1、考研数学二-85 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.若 x0 时， （分数：1.00）2.当 x0 时，(x)=kx 2 与 （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.设 （分数：1.00）5.若 （分数：1.00）6.已知函数 （分数：1.00）7.设函数 （分数：1.00）8.设 （分数：1.00）9.设函数 （分数：1.00）10.已知函数 f(x)连续，且 （分数：1.00）二、选择题(总题数：18，分数：18.00)11.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而
2、 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于（分数：1.00）A.1B.2C.3D.412.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：1.00）A.，B.，C.，D.，13.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.15.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx k 是等价无穷小量，则（分数：1.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3
3、，c=4D.k=3，c=-416.设 cosx-1=xsin(x)，其中 （分数：1.00）A.比 x 高阶的无穷小量B.比 x 低阶的无穷小量C.与 x 同阶但不等价的无穷小量D.与 x 等价的无穷小量17.当 x0 + 时若 ln (1+2x)， 均是比 x 高阶的无穷小量，则 的取值范围是 A(2，+) B(1，2) C D （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 （分数：1.00）A.a1，2，3B.2，3，1C.2，1，3D.3，2，119.设 （分数：1.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定20.设 （分数：1.00）A.不连续B.连续
4、，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续21.设 f(x)和 (x)在(-，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则 Af(x)必有间断点 B(x) 2 必有间断点 Cf(x)必有间断点 D （分数：1.00）A.B.C.D.22.设函数 在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b023.设函数 （分数：1.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(
5、x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点24.函数 在-，上的第一类间断点是 x= A0 B1 C D （分数：1.00）A.B.C.D.25.设函数 （分数：1.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个可去间断点1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D.2 个无穷间断点26.函数 （分数：1.00）A.1B.2C.3D.无穷多个27.函数 （分数：1.00）A.0B.1C.2D.328.函数 （分数：1.00）A.连续B.有可去间断点C.有跳跃间断点D.有无穷间断点三、解答题(总题数：9，分数：72.00)29.设函数 f(x)在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导
6、数，且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0 证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无 （分数：8.00）_30.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )，其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小量 （分数：8.00）_已知函数 ，记 （分数：8.00）(1).求 a 的值；（分数：4.00）_(2).若当 x0 时，f(x)-a 与 x k 是同阶无穷小量，求常数 k 的值（分数：4.00）_31.当 x0 时，
7、1-cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小量，求 n 与 a 的值 （分数：8.00）_32.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 ab，k的值 （分数：8.00）_33.设 （分数：8.00）_34.求函数 （分数：8.00）_35.求极限 （分数：8.00）_36.设函数 （分数：8.00）_考研数学二-85 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.若 x0 时， （分数：1.00）解析：-4解析 2.当 x0 时，(x)=
8、kx 2 与 （分数：1.00）解析： 解析 故 3.设 （分数：1.00）解析：1解析 4.设 （分数：1.00）解析：a=b 解析 由于 5.若 （分数：1.00）解析：-2解析 由于6.已知函数 （分数：1.00）解析： 解析 根据函数在某点处连续的定义知， ，问题转化为求极限，即 7.设函数 （分数：1.00）解析：-2 解析 由 8.设 （分数：1.00）解析：0 解析 因 故 x=0 是间断点 在 9.设函数 （分数：1.00）解析：解析 10.已知函数 f(x)连续，且 （分数：1.00）解析：2 解析 因为函数 f(x)连续，故 由题设 二、选择题(总题数：18，分数：18.0
9、0)11.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于（分数：1.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 这是无穷小比阶的题把题中的每个无穷小都用其等价无穷小代替，便可得到正确的答案事实上当 x0 时， 12.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：1.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 解法 1 因 所以 是较 高阶的无穷小量， 是较 高阶的无穷小量，即选项 B 正确 解法 2 ， 阶数的高低次序与它们的导数 “，“，“阶数的高低次序是一致的，现在考查“=cosx 2
10、 ，“=tanx2x， 13.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 排除法当 x0 + 时， 14.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则 A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：15.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx k 是等价无穷小量，则（分数：1.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4 D.k=3，c=-4解析：解析 解法 1 根据泰勒公式，有 所以 f(x)=3sinx-sin3x=4x 3
