1、考研数学二-7 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.(A) A 为可逆的方阵B.(B) 齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.(C) A 的行向量组线性无关D.(D) 矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示-2.设 f“(x)在 x=0 处连续，则( )（分数：4.00）A.(A) f(0)是 f(x)的极大值B.(B) f(0)是 f(x)的极小值C.(C) (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.(D) f(0)
2、非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足+，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（分数：4.00）A.(A) 最大值和最小值只能在边界上取到B.(B) 最大值和最小值只能在区域内部取到C.(C) 有最小值无最大值D.(D) 有最大值无最小值4.曲线 y=x2与所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分
3、数：4.00）A.(A) a=1，b=-1，C=3B.(B) a=0，b=-1，c=3C.(C) a=-1，b=1，C=3D.(D) a=1，b=1，c=36.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8.设，其中 F 为可微函数，则为( )（分数：4.00）A.(A) z-xyB.(B) z+xyC.(C) z-2xyD.(D) z+
4、2xy二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a= 1（分数：4.00）10.设 f(x)=x2ln(1+x)，则 f(50)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_12.由方程所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分 dz= 1（分数：4.00）13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足，贝 y(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设矩阵，矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，则 A= 1（分数：4.00）三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)在0，1上可微，且证明
5、：存在 (0，1)，使得 f()=2f()（分数：11.00）_16.设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：11.00）_17.计算二重积分,其中 D=(x，y)|x，y1（分数：11.00）_18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； () 设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明：（分数：11.00）_19.已知微分方程，作变换 u=x2+y2
6、，w=lnz-(x+y)，其中 w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于w，u，v 的微分方程的形式（分数：11.00）_20.计算二重积分，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线所围成的平面区域（分数：11.00）_21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多少时间?（分数：11.00）_22.设，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程
7、 AX=B 有解，有解时求出全部解（分数：11.00）_23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形，又 A*=，其中 =(1，1，-1) T () 求矩阵 A； () 求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形 （分数：11.00）_考研数学二-7 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.(A) A 为可逆的方阵B.(B) 齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.(C
8、) A 的行向量组线性无关D.(D) 矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示- 解析：矩阵 A 可逆是方程组 AX=b 有唯一解的充分不必要条件，(A)不对； 若 AX=0 只有零解，则 r(A)=n，但不能由此推出，(B)不对； A 的行向量组线性无关只能保证 A 行满秩，从而方程组 AX=b 一定有解，但不能保证有唯一解，(C)不对； 若矩阵 A 的列向量组线性无关，则 r(A)=n，又若 b 可由 A 的列向量组线性表示，则 r(A)=，于是方程组 AX=b 有唯一解，选(D)2.设 f“(x)在 x=0 处连续，则( )（分数：4.00）A.(A) f(0
9、)是 f(x)的极大值B.(B) f(0)是 f(x)的极小值C.(C) (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.(D) f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：由得 f“(0)=0，由极限保号性，存在 0，当|x| 时， 当 x(-，0)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0；当 x(0，)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选(C)3.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足+，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D
10、上( )（分数：4.00）A.(A) 最大值和最小值只能在边界上取到 B.(B) 最大值和最小值只能在区域内部取到C.(C) 有最小值无最大值D.(D) 有最大值无最小值解析：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时，这与矛盾，即 f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选(A)4.曲线 y=x2与所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( )
