1、考研数学二-451 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 z=z(x，y)由方程 y+z=xf(y2-z2)确定，f(u)是可微函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)满足 f“(x)+(f(x)2=x 且 f(0)=0，则 ( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是向量组
2、+k，+k，- 线性无关的 ( )（分数：4.00）A.充分，不必要条件B.必要，不充分条件C.充分必要条件D.无关条件4.设 f(x)在(-，+)有定义，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，则 An(n2)等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处取极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则极大值与极小值之差为 ( )（分数：4.00）A.4B.3C.2D.17.圆 r=1 之外和圆 之内的公共部分面积等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.f(x)在-1，1连续且函数值只取有理
3、数，则必有 ( )（分数：4.00）A.f(x)=xB.f(x)=xD(x)，其中C.f(x)=|x|D.f(x)=c(c 为常数)(x-1，1)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.可以将在直角坐标下的方程 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 n 阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：
4、11.00）_16.设有 100 升含盐 10 公斤的盐水，以每分钟 3 升的速度向其中注入淡水，同时以每分钟 2 升的速度抽出混合后的盐水，求 1 小时后溶液中的含盐量（分数：9.00）_17.已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 l，则曲线 x2+2y2=1 在第一象限内的弧长是多少?（分数：10.00）_18.设 f(x)的定义域为(-，+)，对任意实数 x，任意实数 y 有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex(1)若 f(x)在 x=0 连续，问 f(x)在(-，+)是否连续，为什么?(2)若 f(x)在 x=0 可导，问 f(x)在(-，+)是否可导，为什么?(3)若 f(
5、x)在 x=0 可导，求 f(x)的解析表达式（分数：11.00）_19.设均匀薄片所占平面区域由 r=acos，r=bcos(0ab)围成，求它的重心坐标（分数：10.00）_20.设 f(x)在0，1上可微，且当 x(0，1)时，0f(x)1，f(0)=0，试证（分数：10.00）_21.设 （分数：11.00）_22.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且满足A 1= 1+ 2+ 3，A 2=2 2+ 3，A 3=2 2+3 3(1)求矩阵 A 的特征值(2)求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 A 相似（分数：11.00）_23.二次型 ，经正交变换化为
6、+ （分数：11.00）_考研数学二-451 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 z=z(x，y)由方程 y+z=xf(y2-z2)确定，f(u)是可微函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 多元隐函数的偏导数答案解析 方程两边取微分，得 dy+dz=fdx+xf(2ydy-2zdz)，于是有*，即*，所以*，应选(B)2.设 f(x)满足 f“(x)+(f(x)2=x 且 f(0)=0，则 ( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值
7、，(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点 导数的应用答案解析 已知 f(0)=0，再将 x=0 代入已知方程得 f(0)=0，且由方程解出 f“(x)=x-(f(x)2即 f“(x)是连续函数，由于*=1-2f(0)f“(0)=10由极限保号性知：f“(x)在 x=0 两侧异号，故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，保号性还表明，存在0，当-x0 时，f“(x)0，即 f(x)单调下降趋于 f(0)=0，即 f(x)0(x(-，0)；当0x 时，f“(x)0，则 f(x)f(0)=0，表明 f(x
8、)0(x(0，)亦即 f(x)在 x=0 两侧同号，故 x=0 不是 f(x)的极值点，应选(C)3.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是向量组 +k，+k，- 线性无关的 ( )（分数：4.00）A.充分，不必要条件B.必要，不充分条件 C.充分必要条件D.无关条件解析：考点 向量组线性无关条件的讨论答案解析 (+k，+k，-)=*，记*，则*从而向量组 +k，+k，- 线性无关，则 k1，即 k1 是向量组线性无关的必要，但不充分的条件应选(B)4.设 f(x)在(-，+)有定义，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数在一点的连续性答案解析 *即 a=0 时，g(x)
9、在 x=0 连续；a0 时，g(x)在 x=0 不连续，应选(D)5.设 ，则 An(n2)等于 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求矩阵的方幂答案解析 *，其中 B=*，注意到 B 与 E 可交换，从而由*知 n2 时 Bn=B，因此由展开式，得*应选(C)注：若将 A 表示为*，其中 B=*，此时 B 为对角矩阵，并非数量矩阵，与 C 的乘法不可交换，用展开式是不对的6.设函数 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处取极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则极大值与极小值之差为 ( )（分数：4.00）A.4 B.3C.2D.1解析：
10、考点 函数取极值的相关性质答案解析 由题意知*由此得*，于是函数形如 y=x3-3x2+c，令 y=3x(x-2)=0，得驻点 x1=0，x 2=2而 y“|x=0=(6x-6)|x=0=-60，y“| x=2=(6x-6)|x=2=60，极大值为 y(0)=c，极小值为 y(2)=-4+c，于是 y(0)-y(2)=4，应选(A)7.圆 r=1 之外和圆 之内的公共部分面积等于 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 用极坐系下二重积分计算平面图形面积*答案解析 *交点*，于是面积由对称性得*8.f(x)在-1，1连续且函数值只取有理数，则必有 ( )（分数：4.00）A.f(
