )-f(-x 2 ),也就是说,当 x 1 x 2 时,-f(-x 1 )-f(-x 2 ),故-f(-x)单调增加 由题意知 f(x)在(-,+)上单调增加,于是 f(-x)在(-,+)单调减少,则f(-x)“=f“(-x)(-1)0,故 f“(-x)0,B 错误这里要知道 f“(-x)表示的是对中间变量 u=-x 这个整体求导,与f(-x)“不是一回事10.已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ,若 f“(x

    15、 0 )=0(x 0 0),则(分数:1.00)A.f(x0)是 f(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值,(x0,f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 由 f“(x 0 )=0 知 x 0 是 f(x)的驻点将 x=x 0 代入微分方程 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x 中,得 11.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续,且 f(a)为其极大值,则存在 0,当 x(a-,a+)时,必有 A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0 C D

    16、(分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 函数在点 x=a 处取极大值,按定义,存在一个邻域(a-,a+),使当 x(a-,a+)时,有 f(x)f(a)所以当 a-xa 时, (x-a)f(x)-f(a)0; 当 axa+ 时, (x-a)f(x)-f(a)0 因此,A,B 均错至于 C,D 两项,由于 f(t)在 t=a 连续,且 xa,故 C,D 分别就是 f(a)-f(x)0 及f(a)-f(x)0,当 f(a)为极大值时 C 成立,应选 C12.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f“(x) 2 =x,且 f“(0)=0,则(分数:1.00)A.f(0)是 f(x)的极大值

    17、B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值,点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 由 f“(0)=0 知 x=0 是函数 f(x)的一个驻点;由关系式知 f“(0)=0,即(0,f(0)可能是拐点如何判断?可以分别考查 f“(x)与 f“(x)在点 x=0 的左右邻域是否变号,但在本题中这不容易做到;于是去求 f(x)在点 x=0 处的更高阶的导数仍由原关系式可得 f“(0)=1从而得知点(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点,即选项 C 是正确的 可导函数的极值点与拐点不可能是同一个点的13.已知函数

    18、y=f(x)在其定义域内可导,它的图形如图所示,则其导函数 y=f“(x)的图形为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 抓住 y=f(x)的图形中的曲线上升(f“(x)0)、下降(f“(x)0)区间,驻点(f“(x)=0)的个数,就可知应选 D14.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有 (分数:1.00)A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析:解析 因 f(x)处处连续,故其一阶导数等于 0 的点(驻点)和一阶导数不存在的点是可能的极值点当

    19、x 自左至右经过这些点时,导数符号由正变负,则该点为极大值点;当 x 自左至右经过这些点时,导数符号由负变正,则该点为极小值点故应选择 C由于本题题型新颖,特别是考生未考虑 x=0 处的情况,因此相当多考生选择了 B15.若 f(x)=-f(-x),在(0,+)内 f“(x)0,f“(x)0,则 f(x)在(-,0)内(分数:1.00)A.f“(x)0,f“(x)0B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0 D.f“(x)0,f“(x)0解析:解析 解法 1 由 f(x)=-f(-x)知 f(-x)=-f(x),即 f(x)的图形关于原点对称,从而由在(0,+)内 f“(x)

    20、0,f“(x)0 可知,在(-,0)内 f“(x)0,f“(x)0因此应选 C 解法 2 等式 f(x)=-f(-x)两边对 x 求导得 f“(x)=f“(-x),f“(x)=-f“(-x) 当 x(0,+)时,-x(-,0),则 f“(-x)=f“(x)0,f“(-x)=-f“(x)0 故 f(x)在(-,0)内 f“(x)0,f“(x)016.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为(分数:1.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析 本题的曲线对称于直线 x=2,所以,它或者没有拐点或者只有 2 个拐点,因此 B,D 被排除又 y“=4(x-1)(x-2)(x-3), 对

    21、导函数 y“应用罗尔中值定理,y“有两个零点,从而知原曲线有两个拐点也可直接求函数的二阶导数的零点,再判断在零点左、右邻域的二阶导数是否变号17.设 f(x)=|x(1-x)|,则(分数:1.00)A.x=0 是 f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点,但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点,且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 因为 f(x)=|x(1-x)|0,f(0)=0,故 x=0 是极值点,因而选项 B 与 D

    22、 不正确而在点 x=0的邻域内: 当 x0 时,f(x)=-x(1-x)=x 2 -x,f“(x)=20; 当 x0 时,f(x)=x(1-x)=x-x 2 ,f“(x)=-20, 所以(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点选项 C 正确18.设函数 f(x)具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间0,1上(分数:1.00)A.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)B.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)C.当 f“(x)0 时,f(x)g(x)D.当 f“(x)0 时,f(x)g(x) 解析:解析 解法 1 如果对区间上任意两点 x 1 ,x 2 及常数 01,恒

    23、有 f(1-)x 1 +x 2 (1-)f(x 1 )+f(x 2 ), 则曲线是凹的 令 x 1 =0,x 2 =1,=x,则(1-)f(x 1 )+f(x 2 )=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x),而 f(1-)x 1 +x 2 =f(x), 故当 f“(x)0 时,曲线是凹的,即 f(1-)x 1 +x 2 (1-)f(x 1 )+f(x 2 ), 也就是 f(x)g(x),应选 D 解法 2 令 F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x)(1-x)-f(1)x,则 F(0)=F(1)=0,且 f“(x)=f“(x),故当 f“(x)0 时,曲线是凹的,从而 F(x)在端点

