1、考研数学二-454 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凸弧B.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凹弧C.函数 f(x)在区间(-，0内单调增加，而在区间0，)内单调减少D.函数 f(x)在区间(-，0内单调减少，而在区间0，)内单调增加2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.把当 x0 时的无穷小量 （分数：4.00）A.B.C.D.4.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.
2、00）A.B.C.D.6.下列函数在指定区间上不存在原函数的是（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，-2) T，又 A=E- T，k 是非 0 常数，则矩阵 A 的最大特征值所对应的特征向量是（分数：4.00）A.k(1，1，0) TB.k(1，-1，-2) TC.k(1，3，2) TD.k(1，5，1) T8.由参数方程 给出的函数 y=y(x)在 对应点处和二阶导数 =（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条
3、件是_（分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线的参数方程为 则对应于 （分数：4.00）填空项 1:_11.设方程组 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设多项式 Pn(x)在 x=1 处有等于 6 的极大值，在 x=3 处有等于 2 的极小值，则其中次数 n 最低的多项式Pn(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：
4、9，分数：93.00)15.确定常 A 与 b 的值，使得（分数：10.00）_16.证明不等式 （分数：9.00）_17.设函数 (x)可导，且满足 (0)=0，又 (x)单调减少() 证明对 x(0，1)，有 (1)x(x)(0)x；() 若 (1)0，(0)1，任取 x0(0，1)，令 xn=(x n-1)，n=1，2，证明 （分数：10.00）_18.已知由参数方程 （分数：11.00）_19.设 ，其中 f(s，t)有连续的二阶偏导数，求 du 及 （分数：10.00）_20.计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|0y1， （分数：11.00）_21.已知流体从容器中流出的速度 (米
5、/秒)，其中重力加速度 g=10 米/秒 2，h 为流体表面在开口孔上方的高度(单位：米)现有盛满水的半径 R=1 米，高度 H=2 米的直立的圆柱形水箱，在圆柱形水箱的底部有一个半径 r=0.01 米的小圆孔，水箱的剖面图如右图求水箱中的水经过底部小圆孔全部流尽所需的时间（分数：10.00）_22.设() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 当 （分数：12.00）_23.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A2 线性无关，且 A3=3A-2A2证明：() 矩阵 B=(，A，A4)可逆；() B TB 是正定矩阵（分数：10.00）_考研数学二-454 答案解析(总分：1
6、49.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凸弧B.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凹弧C.函数 f(x)在区间(-，0内单调增加，而在区间0，)内单调减少 D.函数 f(x)在区间(-，0内单调减少，而在区间0，)内单调增加解析：分析 由*由极限的保号性质可得存在 0，使得当 0|x| 时*这表明当 0|x|时 f(x)与 x 反号，即在区间(-，0)内 f(x)0，而在区间(0，)内 f(x)0，由此可见函数 f(x)在区间(-
7、，0单调增加，而在区间0，)单调减少故应选(C)*2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题设知*当 x0 时，*又*从而*，故 f(x)在点 x=0 处连续当 x0 时，*又*从而*，故 f“(x)在点 x=0 处连续又因 f“(0)不存在，因此 n 的最大值是 2故应选(B)*3.把当 x0 时的无穷小量 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 利用当 x0 时等价无穷小量关系：sinxx，ln(1+x)x 和*，可得，当 x0 时*又由 *可知当 x0 时，*这表明当 x0 时， 是关于 x 的 2 阶无穷小量， 是关于 x 的 4 阶无穷小量，而 是关于 x
8、的 3 阶无穷小量按题目的要求，它们应排成 ， 的次序故应选(C)4.极限 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于*从而求解本题的关键是要按 x+，x-两种情形分别求极限用洛必达法则计算可得*从而所求极限不存在，应选(D)5.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 对行列式|A|按第 2 行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9构造行列式*则|A|和|B|第 2 行元素代数余子式相同对|B|按第 2 行展开，又有A21+A22+2A23+2A24=|B|=0联立，可得 A 21+A22=6故选(B)6.下列函数在指定区间上不存在原函数的是（分数：4.00）A
