1、考研数学二-83 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:11,分数:11.00)1.设函数 (分数:1.00)2. (分数:1.00)3. (分数:1.00)4. (分数:1.00)5. (分数:1.00)6. (分数:1.00)7. (分数:1.00)8. (分数:1.00)9. (分数:1.00)10. (分数:1.00)11. (分数:1.00)二、选择题(总题数:13,分数:13.00)12.f(x)=|xsinx|e cosx (-x+)是(分数:1.00)A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数13.函数 f(x)=xsinx(分数:1.0
2、0)A.当 x时为无穷大B.在(-,+)内有界C.在(-,+)内无界D.当 x时有有限极限14.设 则 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.15.当 x0 时,变量 (分数:1.00)A.无穷小B.无穷大C.有界的,但不是无穷小的D.无界的,但不是无穷大16.设函数 则 gf(x)= A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.17.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则(分数:1.00)A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数
3、时,F(x)必是单调增函数18.设 则 fff(x)= A0 B1 C D (分数:1.00)A.B.C.D.19.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,“ ”表示“M 的充分必要条件是 N”,则必有 AF(x)是偶函数 f(x)是奇函数 BF(x)是奇函数 f(x)是偶函数 CF(x)是周期函数 f(x)是周期函数 DF(x)是单调函数 (分数:1.00)A.B.C.D.20.设数列 x n 与 y n 满足 ,则下列断言正确的是 A若 x n 发散,则 y n 必发散 B若 x n 无界,则 y n 必有界 C若 x n 有界,则 y n 必为无穷小 D若 (分数:1.00)A.B
4、.C.D.21.“对任意给定的 (0,1),总存在正整数 N,当,nN 时,恒有|x n -a|2”是数列x n 收敛于 a 的(分数:1.00)A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件22.设a n ,b n ,c n 均为非负数列, ,则必有 Aa n b n 对任意 n 成立 Bb n c n 对任意 n 成立 C极限 不存在 D极限 (分数:1.00)A.B.C.D.23.当 x1 时,函数 (分数:1.00)A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为24.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初
5、始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:1.00)A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 3三、解答题(总题数:11,分数:76.00)25.已知 f(x)=e x2 ,f(x)=1-x 且 (x)0,求 (x)并写出它的定义域 (分数:7.00)_26.求极限 (分数:7.00)_27.求 (分数:7.00)_28.求 (分数:7.00)_29.求 (分数:7.00)_30.计算 (分数:7.00)_31.求 (分数:7.00)_32.求极限 (分数:7.00)_33.求 (分数:7.00)_34.求 (分数:7.00)_35.求极限 (分数:6.00)_
6、考研数学二-83 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:11,分数:11.00)1.设函数 (分数:1.00)解析:1 解析 由 2. (分数:1.00)解析:e -3 解析 这是“1 ”型,直接有 3. (分数:1.00)解析:0 解析 ,而 故 e 0 =1 最后一步的极限 是使用洛必达法则计算,即 4. (分数:1.00)解析:解析 5. (分数:1.00)解析:-1解析 由于 则6. (分数:1.00)解析:0解析 当 x0 时, ,原式7. (分数:1.00)解析:0解析 8. (分数:1.00)解析:2 解析 解法 1 由于 x时, 则 同理可得
7、原式=3-1=2 解法 2 其中第一个等号是对 f(x)=sinx 使用了拉格朗日中值定理,此时 介于 9. (分数:1.00)解析:解析 10. (分数:1.00)解析:解析 11. (分数:1.00)解析:解析 二、选择题(总题数:13,分数:13.00)12.f(x)=|xsinx|e cosx (-x+)是(分数:1.00)A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析:解析 由于 f(-x)=|-xsin(-x)|e cos(-x) =|xsinx|e cosx =f(x),则 f(x)为偶函数13.函数 f(x)=xsinx(分数:1.00)A.当 x时为无穷大B.在(-,+
8、)内有界C.在(-,+)内无界 D.当 x时有有限极限解析:解析 由于 f(2k)=2ksin 2k=0, 则 f(x)在(-,+)内无界,但 x时,f(x)不是无穷大,也没有有限极限则应选 C 要正确区分无穷大量与无界变量的区别与联系,无穷大量一定是无界变量,但反之不对;常见的是无界变量但不是无穷大量的有:x0 时, 14.设 则 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 15.当 x0 时,变量 (分数:1.00)A.无穷小B.无穷大C.有界的,但不是无穷小的D.无界的,但不是无穷大 解析:解析 取 取 则当 x0 时, 16.设函数 则 gf(x)= A B C D
