1、考研数学二-88 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：15.00)1.已知函数 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：1.00）2.曲线 y=arctanx 在横坐标为 1 的点处的切线方程是 1；法线方程是 2 （分数：1.00）3.曲线 （分数：1.00）4.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y -cosxy=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1 （分数：1.00）5.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1 （分数：1.00）6.
2、曲线 sinxy+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程是 1 （分数：1.00）7.曲线 上对应于 （分数：1.00）8.曲线 （分数：1.00）9.曲线 （分数：1.00）10.曲线 上对应于 （分数：1.00）11.曲线 （分数：1.00）12.曲线 （分数：1.00）13.曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点 （分数：1.00）14.已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 1 （分数：1.00）15.已知动点 P 在曲线 y=x 3 上运动，记坐标原点与点 P 间的
3、距离为 l若点 P 的横坐标对时间的变化率为常数 v 0 ，则当点 P 运动到点(1，1)时，l 对时间的变化率是 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：8，分数：8.00)16.设函数 y=f(x)由方程 cosxy+lny-x=1 确定，则 （分数：1.00）A.2B.1C.-1D.-217.设函数 （分数：1.00）A.-1B.0-1C.-2D.0-218. 的图形在点(0，1)处切线与 x 轴交点坐标是 A B(-1，0) C （分数：1.00）A.B.C.D.19.若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则（分数：1
4、.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-120.曲线 y=x 2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=（分数：1.00）A.4eB.3eC.2eDe21.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 A B （分数：1.00）A.B.C.D.22.设两函数 f(x)和 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处（分数：1.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定23.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，
5、且 （分数：1.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值三、解答题(总题数：7，分数：77.00)24.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+(x)， 其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：11.00）_25.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于 （分数：11.00）_26.若 f(x)在(a，b)内可导，且导数 f“(x)恒大于零，则 f(x)在(a，b)内
6、单调增加 （分数：11.00）_27.若 g(x)在 x=c 处二阶导数存在，且 g“(c)=0，g“(c)0，则 g(c)为 g(x)的一个极大值 （分数：11.00）_28.在第一象限内求曲线 y=-x 2 +1 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积 （分数：11.00）_29.将长为 a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小 （分数：11.00）_30.在椭圆 （分数：11.00）_考研数学二-88 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，
7、分数：15.00)1.已知函数 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：1.00）解析：52 n-1 解析 f“(x)=2(x+1)+2f(x)，f“(0)=2+2f(0)=4， f“(x)=2+2f“(x)，f“(0)=2+24=10， f“(x)=2f“(x)，f“(0)=2f“(0)=20， f (n) (x)=2f (n-1) (x)=2 2 f (n-2) (x)=2 n-2 f“(x)， 则 f (n) (0)=2 n-2 f“(0)=2 n-2 10=2 n-2 10=52 n-1 (n2)2.曲线 y=arctanx 在横坐标为 1 的点处的切线方程是 1；法线方程是 2 （分
8、数：1.00）解析：解析 ，则 x=1 处切线方程为 ，法线方程为 3.曲线 （分数：1.00）解析：y=2x解析 y“=(x-1)(x-2)，y“(0)=2则所求切线方程为 y-0=2(x-0)，即 y=2x4.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y -cosxy=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1 （分数：1.00）解析：x-2y+2=0 解析 方程 e 2x+y -cosxy=e-1 两边同时对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入解得 5.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1
9、 （分数：1.00）解析：x-y=0 解析 在 xy+2lnx=y 4 两端对 x 求导得 将 x=1，y=1 代入上式得 6.曲线 sinxy+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程是 1 （分数：1.00）解析：y=x+1 解析 令 f(x，y)=sinxy+ln(y-x)-x，则 于是， 7.曲线 上对应于 （分数：1.00）解析： 解析 当 又 ， 则 处法线方程为 8.曲线 （分数：1.00）解析：3x-y-7=0解析 9.曲线 （分数：1.00）解析：y+2x-1=0 解析 当 x=0 时，t=0，故 10.曲线 上对应于 （分数：1.00）解析： 解析 因 故曲线上对应于
10、 处的法线斜率为 11.曲线 （分数：1.00）解析：y=2x 解析 点(0，0)对应于 t=1因为 所以切线斜率为 12.曲线 （分数：1.00）解析： 解析 曲线上对应于 t=1 的点处的切线斜率为 因而该点处的法线斜率为-1 又 于是所求法线方程为 13.曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点 （分数：1.00）解析：解析 先把曲线方程化为参数方程 于是在 处，x=0， ， ，则 L 在点处的切线方程为 ，即 14.已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 1 （分数：1.00）
11、解析：3cm/s 解析 以 y 表示对角线的长，则有 将 l“=2，w“=3，l=12，w=5 代入得到 15.已知动点 P 在曲线 y=x 3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l若点 P 的横坐标对时间的变化率为常数 v 0 ，则当点 P 运动到点(1，1)时，l 对时间的变化率是 1 （分数：1.00）解析： 解析 由题设知 ，则 二、选择题(总题数：8，分数：8.00)16.设函数 y=f(x)由方程 cosxy+lny-x=1 确定，则 （分数：1.00）A.2 B.1C.-1D.-2解析：解析 由方程 cosxy+lny-x=1，可解出 y| x=0 =f(0)=1 在方程两
12、端对 x 求导，有 将 x=0 及 y| x=0 =1 代入上式，得 y“| x=0 =f“(0)=1，所以 17.设函数 （分数：1.00）A.-1 B.0-1C.-2D.0-2解析：解析 易求出 再有 f“ - (0)=0 于是，f“(0)存在 1，此时 f“(0)=0 当 1 时， ， 因此，f“(x)在 x=0 连续 18. 的图形在点(0，1)处切线与 x 轴交点坐标是 A B(-1，0) C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 f“(x)=x 2 +x+6，f“(0)=6，点(0，1)处的切线方程为 y-1=6x，令 y=0 得 ，即此切线与 x 轴的交点坐标为 19.
