1、考研数学二-84 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：8.00)1. （分数：1.00）2. （分数：1.00）3. （分数：1.00）4. （分数：1.00）5. （分数：1.00）6. （分数：1.00）7. （分数：1.00）8.极限 （分数：1.00）二、选择题(总题数：12，分数：12.00)9.设函数 f(x)=arctanx若 f(x)=xf“()，则 A1 B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.设 ，则极限 等于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.11.若 ，则 （分数：1.00）A.0B.6C.36
2、D.12.已知 （分数：1.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1D.a=-1，b=-113.设 ，则 A Ba=0，b=-2 C （分数：1.00）A.B.C.D.14. 等于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.15.设函数 f(x)在(-，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是（分数：1.00）A.若xn收敛，则f(xn)收敛B.若xn单调，则f(xn)收敛C.若f(xn)收敛，则xn收敛D.若f(xn)单调，则xn收敛16.设 a n 0(n=1，2，)，S n =a 1 +a 2 +a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的（分
3、数：1.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件17.当 x0 时，x-sinx 是 x 2 的（分数：1.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小18.设当 x0 时，e x -(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则 A Ba=1，b=1 C （分数：1.00）A.B.C.D.19.设 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为（分数：1.00）A.1B.2C.3D.420.设 （分数：1.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.M 阶但不等价的无穷小D.等价无穷小三、解答题(总
4、题数：15，分数：80.00)21.求极限 （分数：5.00）_22.求极限 （分数：5.00）_23.求极限 （分数：5.00）_24.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：5.00）_25.已知函数 设 （分数：5.00）_26.求极限 （分数：5.00）_27.已知 （分数：5.00）_28.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：5.00）_(1).比较 （分数：2.50）_(2).记 u n = |lnt|ln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.50）_29.设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数， （分数：5.00）_30.设 0
5、x 1 3， （分数：5.00）_设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，)（分数：5.00）(1).证明 （分数：2.50）_(2).计算 （分数：2.50）_(1).证明：对任意的正整数 n，都有 （分数：2.50）_(2).设 （分数：2.50）_(1).证明方程 x n +x n-1 +x=1(n 为大于 1 的整数)在区间 （分数：4.00）_(2).记上一小题中的实根为 x n ，证明 （分数：4.00）_设函数 （分数：7.00）(1).求 f(x)的最小值；（分数：3.50）_(2).设数列x n 满足 证明 （分数：3.50）_考研数学二-8
6、4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：8.00)1. （分数：1.00）解析： 解析 2. （分数：1.00）解析： 解析 这是“1 ”型， ，而 ，故 3. （分数：1.00）解析： 解析 这是“1”型， ， 而 ，故 4. （分数：1.00）解析：0 解析 令 I n =e -x sinnxdx=-e -x sinnx+ne -x cosnxdx=-e -x sinnx-ne -x cosnx-n 2 I n ， 所以 即 (1)e ax sinbxdx 是典型的循环积分(两次分部积分后再次出现本身) (2)本题实际上有着更一般的结论： 若
7、f(x)在0，1上有一阶连续导数，则 5. （分数：1.00）解析： 解析 而 由夹逼准则可知：原极限= 6. （分数：1.00）解析：解析 7. （分数：1.00）解析：解析 8.极限 （分数：1.00）解析：sin1-cos1解析 二、选择题(总题数：12，分数：12.00)9.设函数 f(x)=arctanx若 f(x)=xf“()，则 A1 B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，且 f(x)=xf“()，所以可知 ，从而 又当 x0 时， ，故 10.设 ，则极限 等于 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 故 11.若 ，则 （
8、分数：1.00）A.0B.6C.36 D.解析：12.已知 （分数：1.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1 D.a=-1，b=-1解析：解析 由 13.设 ，则 A Ba=0，b=-2 C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1 由上式右端可知 a=1，否则原式极限为无穷 则 得 解法 2 由泰勒公式可知 又 则 14. 等于 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 15.设函数 f(x)在(-，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是（分数：1.00）A.若xn收敛，则f(xn)收敛B.若xn单调，则f(xn)收
9、敛 C.若f(xn)收敛，则xn收敛D.若f(xn)单调，则xn收敛解析：解析 在选项 B 中，因为数列x n 单调，考虑到 f(x)是单调有界函数，所以数列f(x n )不仅单调，而且有界，从而收敛16.设 a n 0(n=1，2，)，S n =a 1 +a 2 +a n ，则数列S n 有界是数列a n 收敛的（分数：1.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 因为 a n 0(a=1，2，)，所以数列S n 是单调增加的 如果S n 有界，根据单调有界准则，知S n 的极限存在，记 由此可得 17.当 x0 时，x-sinx 是 x
