1、考研数学二-86 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1 （分数：1.00）2.设 y=ln(1+ax)，其中 a 为非零常数，则 y“= 1，y“= 2 （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.设 （分数：1.00）5.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1 （分数：1.00）6.设 （分数：1.00）7.设 （分数：1.00）8.设 （分数：1.00）9.设 y=(1+sinx) x ，则 dy| x= = 1 （分数：1.00）10.设 ta
2、ny=x+y，则 dy= 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：16，分数：16.00)11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：1.00）A.f“(a)B.2f“(a)C.0D.f“(2a)12.若函数 y=f(x)，有 （分数：1.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小13.设 f(x)在点 x=a 的某个领域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14.设 （分数：1.00）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右
3、导数存在D.左、右导数都不存在15.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)若 F(x)在 x=0 处可导，则必有（分数：1.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=016.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的（分数：1.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f“(0)017.函数 f(x)=(x 2 -x-2)|x 3 -x|的不可导点的个数为（分数：1.00）A.0B.1C.2D.318.设 （分
4、数：1.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导19.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )，当自变量 x 在 x=-1 处取得增量 x=-0.1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f“(1)=（分数：1.00）A.-1B.0.1C.1D.0.520.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分数：1.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)21.设函数 （分数：1.00）A.处处可导B.恰有一个不司导点C.
5、恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点22.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x0，则（分数：1.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy023.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 A若 存在，则 f(0)=0 B若 存在，则 f(0)=0 C若 存在，则 f“(0)存在 D若 （分数：1.00）A.B.C.D.24.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：1.00）A.-2f“(0)B.-f“(0)
6、C.f“(0)D.025.设函数 f(x)=(e x -1)(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= A.(-1)n-1(n-1)! B.(-1)n(n-1)! C.(-1)n-1n! D.(-1)nn!（分数：1.00）A.B.C.D.26.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于（分数：1.00）A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1D.ln2-1三、解答题(总题数：4，分数：74.00)设函数 f(x)在(-，+)内有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 -4)，若对任意的 x 都
7、满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数（分数：18.00）(1).写出 f(x)在-2，0)上的表达式；（分数：9.00）_(2).问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导（分数：9.00）_27.已知 （分数：19.00）_28.设 y=sinf(x 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：19.00）_29.已知 y=1+xe xy ，求 y“| x=0 及 y“| x=0 （分数：18.00）_考研数学二-86 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0
8、)= 1 （分数：1.00）解析：n! 解析 解法 1 由导数定义知 2.设 y=ln(1+ax)，其中 a 为非零常数，则 y“= 1，y“= 2 （分数：1.00）解析：解析 由 y=ln(1+ax)知，3.设 （分数：1.00）解析：(1+2t)e 2t 解析 由于 4.设 （分数：1.00）解析：解析 由复合函数求导法则知5.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1 （分数：1.00）解析：解析 6.设 （分数：1.00）解析： 解析 由 知， 7.设 （分数：1.00）解析：解析 8.设 （分数：1.00）解析：解析 9.设 y=(1+sinx) x ，则 dy| x= = 1
9、 （分数：1.00）解析：-dx 解析 10.设 tany=x+y，则 dy= 1 （分数：1.00）解析：cot 2 ydx 解析 等式 tany=x+y 两边求微分得 sec 2 ydy=dx+dy，则 二、选择题(总题数：16，分数：16.00)11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：1.00）A.f“(a)B.2f“(a) C.0D.f“(2a)解析：解析 12.若函数 y=f(x)，有 （分数：1.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小 C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小解析：解析 因为 13.设 f(x)在点 x=a 的某个领域内有定义，则
10、f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 h+时 ，则 存在只能得出 f(x)在 a 点的右导数存在，不能得出 a 点导数存在B，C 明显不对，这两个选项中的极限存在不能推导出 存在，故不能作为 f(x)在 x=a 点可导的充分条件 又 则应选 D 对 B 选项切勿这样处理： 因为这里不符合极限四则运算法则( 14.设 （分数：1.00）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在 C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在解析：解析 ，但 ，则 f(x)在 x=1 处不右连续，从而 f“ + (1)不存在