9、 (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 根据 g(x)的定义知,复合函数 而 x0 时,f(x)=x 2 0;x0 时,f(x)=-x0故 17.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则(分数:1.00)A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数解析:18.设 则 fff(x)= A0 B1 C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 由于 f(x)1,故 ff(x)=1,因而 fff(x)=119.设
10、 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,“ ”表示“M 的充分必要条件是 N”,则必有 AF(x)是偶函数 f(x)是奇函数 BF(x)是奇函数 f(x)是偶函数 CF(x)是周期函数 f(x)是周期函数 DF(x)是单调函数 (分数:1.00)A. B.C.D.解析:20.设数列 x n 与 y n 满足 ,则下列断言正确的是 A若 x n 发散,则 y n 必发散 B若 x n 无界,则 y n 必有界 C若 x n 有界,则 y n 必为无穷小 D若 (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 直接法由于 ,则 ,选 D 排除法取 x n =n,y n 0,n=1,2,排除 A;
11、 取 ,排除 B; 取 21.“对任意给定的 (0,1),总存在正整数 N,当,nN 时,恒有|x n -a|2”是数列x n 收敛于 a 的(分数:1.00)A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件又非必要条件解析:解析 本题考查考生对数列x n 收敛于 a 的定义的理解其定义是“对任意给定的 1 0,总存在正整数 N 1 ,当 nN 1 时,恒有|x n -a| 1 ”两种说法相比较,似乎定义中的条件更强些,即由 必能推出“对任意给定的 (0,1),总存在正整数 N,当 nN 时,恒有|x n -a|2”但其逆也是正确的因为对任意给定的 1 0,取
12、 ,则对此 ,存在正整数 N,当nN 时,恒有|x n -a|2,现取 N 1 =N-1,于是有当 nN 1 时, 22.设a n ,b n ,c n 均为非负数列, ,则必有 Aa n b n 对任意 n 成立 Bb n c n 对任意 n 成立 C极限 不存在 D极限 (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 假设 存在,则 存在,这与 矛盾,故 不存在 由极限的局部保号性容易得到极限的局部保序性: ,且 AB,则 N0,当 nN 时,有 a n b n 对于本题,选项 A,B 说对任意的 n 成立,显然错了; 对于选项 C 23.当 x1 时,函数 (分数:1.00)A.等于 2B
13、.等于 0C.为D.不存在但不为 解析:解析 由于 而 则极限 24.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:1.00)A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析:解析 因为 ,且 ,所以 从而 即 C 是正确的 本题也可以先求出 y“(0)=1,于是有 ,则 三、解答题(总题数:11,分数:76.00)25.已知 f(x)=e x2 ,f(x)=1-x 且 (x)0,求 (x)并写出它的定义域 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 由 e (x)2 =1-x,得 由 ln
14、(1-x)0 得 1-x1,即 x0所以 26.求极限 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 27.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 这是“1 ”型,直接有 , 而 故 28.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 因当 x0 时,e x -1x, ,原式 29.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 这是“1 ”型,直接有 30.计算 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 这是“1 ”型,直接有 , 而 故 求 31.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 原极限32.求极限 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 作负代换 t=-x,t+,则 33.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 作一个负倒代换 ,则 (1)本题是 x-且含有偶次开方号,所以作一个负倒代换 34.求 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 原式35.求极限 (分数:6.00)_正确答案:()解析:解 原式