10、 2 的（分数：1.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小解析：解析 解法 1 由于 ，则当 x0 时，x-sinx 是 x 2 的高阶无穷小 解法 2 由于 x0 时， 18.设当 x0 时，e x -(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则 A Ba=1，b=1 C （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1 由泰勒公式可知 由题设可知 ， 即 则 ，b=1 解法 2 由洛必达法则可知 若 b1，上式右端趋于无穷，从而左端也趋于无穷，与原题设矛盾，所以 b=1 因此 19.设 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶
11、无穷小，则 n 为（分数：1.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 当 x0 时， e tanx -e x =e x e( tanx-x -1)e x (tanx-x)tanx-x， 而 ， 所以 20.设 （分数：1.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.M 阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小解析：解析 解法 1 先利用洛必达法则求出 ，再根据此极限值进行判定 故 (x)是 (x)同阶但不等价的无穷小量 解法 2 三、解答题(总题数：15，分数：80.00)21.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 解法 2 解法 3 由 x0 时， ，知 ，于是 解法 4 由于
12、，则 ，于是 22.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 解法 2 23.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 且 所以 24.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 解法 2 解法 3 25.已知函数 设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 由题意 ，得 1 又因为 由题意 26.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 27.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 这是“1 ”型，直接有 28.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：5.00）_正确答案：()解
13、析：解 由于 x0 时，ax-sin x0 且 故 b=0再用洛必达法则： 若 a1，则上式为，与条件不符，故 a=1，从而再用洛必达法则(或等价无穷小代换)，得 (1).比较 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 0t1 时，因为 0ln(1+t)t，所以 0|lnt|ln(1+t) n t n |lnt|， 因此 (2).记 u n = |lnt|ln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题知 因为 所以 故由夹逼准则可知 解析 (1)本题第一问用到基本不等式： ，x(0，+) (2)第二问实际上是有着更一般的结论：若
14、f(x)在0，1上连续，则 (读者可用夹逼准则简单验证)，于是由于 ，记 f(t)=t|lnt|，0t1，则可补充定义 f(0)=0，这样 f(t)=t|lnt|在 0t1 上便是连续的，根据上面的结论便有 ，再由夹逼准则知， 29.设 f(x)是区间0，+)上单调减少且非负的连续函数， （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由题设可得 因此 即数列a n 有下界又 30.设 0x 1 3， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由题设 0x 1 3 知，x 1 ，3-x 1 均为正数，故 设当 k1 时， ，则 故由数学归纳法知，对任意正整数 n1，均有 ，即数列x n 是有界的
15、 又当 n1 时， 故当 n1 时，x n+1 x n ，即数列x n 单调增加 所以由单调有界数列极限存在的准则知 存在 设 ，由 得 解之得 ，a=0(舍去)即 设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，)（分数：5.00）(1).证明 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证 用归纳法证明x n 单调下降且有下界 由 0x 1 ，得 0x 2 =sinx 1 x 1 设 0x n ，则 0x n+1 =sinx n x n ， 所以x n 单调下降且有下界，故 存在 记 由 x n+1 =sinx n 得 a=sina，所以 a=0，即 (2).计算 （
16、分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 又因上一小题知 ，所以 解析 (1)本题用到基本不等式 sinxxtanx， (1).证明：对任意的正整数 n，都有 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证法 1 令 f(x)=lnx(x0)对任意正整数 n，根据拉格朗日中值定理，得 其中 nn+1，所以 证法 2 令 F(x)=x-ln(1+x)(x0)，则 即当 x0 时 F(x)单调增加又 F(0)=0，所以 F(x)0(x0)，从而 再令 ，则 即 G(x)(x0)单调增加又 G(0)=0，所以 G(x)0(x0)，从而 综上可知，有 证法 3 令 ，可知 又 即 F(x)(x0)单
17、调减少，所以 F(x)0(x0)，故 再令 ，可知 又 即 G(x)(x0)单调减少，所以 G(x)0(x0)，故 综上可知，有 证法 4 因为 ，且 所以 (2).设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证 由上一小题知，当 n1 时 (1).证明方程 x n +x n-1 +x=1(n 为大于 1 的整数)在区间 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证 令 f(x)=x n +x n-1 +x-1(n1)，则 f(x)在 上连续且 故由闭区间上连续函数的零点定理知，f(x)在区间 内至少有一个零点，即方程 x n +x n-1 +x=1在区间 内至少有一个实根 又 故 f(x)在
18、内单调增加，可知 f(x)在区间 内只有一个零点从而方程 f(x)=0，即 x n +x n-1 +x=1 在区间 (2).记上一小题中的实根为 x n ，证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由于 ，所以数列x n 有界又 而 ，所以 即 显然方括号内各项均为正，于是有 x n x n+1 ，n=2，3， 即x n 单调减少 由以上讨论知，数列x n 单调有界，故x n 收敛，设 由于 令 n，并注意到 ，则有 ，解得 ， 即 设函数 （分数：7.00）(1).求 f(x)的最小值；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 令 f“(x)=0解得 f(x)的唯一驻点 x=1 又 (2).设数列x n 满足 证明 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题的结果知 ，从而有 于是 x n x n+1 ，即数列x n 单调增加 又由 ，知 lnx n 1，得 x n e，从而数列x n 单调增加，且有上界，故 存在 设 ，可知 ax 1 0在不等式 两边取极限，得 ，故 ，可得 a=1，即