9、.B.C.D. 解析：分析 (A)，(B)中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数(C)，(D)中的函数，除 x=0 外均连续，x=0 是它们的间断点，不同的是，(C)中 x=0 是函数 f(x)的第二类间断点，(D)中 x=0 是函数 f(x)的第一类间断点，指定的区间均含 x=0因此选(D)*7.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，-2) T，又 A=E- T，k 是非 0 常数，则矩阵 A 的最大特征值所对应的特征向量是（分数：4.00）A.k(1，1，0) TB.k(1，-1，-2) TC.k(1，3，2) T D.k(1，5，1) T解析：分析 令 B= T，由 T=-6，知
10、矩阵曰的特征值是-6，0，0，进而可知矩阵 A=E-B 的特征值是 7，1，1又=( T)=( T)=-6，即 是矩阵 B 对应于特征值 =-6 的特征向量，也就是矩阵 A 属于特征值 =7 的特征向量故选(C)*8.由参数方程 给出的函数 y=y(x)在 对应点处和二阶导数 =（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 首先*进而*令*，就有*故应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a0，b=2a）解析：分析 应用二元
11、函数取极值的必要条件得*所以 b=2a由于A=f“xx(-1，0)=e -x(ax+b-y2-2a)|(-1，0) =e(-3a+b)，B=f“xy(-1，0)=2ye -x|(-1，0) =0，C=f“ yy(-1，0)=-2e -x|(-1，0) =-2e，=B 2-AC=2e2(-3a+b)，令0，A0，解得 a0，b=2a 为所求条件当 a0 时推得0，此时 f(x，y)在点(-1，0)处不取极值；当 a=0，b=0 时推得=0，此时 f(x，y)=-y 2e-xf(-1，0)=0，故 f(-1，0)也是极大值于是常数a，b 应满足的条件为 a0，b=2a10.设曲线的参数方程为 则对
12、应于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2）解析：分析 因*从而，当*时曲线的弧微分*于是，相应曲线段的弧长*11.设方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 将题设两个方程分别对 x 求导数，得*将 x=1，y(1)=1，z(1)=0 代入，即得*由此可解出*故 y(1)+2z(1)=-212. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *13.设多项式 Pn(x)在 x=1 处有等于 6 的极大值，在 x=3 处有等于 2 的极小值，则其中次数 n 最低的多项式Pn(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x
13、3-6x2+9x+2）解析：分析一 依次考察一次，二次，三次多项式是否满足题目的要求由于一次多项式 P1(x)=ax+b 的图形是一条直线，无极值点，故任何一次多项式都不满足题目的要求又由于二次多项式 P2(x)=ax2+bx+c的图形是一条抛物线，只有一个极值点，故任何二次多项式也不满足题目的要求设三次多项式 P3(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=1 处有等于 6 的极大值，在 x=3 处有等于 2 的极小值，则有P3(1)=a+b+c+d=6，P 3(3)=27a+9B+3c+d=2P3(1)=3a+2B+c=0，P 3(3)=27a+6B+c=0，由此可解出 a=1，b=-6，c
14、=9，d=2又因三次多项式 P3(x)=x3-6x2+9x+2 的二阶导数 P3“(x)=6x-12=6(x-2)满足 P3“(1)=-6，P 3“(3)=6，这表明多项式 x3-6x2+9x+2 在 x=1 处有等于 6 的极大值，在 x=3 处有等于 2的极小值，故三次多项式 P3(x)=x3-6x2+9x+2 就是符合题目全部要求的次数最低的多项式分析二 同分析一 可知符合题目全部要求的多项式至少应为三次多项式若三次多项式 P3(x)符合题目的全部要求，因 x=1 与 x=3 是所求函数的驻点，所以其导函数可设为P3(x)=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3)，求积分即得*由 P
15、3(1)=6，P 3(3)=2 得*，b=3，故 a=3，b=2从而同样求得三次多项式 P3(x)=x3-6x2+9x+2，并可验证它符合题目的全部要求14.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用分块矩阵把已知条件组合起来，有*因为*，所以矩阵( 1， 2， 3)可逆于是*三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.确定常 A 与 b 的值，使得（分数：10.00）_正确答案：(解法一 作换