11、 +o(x 3 )4x 3 (x0)， 于是 c=4，k=3，因此选 C 解法 2 f(x)=3sinx-sin3x=3sinx-3x+3x-sin3x 16.设 cosx-1=xsin(x)，其中 （分数：1.00）A.比 x 高阶的无穷小量B.比 x 低阶的无穷小量C.与 x 同阶但不等价的无穷小量 D.与 x 等价的无穷小量解析：解析 因为 cosx-1=xsin(x)，所以 即有 注意到 ，可知 ，即 (x)是 x0 时的无穷小量，且 ，故 17.当 x0 + 时若 ln (1+2x)， 均是比 x 高阶的无穷小量，则 的取值范围是 A(2，+) B(1，2) C D （分数：1.00
12、）A.B. C.D.解析：解析 当 x0 + 时，ln (1+2x)2 x 是 x 的 阶无穷小， 是 x 的 阶无穷小 由题意可知 1， 18.设 （分数：1.00）A.a1，2，3B.2，3，1 C.2，1，3D.3，2，1解析：解析 当 x0 + 时， 19.设 （分数：1.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定解析：解析 由于 f(0)=0，f(x)在 x=0 处可导，则 而 F(0)=f(0)=0，则极限 20.设 （分数：1.00）A.不连续 B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续解析：解析 即 21.设 f(x)和
13、(x)在(-，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则 Af(x)必有间断点 B(x) 2 必有间断点 Cf(x)必有间断点 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法 1 反证法设 处处连续，则 ，从而 (x)处处连续，与原题设矛盾 解法 2 排除法举反例 f(x)1， 22.设函数 在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析 由题目所给的条件便可分别确定系数因函数 f(x)在整个数轴上连续，故有 a0；又因 23.设函数 （分数：1.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类
14、间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析 ，故 x=0 是第二类间断点 因为 24.函数 在-，上的第一类间断点是 x= A0 B1 C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由函数的表达式知，x=0，x=1， 是间断点，不难看出，x=1， 是无穷间断点，故只能选 A事实上，由于 25.设函数 （分数：1.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个可去间断点1 个无穷间断点C.2 个跳跃间断点D
15、.2 个无穷间断点解析：解析 x=0，x=1 是间断点因为 故 x=0 是可去间断点；而 故 x=1 是跳跃间断点 ，这个极限 26.函数 （分数：1.00）A.1B.2C.3 D.无穷多个解析：解析 对 ，当 x 取任何整数时，f(x)均无意义，故 f(x)的间断点有无穷多个但可去间断点为极限存在的点，故应在 x-x 3 =0 的解 x=0，1 中去寻找由于 27.函数 （分数：1.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 f(x)在 x=0，1，-1 处无定义，所以 f(x)有 3 个间断点因为 28.函数 （分数：1.00）A.连续B.有可去间断点 C.有跳跃间断点D.有无穷间断点解析
16、：解析 这是“1 ”型极限，直接有 ，f(x)在 x=0 处无定义，且 三、解答题(总题数：9，分数：72.00)29.设函数 f(x)在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0 证明：存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 3 ，使得当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证法 1 因为当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小，故其本身也是无穷小，即 而 f(0)0，所以得 1 + 2 + 3 -1
17、=0 又 因为 f“(0)0，故得 1 +4 2 +9 3 =0， 其中还包含 因为 f“(0)0，得 1 +2 2 +3 3 =0 总之，得 1 ， 2 ， 2 的线性方程组 因其系数行列式 故由克拉默法则知，存在唯一的一组实数 1 ， 2 ， 2 ，使得当 h0 时， 1 f(h)+ 2 f(2h)+ 3 f(3h)-f(0)是比 h 2 高阶的无穷小 证法 2 利用泰勒公式 故 30.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )，其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小量 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为
18、 将其代入题设等式，整理得 故有 解得 已知函数 ，记 （分数：8.00）(1).求 a 的值；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题意得 (2).若当 x0 时，f(x)-a 与 x k 是同阶无穷小量，求常数 k 的值（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 31.当 x0 时，1-cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小量，求 n 与 a 的值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法 1 由题设知 上式左边是“ ”型未定式的极限，应用洛必达法则，有 由于当 n=2 时， 所以 故 a=7 当 n2 时，显然不合题意，所以 a=7，n=2 解法
19、 2 由于当 n=2 时， 故 由题意知 ，所以 a=7 当 n2 时，不合题意，故 n=2，a=7 解法 3 由泰勒公式知 于是 可见，当 n=2 时此极限为 又因为 1-cosxcos2xcos3x 与 ax n 是等价无穷小量，故有 32.设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3 若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 ab，k的值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 利用泰勒公式 当 x0 时，f(x)kx 3 则 a=-1 33.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为 ；当 x0 时， 故 34.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 f(x)在区间(0，2)内的间断点为 不存在的点，即 各点 在 处， ；在 处， ，故 为 f(x)的第二类间断点 在 处， ；在 处， 35.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因 而由洛必达法则得 故 由此表达式知 x=0 及 x=k(k=1，2，)都是 f(x)的间断点 由于 36.设函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 ，有-6a=2a 2 +4，得 a=-1 或 a=-2 当 a=-1 时， ，即 f(x)在 x=0 处连续 当 a=-2 时，