11、，又 在点 x=1处可导，而 x1 时 15.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)若 F(x)在 x=0 处可导，则必有（分数：1.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=0解析：16.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的（分数：1.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f“(0)0解析：解析 解法 1 由当 x(-，)时，|f(x)|x 2 知，f(0)=0 由夹逼准则可知 从而 ，即 f“
12、(0)=0故应选 C 解法 2 取 f(x)=x 3 ，显然 f(x)满足原题条件但 f(x)=x 3 在点 x=0 处连续且可导，f“(0)=0，则A，B，D 均不正确，故应选 C 解法 1 中用到一个常用结论： 17.函数 f(x)=(x 2 -x-2)|x 3 -x|的不可导点的个数为（分数：1.00）A.0B.1C.2 D.3解析：18.设 （分数：1.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析 19.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )，当自变量 x 在 x=-1 处取得增量 x=-0.1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f
13、“(1)=（分数：1.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析：解析 因为 dy=f“(x 2 )d(x 2 )=2xf“(x 2 )dx， 所以得 0.1=-2f“(1)(-0.1)， 即 f“(1)=0.5所以 D 是正确的20.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得（分数：1.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) D.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)解析：解析 因为 所以由函数极限的局部保号性，存在 0，在区间(-，0)(0，)内 故对于任意的x(0，)，有 f(x)-f
14、(0)0，即 f(x)f(0)选项 C 正确同时也就看出选项 D 是错的：当 x(-，0)时，应有 f(x)-f(0)0，即 f(x)f(0) 不少考生选 A，其错误在于以函数在一点处的导数符号来确定函数在一个区间上的单调性例如 满足题设条件且 ，当 x0 时， 显然，当 ，即在任何(0，)内都有点 x n 使 f“(x n )0，函数不可能单调增加，即 A 错类似，选项 B 也是错的 (1)本题若是加强条件为“设函数 f(x)在 x=0 处具有一阶连续导数，”，则此时 A 便是正确的这是因为对连续函数而言，一点大于 0，可以保证附近的点的函数值都是大于 0，于是在这种情形下有， ，对 x(x
15、 0 -，x 0 +)，有 f“(x)0 (2)单纯的一点导数大于 0，不能推出函数的单调性，但一点的导数大于 0，有一个基本不等式需要知道： 21.设函数 （分数：1.00）A.处处可导B.恰有一个不司导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析 当|x|1 时， ； 当|x|1 时， 当|x|=1 时，f(x)=1 故 由 y=f(x)的图形容易看到，x=1，x=-1 是不可导点事实上，因 故 x=1 是函数的不可导点同理 x=-1 也是函数的不可导点 若能想到重要极限“ ，i=1，2，m；a i 0”，则本题便可更简单： 22.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x
16、)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x0，则（分数：1.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析 解法 1 由条件知，y=f(x)单调上升且是凹的，于是根据 y，dy 的几何意义，从图上可直接得到 0dyy，选 A 23.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 A若 存在，则 f(0)=0 B若 存在，则 f(0)=0 C若 存在，则 f“(0)存在 D若 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 f(x)在 x=0 处连续，要讨论 f(0)的值，自然想
17、到利用 对于 A，由 存在，于是 所以选项 A 正确 对于 B，将 f(x)+f(-x)看成 A 中的 f(x)，于是 即有 f(0)+f(-0)=0，故 f(0)=0，选项 B 正确 对于 C，由 A 已知 f(0)=0，按导数定义，有 由 C 之条件知 f“(0)存在，故选项 C 亦正确 于是余下只有 D 不正确，选 D可以举例说明 D 不正确，例如设 f(x)=|x|，满足条件 24.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：1.00）A.-2f“(0)B.-f“(0) C.f“(0)D.0解析：解析 根据导数定义： ，有 25.设函数 f(x)=(e x -1)
18、(e 2x -2)(e nx -n)，其中 n 为正整数，则 f“(0)= A.(-1)n-1(n-1)! B.(-1)n(n-1)! C.(-1)n-1n! D.(-1)nn!（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1 利用导数的定义有 26.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于（分数：1.00）A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1 D.ln2-1解析：解析 h“(x)=e 1+g(x) g“(x) 因 h“(1)=1，g“(1)=2，故 三、解答题(总题数：4，分数：74.00)设函数 f(x)在(-，
19、+)内有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 -4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数（分数：18.00）(1).写出 f(x)在-2，0)上的表达式；（分数：9.00）_正确答案：()解析：解 当-2x0，即 0x+22 时， f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 -4=kx(x+2)(x+4)(2).问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导（分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由题设知f(0)=0 令 f“ - (0)=f“ + (0)，得 ，即当 27.已知 （分数：19.00）_正确答案：()解析：解 28.设 y=sinf(x 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：19.00）_正确答案：()解析：解 29.已知 y=1+xe xy ，求 y“| x=0 及 y“| x=0 （分数：18.00）_正确答案：()解析：解 y“=e xy (x 2 y“+xy+1)， y“=e xy (x 2 y“+2xy“+xy“+y)+e xy (x 2 y“+xy+1)(xy“+y) 因 x=0 时 y=1，所以 y“| x=0 =e 0 =1，y“| x=0 =e 0 +e 0 =2