16、元*并利用洛必达法则求极限，可得*由此可见，符合题目要求的常数 a 和 b 是方程组*的解，即*解法二 同解法一 作换元*可得*以下利用麦克劳林公式求极限把*代入极限式，有*同解法一 可得*)解析：16.证明不等式 （分数：9.00）_正确答案：(只需证明在区间(0，+)上函数*与函数 G(x)=*同时成立即可因函数 F(x)在区间0，+)上具有连续导数，F(0)=0，且*由此可见函数 F(x)在区间0，+)上单调增加，故当 x0 时 F(x)F(0)=0 成立又函数 G(x)在区间0，+)上具有连续导数，G(0)=0，且*由此可见函数 G(x)在区间0，+)上单调增加，故当 x0 时 G(x
17、)G(0)=0 成立综合即知本题要证明的不等式成立)解析：17.设函数 (x)可导，且满足 (0)=0，又 (x)单调减少() 证明对 x(0，1)，有 (1)x(x)(0)x；() 若 (1)0，(0)1，任取 x0(0，1)，令 xn=(x n-1)，n=1，2，证明 （分数：10.00）_解析：18.已知由参数方程 （分数：11.00）_正确答案：() 由 x=arctant 知，x=0*t=0，x0(0)*t0(0)由 y=ln(1-t2)-siny 知，x=0*y=-siny*y=0(y+siny 单调上升)为求*，需先求*由参数方程得*于是 *其中 0 是充分小的数因此，点 x=0
18、 是 y=f(x)的极大值点() 为考察凹凸性，还需求*将*在 x=0 求导，注意 x=0*t=0*y=0，于是*由*的连续性，*t=0 某邻域即 x=0 某邻域可知*，因此 y=f(x)在点 x=0 的某邻域是凸的)解析：19.设 ，其中 f(s，t)有连续的二阶偏导数，求 du 及 （分数：10.00）_正确答案：(由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得*于是*因此*)解析：分析 *是 u=f(s，t)与*复合而成的 x，y，z 的三元函数，先求 du(从而也就求得*)或先求*也可求得 du，然后由*20.计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|0y1， （分数：11.00）_正确
19、答案：(积分区域 D 的图形如右图所示*)解析：21.已知流体从容器中流出的速度 (米/秒)，其中重力加速度 g=10 米/秒 2，h 为流体表面在开口孔上方的高度(单位：米)现有盛满水的半径 R=1 米，高度 H=2 米的直立的圆柱形水箱，在圆柱形水箱的底部有一个半径 r=0.01 米的小圆孔，水箱的剖面图如右图求水箱中的水经过底部小圆孔全部流尽所需的时间（分数：10.00）_正确答案：(以水箱底部小孔中心为坐标原点，以圆柱形水箱的圆柱中心轴为 h 轴，且 h 轴的正向指向上方，建立如图的坐标系设水箱中的水从其底部小孔开始流出的时刻为 t=0，并从此时刻开始计时，时间单位为秒于是当 t=0
20、时水箱中的水深度 h(0)=2(单位：米)*设时刻 t 水箱中水的深度为 h(t)，则从时刻 t 到 t+dt，从水箱底部小孔流出的水的体积*若水箱中的水位相应下降 dh，则 dh 与 dV 满足-dV=R 2dh由此即得微分方程*为了计算水箱中的水从其底部小孔全部流尽所需的时间 T，只要把以上方程两端分别积分，其中左端是从t=0 到 t=T 求积分，而右端则是从 h(0)=2 到 h(T)=0 求积分于是*)解析：22.设() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 当 （分数：12.00）_正确答案：() 由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3由齐次线性方程
21、组(E-A)x=0，*得基础解系 1=(-4，1，2) T由齐次方程组(-3E-A)x=0，*得基础解系 2=(-2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 10；而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1) T，k 20() *() 由 p-1AP=B 有 p-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1又 B100=*，于是*)解析：23.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A2 线性无关，且 A3=3A-2A2证明：() 矩阵 B=(，A，A4)可逆；() B TB 是正定矩阵（分数：10.00）_正确答案：() 由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A若 k 1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k 1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故*所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆() 因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又*x0，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵*)解析：
