1、考研数学二-87 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 +y 2 )+e x -xy 2 =0 所确定，则 （分数：1.00）2.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：1.00）3.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，则 dy| x=0 = 1 （分数：1.00）4.设函数 y=y(x)由方程 y=1-xe y 确定，则 （分数：1.00）5.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：
2、1.00）6.设 y=y(x)是由方程 x 2 -y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：1.00）7.设函数 ，则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：1.00）8.设 其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：1.00）9.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 （分数：1.00）10.设 （分数：1.00）11.y=2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 1 （分数：1.00）12.设函数 （分数：1.00）13.函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1 （分数：1.00）14.函数 f(x)=
3、x 2 2 x 在 x=0 处的 n 阶导数 f (n) (0)= 1 （分数：1.00）二、解答题(总题数：16，分数：86.00)15.求由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数 y=y(x)的微分 dy （分数：6.00）_16.设函数 y=y(x)由方程 y=xe y =1 所确定，求 （分数：6.00）_17.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：6.00）_18.设函数 y=y(x)由方程 xe f(y) =e y 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f“1，求 （分数：6.00）_19.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f
4、“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xe y-1 =1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：6.00）_20.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：6.00）_21.设 （分数：5.00）_22.已知 （分数：5.00）_23.设 （分数：5.00）_24.设 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：5.00）_25.设函数 y=y(x)由 所确定，求 （分数：5.00）_26.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：5.00）_27.设函数
5、 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解，求 （分数：5.00）_设函数 （分数：5.00）(1).写出 f(x)的反函数 g(x)的表达式；（分数：2.50）_(2).g(x)是否有间断点、不可导点?若有，指出这些点（分数：2.50）_28.设函数 f(x)连续， ，且 （分数：5.00）_29.求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f (n) (0)(n3) （分数：5.00）_考研数学二-87 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：14，分数：14.00)1.函数 y=y(x)由方程 sin(x 2
6、+y 2 )+e x -xy 2 =0 所确定，则 （分数：1.00）解析： 解析 等式 sin(x 2 +y 2 )+e x -xy 2 =0 两边对 x 求导得 2cos(x 2 +y 2 )(x+yy“)+e x -y 2 -2xyy“=0， 则 2.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：1.00）解析：1 解析 两边同时对 x 求导，并将 x=0 代入求导所得式子即可 3.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，则 dy| x=0 = 1 （分数：1.00）解析：(ln2-1)dx 解析 等式两边同时求微分得 2 xy
7、 (ydx+xdy)ln2=dx+dy 由原方程知，当 x=0 时，y=1，并代入上式得 ln2dx-dx=dy， 即 dy| x=0 =(ln2-1)dx 也可先求出 y“| x=0 (原方程两边对 x 求导)4.设函数 y=y(x)由方程 y=1-xe y 确定，则 （分数：1.00）解析：-e 解析 将 x=0 代入方程 y=1-xe y 可得 y=1等式两端对 x 求导得 y“=-e y -xe y y“， 将 x=0，y=1 代入上式，得 5.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：1.00）解析：-3 解析 当 x=0 时，由原方程得 y(0)=
8、0在方程 xy+e y =x+1 两边对 x 求导得 y+xy“+e y y“=1， 代入 x=0，y(0)=0，便有 y“(0)=1 在式两边再次对 x 求导，得 2y“+xy“+e y y“+e y (y“) 2 =0， 代入 x=0，y(0)=0，y“(0)=1，得 y“(0)=-36.设 y=y(x)是由方程 x 2 -y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：1.00）解析：1 解析 将 x=0 代入 x 2 -y+1=e y ，可得到 y| x=0 =0 在 x 2 -y+1=e y 两边对 x 求导，得 将 x=0，y=0 代入上式，可得 在式两边再对 x 求导，得 将 x=0
9、，y=0， 代入上式，则可解得 7.设函数 ，则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：1.00）解析： 解析 由题设 ，可得 x| y=0 =-1 根据反函数求导法则，有 8.设 其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：1.00）解析：3解析 9.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 （分数：1.00）解析：解析 10.设 （分数：1.00）解析：48 解析 由参数式求导法 再由复合函数求导法则得 11.y=2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 1 （分数：1.00）解析： 解析 解法 1 (2 x ) (n) | x=0 =2 x (l
10、n2) n | x=0 =(ln2) n ，于是所求系数为 解法 2 利用泰勒展开 12.设函数 （分数：1.00）解析： 解析 解法 1 解法 2 利用泰勒展开 由泰勒展开系数的唯一性，得 13.函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1 （分数：1.00）解析：-2 n (n-1)! 解析 解法 1 由于 一般地有 y (n) =-2 n (n-1)!(1-2x) -n ， 所以 y (n) (0)=-2 n (n-1)! 解法 2 利用泰勒展开 ，由泰勒展开系数的唯一性，得 ，故 14.函数 f(x)=x 2 2 x 在 x=0 处的 n 阶导数 f
11、 (n) (0)= 1 （分数：1.00）解析：n(n-1)(ln2) n-2 (n=1，2，3，) 解析 解法 1 用求函数乘积的 n 阶导数的莱布尼茨公式 其中 注意(x 2 ) (k) | x=0 =0(k2)， ，于是 f“(0)=0， 因此 f (n) (0)=n(n-1)(ln2) n-2 (n=1，2，3，) 解法 2 利用泰勒展开 ，由泰勒展开系数的唯一性，得 ，故 二、解答题(总题数：16，分数：86.00)15.求由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数 y=y(x)的微分 dy （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 对方程两边求微分， 结合题中所给方程
12、，可得 16.设函数 y=y(x)由方程 y=xe y =1 所确定，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 方程两边对 x 求导得 y“e y -xe y y“=0， 上式两边再对 x 求导得 y“-e y y“-(e y y“+xe y y “2 +xe y y“)=0 由题设知 x=0 时 y=1，代入上面两式解得 y“(0)=e，y“(0)=2e 2 ， 即 17.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 y“=(1+y“)f“，故 ，y“(1+y“) 2 f“+y“f“， 所以 18.设函数 y=y(
13、x)由方程 xe f(y) =e y 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f“1，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 方程两边取对数，得 lnx+f(y)=y，从而求得 19.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xe y-1 =1 所确定设 z=f(lny-sinx)，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 在 y-xe y-1 =1 中，令 x=0，得 y=1 在 y-xe y-1 =1 两边对 x 求导，得 因为 故 又 所以 20.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函
14、数 试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 21.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因 ，故 22.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 23.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 24.设 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 25.设函数 y=y(x)由 所确定，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 因而 26.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 所以 当 x=
15、9 时，由 x=1+2t 2 及 t1 得 t=2，故 27.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 e x dx=2tdt，积分并由条件 x| t=0 =0，得 e x =1+t 2 ，即 x=ln(1+t 2 ) 设函数 （分数：5.00）(1).写出 f(x)的反函数 g(x)的表达式；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2).g(x)是否有间断点、不可导点?若有，指出这些点（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 g(x)在(-，+)内处处连续，没有间断点利用导数的定义容易验证，g(x)的不可导点是x=0 及 x=-128.设函数 f(x)连续， ，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由题设，知 f(0)=0，(0)=0令 u=xt，得 从而 由导数定义有 由于 从而知 “(x)在点 x=0 处连续 解析 通过变换将 (x)化为积分上限函数的形式，此时 x0，但根据 知 f(0)=0，从而 29.求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f (n) (0)(n3) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 由莱布尼茨公式 及 得 n3 时， 所以 解法 2 利用泰勒展开 由泰勒展开系数的唯一性，得 ，故