13、若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则（分数：1.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-1 解析：解析 由于曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，则在点(1，-1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，-1) y“=2x+a，y“| x=1 =2+a 2y“=y 3 +3xy 2 y“，y“| x=1 =1 则 2+a=1，a=-1 又-1=1+a+b=1-1+b=b，b=-1 所以应选 D20.曲线 y=x 2 与曲线 y=aln
14、x(a0)相切，则 a=（分数：1.00）A.4eB.3eC.2e De解析：解析 设公共切点为(x 0 ，y 0 )，则有 解得 21.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 A B （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由 x=3 得 3=t 2 +2t，解之得 t 1 =1，t 2 =-3，由 y=ln(1+t)知应取 t=1 故曲线在(3，ln2)处的法线方程为 y-ln2=-8(x-3) 令 y=0，得 22.设两函数 f(x)和 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a
15、 处（分数：1.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定 解析：解析 本题的关键在于由题设可知在 x=a 的某邻域内有 f(a)f(x)，g(a)g(x)，由此能否得到g(a)f(a)g(x)f(x)或 g(a)f(a)g(x)f(x)，在一般情况下是得不到此结论的 若取 f(x)=-(x-a) 2 ，g(x)=-(x-a) 2 ，显然 f(x)和 g(x)在 x=a 处取极大值 0，但 f(x)g(x)=(x-a) 4 在x=a 处取极小值则 A，C 都不正确；若取 f(x)=1-(x-a) 2 ，g(x)=1-(x-a) 2 ，则 f(x)和 g(x)都在
16、x=a处取极大值 1，而 f(x)g(x)=1-(x-a) 2 2 在 x=a 处仍取极大值 1，则 B 也不正确，从而只有 D 对23.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 （分数：1.00）A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析 由于 ，故 又 ，故 由极限的保号性可知在 x=0 的去心邻域内有 ，即 f(x)0，故 f(x)在 x=0处取极小值，从而选 D 易知 f(0)=0， 由于 ，则必有 三、解答题(总题数：7，分数：77.00)24.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f
17、(1-sinx)=8x+(x)， 其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 得 f(1)-3f(1)=0，故 f(1)=0又 设 sinx=t，则有 25.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由直角坐标与极坐标之间的关系 得到此曲线的参数方程： 以 代入，得到切点坐标为 由参数方程求导公式得切线斜率为 所以切线的直角坐标方程为 即 法线方程为 即 26.若 f(x)在(a，b)内可导，
18、且导数 f“(x)恒大于零，则 f(x)在(a，b)内单调增加 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 ，不妨设 x 1 x 2 ，则 f(x)在x 1 ，x 2 上连续，在(x 1 ，x 2 )内可导，故由拉格朗日中值定理， 27.若 g(x)在 x=c 处二阶导数存在，且 g“(c)=0，g“(c)0，则 g(c)为 g(x)的一个极大值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 因 ，而 g“(c)=0，故 由极限的保号性， ，当 x(c-，c)时，有 ，即 g“(x)0，从而 g(x)在(c-，c)上单增；当 x(c，c+)时，有 28.在第一象限内求曲线 y=-x 2 +1
19、 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设所求点为(x 1 ，y 1 )，x 1 0，y 1 0，于是 y“| x=x1 =-2x 1 过(x 1 ，y 1 )的切线方程为 y-y 1 =-2x 1 (x-x 1 ) 令 x=0 得切线在 y 轴的截距 ，令 y=0 得切线在 x 轴的截距 于是，所求面积为 令 得 又 ，即知点 为所求，此时 29.将长为 a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设圆形的周长为 x，则正方形的周长为 a-x，两图形的面积之和为 令 A“=0，得 ，故当圆的周长为 ，正方形的周长为 30.在椭圆 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设所求点为 P(x 0 ，y 0 )，则该点处的切线方程为 ， 图形面积为 设 ，可得 为 A 的极大值点，即 S 的极小值点，此时， 即所求点为