11、（分数：4.00）A.B.C. D.解析：5.设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分数：4.00）A.(A) a=1，b=-1，C=3B.(B) a=0，b=-1，c=3 C.(C) a=-1，b=1，C=3D.(D) a=1，b=1，c=3解析：y=3x2+6ax+3b，y“=6x+6a，则有，解得 a=0，b=-1，c=3，选(B)6.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由-E=E 13A*E23(
12、-2)得，因为|A *|=|A|2=1 且|A|0，所以|A|=1，于是 A*=A-1，故7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：因为 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为 1= 2=1， 3=-1，其对应的特征方程为 (-1) 2(+1)一 0，即 3- 2-+1=0， 则微分方程为，选(A)8.设，其中 F 为可微函数，则为( )（分数：4.00）A.(A) z-xyB.(B) z+xy C.(C)
13、z-2xyD.(D) z+2xy解析：，选(B)二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a= 1（分数：4.00）解析：因为当 x0 时，(1+2x) x-1=exln(1+2x)-1xln(1+2x)2x 2，所以10.设 f(x)=x2ln(1+x)，则 f(50)(0)= 1（分数：4.00）解析：填空项 1:_ （正确答案：10）解析：12.由方程所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分 dz= 1（分数：4.00）解析：13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足，贝 y(x)=_（分数：4.00）
14、填空项 1:_ （正确答案：x(1-cosx)）解析：由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且或=xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 由得 C=1，所以 y=x(1-cosx)14.设矩阵，矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，则 A= 1（分数：4.00）解析：B-1=B*A+A 两边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)在0，1上可微，且证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()（分数：11.00）_正确答案：()解析：分析 由 f(x)=2xf(x)得，从而lnf(x)+(-x
15、 2)=0，进一步得-lnf(x)+=0，于是，故可设辅助函数为 令，显然 (x)在0，1上可微，由积分中值定理得 其中，于是 (c)=(l) 由罗尔定理，存在，使得 ()=0而，所以，注意到，故 f()-2f()=0，即 f()=2f()16.设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：11.00）_正确答案：()解析：由抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或 b=2-a，c=0 因为 a0，所以 b0，由 ax2+bx=0 得 x1=0， 令 S(a)=0 得
16、 a=-4，从而 b=6，故 a=-4，b=6，c=017.计算二重积分,其中 D=(x，y)|x，y1（分数：11.00）_正确答案：()解析：令 D1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D 2=DD 1， 18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； () 设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明：（分数：11.00）_正确答案：()解析：() 由泰勒公式得 ，其中 位于 x0与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x
17、0)+f(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当 x=x0 任取 x1，x 2a，b且 x1x 2，取，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0，于是 两式相加得，由凹凸性定义得 f(x)在(a，b)内是上凸的函数 () 令 (t)=lnt，取，因为，所以 (t)(t 0)+(t 0)(t-t0)，于是 f(x)(t 0)+(t 0)f(x)-t0，两边积分得19.已知微分方程，作变换 u=x2+y2，w=lnz-(x+y)，其中 w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于w，u，v 的微分方程的形式（分数：11.00）_正确答案：()
18、解析：w=lnz-(x+y)两边关于 x 求偏导得； w=lnz-(x+y)两边关于 y 求偏导得， 解得 代入原方程整理得20.计算二重积分，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线所围成的平面区域（分数：11.00）_正确答案：()解析：设曲线与 y 轴围成的平面区域为 D0， 21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多少时间?（分数：
19、11.00）_正确答案：()解析：设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，22.设，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解，有解时求出全部解（分数：11.00）_正确答案：()解析：令 X=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A( 1， 2， 3)一( 1， 2， 3)，即 当 a=1，b=2，c=-2 时，矩阵方程有解， 方程组 A 1= 1的通解为(k 为任意常数)； 方程组 A 2= 2的通解为( 为任意常数)； 方程组 A 3= 3的通解为(t 为任意常数)， 于是(其中 k，t 为任意常数)23.设二次型 f(x1，
20、x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形，又 A*=，其中 =(1，1，-1) T () 求矩阵 A； () 求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：()解析：() 显然 A 的特征值为 1=2， 2=-1， 3=-1，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=-2， 3=-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即 =(1，1，-1) T是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x 1，x 2，x 3)T为矩阵 A 的对应于特征值 2=-1， 3=-1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2-x3=0，于是 2=-1， 3=-1 对应的线性无关的特征向量为 再令