    24、 x=0,x=1 处取最大值,而 F(0)=F(1)=0,故 F(x)=f(x)-g(x)0,也就是f(x)g(x),应选 D19.设函数 f(x)在(-,+)内连续,其 2 阶导函数 f“(x)的图形如图所示,则曲线 y=f(x)的拐点个数为 (分数:1.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析 f(x)在(-,+)内连续,除点 x=0 外处处 2 阶可导y=f(x)的可疑拐点是 f“(x)=0 的点及 f“(x)不存在的点 f“(x)的零点有 2 个,如图所示,A 点两侧 f“(x)恒正,对应的点不是 y=f(x)的拐点B 点两侧 f“(x)异号,对应的点是 y=f(x)的拐点 20.设

    25、函数 f(x)在(-,+)内连续,其导函数的图形如图所示,则 (分数:1.00)A.函数 f(x)有 2 个极值点,曲线 y=f(x)有 2 个拐点B.函数 f(x)有 2 个极值点,曲线 y=f(x)有 3 个拐点 C.函数 f(x)有 3 个极值点,曲线 y=f(x)有 1 个拐点D.函数 f(x)有 3 个极值点,曲线 y=f(x)有 2 个拐点解析:解析 如图所示,x 1 ,x 3 ,x 5 为驻点,而在 x 1 和 x 3 两侧 f“(x)变号,为极值点;x 5 两侧 f“(x)不变号,则不是极值点;在 x 2 处一阶导数不存在,但在 x 2 两侧 f“(x)不变号,则不是极值点;在

    26、 x 2 处二阶导数不存在,在 x 4 和 x 5 处二阶导数为零,在这三个点两侧一阶导函数单调性发生变化,则都为拐点,故应选 B 三、解答题(总题数:10,分数:80.00)21.如图所示,A,D 分别是曲线 y=e x 和 y=e -2x 上的点,AB 和 DC 均垂直 x 轴,且|AB|:|DC|=2:1,|AB|1求点 B 和 C 的横坐标,使梯形 ABCD 的面积最大 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 设 B,C 的横坐标分别为 x 1 ,x,则 e x1 =2e -2x , 得 x 1 =ln2-2x, BC=x-x 1 =3x-ln2,x0 梯形 ABCD 的面积 ,则

    27、 S“= (-6x+2ln2+3)e -2x 令 S“=0,得 于是由问题的实际意义可得,当 22.求曲线 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 因为 ,所以 在点 处的切线 l 方程为 所围面积为 令 ,得 t=1 又 S“(1)0,故 t=1 时,S 取最小值此时 l 的方程为 23.作半径为 r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高 h 为何值时,其体积 V 最小,并求出该最小值 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 如图所示,设圆锥底面圆半径为 R则 于是圆锥体积为 由 可得 V(h)在(2r,+)内的唯一驻点 h=4r,当 h=4r 时,V 取最小值, 24.求函数 (分数:8

    28、.00)_正确答案:()解析:解 因 f(x)是偶函数,故只需求 f(x)在(0,+)内的最大值与最小值 令 f“(x)=2x(2-x 2 )e -x2 =0,在区间(0,+)内有唯一驻点 当 时,f“(x)0;当 时,f“(x)0,所以 极大值点,即最大值点 最大值 又 25.设函数 y=y(x)由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 所确定,试求 y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 对方程两边求导可得 3y 2 y“-2yy“+xy“+y-x=0 (*) 令 y“=0,由(*)得 y=x,将此代入原方程有 2x 3 -x 2

    29、-1=0 从而可得唯一驻点 x=1对(*)式两边再求导,得 (3y 2 -2y+x)y“+2(3y-1)y “2 +2y“-1=0, 因此 26.求函数 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 函数 f(x)的定义域为(-,+),由于 所以 f(x)的驻点为 x=0,1 列表讨论如下: x (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) f“(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 极小 极大 极小 因此,f(x)的单调增加区间为(-1,0)和(1,+);f(x)的单调减少区间为(-,-1)和(0,1)f(x)的极小值为 ;极大值为 27.已知函数 y=y(x)满足微

    30、分方程 x 2 +y 2 y“=1-y“,且 y(2)=0,求 y(x)的极大值与极小值 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 由 x 2 +y 2 y“=1-y“,得 28.求曲线 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 令 y“=0,解得 因在点 的左、右邻域 y“变号,故 是拐点的横坐标 所以曲线的拐点是 29.设函数 y=y(x)由参数方程 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 令 ,得 t=1当 t=1 时, ;当 t=-1 时,x=-1,y=1 令 ,得 t=0,此时 列表如下: 由此可知,函数 y(x)的极大值为 y(-1)=1,极小值为 ; 曲线 y=y(x)的凹区间为 ,凸区间为 ; 曲线 y=y(x)的拐点为 30.作函数 (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 单调增加区间 (-,1) 单调减少区间 (1,+) 极值点 1 极值 2 凹()区间 (-,0)及(2,+) 凸()区间 (0,2) 拐点 渐近线 y=0


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