11、x)=xB.f(x)=xD(x)，其中C.f(x)=|x|D.f(x)=c(c 为常数)(x-1，1) 解析：考点 连续函数性质答案解析 应选(D)，设不然 f(x)c(x-1，1)，则存在 x1，x 2-1，1，设 x1x 2，使 f(x1)=r1r 2=f(x2)，(r 1，r 2为有理数，r 1r 2，无妨设 r1r 2)，由无理数的稠密性知，存在无理数a(r 1，r 2)即 r1ar 2，因为已知 f(x)在x 1，x 2*-1，1上连续，依闭区间上连续函数介值定理，存在 (x 1，x 2)*0，1，使得有 f()=a这与 f(x)函数值仅取有理数矛盾，从而 f(x)*c(x-1，1)
12、，应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.可以将在直角坐标下的方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 将直角坐标下的方程转化为极坐标下的方程答案解析 *，于是代入*后，得*，化简之后有*即*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 计算不定积分答案解析 *11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 与定积分相关的数列极限答案解析 记*，则*亦即当 x2 时，f(x)单调减少，从而当 n2 时，有 n2n 2+n，由积分中值定理得*然而*，依数列极限的夹逼定理，有*12.设 （分数：4.00）填空项
13、 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求函数在一点的高阶导数答案解析 f(x)在 x=0 处带皮亚诺型余项的马克劳林公式为：*时，*而 ln(1+3x)在 x=0 处带皮亚诺型余项的马克劳林公式为：*从而当 0|x|3 时，*从 f(x)展开式的唯一性知，*，故*13.微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 解一阶微分方程答案解析 在(y+x 3)dx-2xdy=0 两边乘积分因子*，得*，即*于是*，故*，代入*，得 c=1因此*注：也可将方程化为*，即一阶线性非齐次方程求解14.已知 n 阶矩阵 （分数：4.00）填空项
14、 1:_ （正确答案：1）解析：考点 求矩阵的秩答案解析 A 2-A=A(A-E)，而|A|=1，故 A 可逆，即 r(A)=n，而*即 r(A-E)=1，从而 r(A2-A)=rA(A-E)=r(A-E)=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：11.00）_正确答案：(*因为 b0，ln(1+bt)bt(t0 +)，则当 02 时，*当 2 时，*当 =2 时，*因此符合要求的 a，b，c 为：a=2，b=1，*)解析：考点 确定极限中的参数16.设有 100 升含盐 10 公斤的盐水，以每分钟 3 升的速度向其中注入淡水，同时以每分钟 2
15、升的速度抽出混合后的盐水，求 1 小时后溶液中的含盐量（分数：9.00）_正确答案：(设时刻 t(分钟)时溶液内含盐量为 x=x(t)，从时刻 t 到 t+dt 这段时间内盐的增量为*于是*，lnx=-2ln(100+t)+lnc即 x=c(100+t)-2，代入 x(0)=10 得 c=105从而 x=105(100+t)-2，*)解析：考点 列方程解应用题17.已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 l，则曲线 x2+2y2=1 在第一象限内的弧长是多少?（分数：10.00）_正确答案：(已知*而 x2+2y2=1，在第一象限的参数方程为*则*即*从而*)解析：考点 求平面曲线的弧长18
16、.设 f(x)的定义域为(-，+)，对任意实数 x，任意实数 y 有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex(1)若 f(x)在 x=0 连续，问 f(x)在(-，+)是否连续，为什么?(2)若 f(x)在 x=0 可导，问 f(x)在(-，+)是否可导，为什么?(3)若 f(x)在 x=0 可导，求 f(x)的解析表达式（分数：11.00）_正确答案：(1)由于对任意实数 x，y 有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，取 x=y=0，得 f(0)=2f(0)，即 f(0)=0，且 f(x)在 x=0 连续，即有*对任意 x0(-，+)，x 00，有*由 x0的任意性，知 f(x)在
17、(-，+)连续(2)已知*，对任意的 x0(-，+)，x 00，有*即 f(x)在 x=x0可导，且由 x0的任意性知 f(x)在(-，+)可导(3)由(2)知对任意 x(-，+)，有 f(x)=f(x)+f(0)ex，记 a=f(0)，则有 y-y=aex，于是*=cex+axex(c 为任意常数)，代入 y|x=0=0，得 c=0，从而f(x)=axeax=f(0)xex)解析：考点 讨论一元函数，连续，可导，并解一元微分方程19.设均匀薄片所占平面区域由 r=acos，r=bcos(0ab)围成，求它的重心坐标（分数：10.00）_正确答案：(薄片占有区域*D 关于 y=0(x 轴)对称
18、，无妨设面密度 =1，设重心坐标为*，则*，由 D 的对称性知*，*故 *重心为*)解析：考点 求平面薄片的重心20.设 f(x)在0，1上可微，且当 x(0，1)时，0f(x)1，f(0)=0，试证（分数：10.00）_正确答案：(令 F(x)=*，则 F(0)=0，*由于已知 f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)，则 f(x)0=f(0)(x(0，1)又记*，则 g(0)=0g(x)=2f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)1-f(x)0，从而 g(x)0=g(0)(x(0，1)由(*)式知，F(x)=f(x)g(x)0 (x(0，1)而 F(x)在0，1连续，故在0，1上严格单调增
19、加，于是 F(1)F(0)=0，即 *亦即 *)解析：考点 证积分不等式21.设 （分数：11.00）_正确答案：(i)xy0 时，*(ii)如果 f(x，y)在(0，0)可微，则z| (0,0)=f(x,y)-f(0,0)=*可以表示为z=f x(0，0)x+f y(0，0)y+其中 0(当*时)，故*当(x，y)沿 y=x(x0)趋于(0，0)时，*不趋于 0(0)，与 0(0)矛盾，从而 f(x，y)在点(0，0)不可微)解析：考点 二元函数的偏导数及在一点的可微性22.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且满足A 1= 1+ 2+ 3，A 2=2 2+
20、3，A 3=2 2+3 3(1)求矩阵 A 的特征值(2)求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 A 相似（分数：11.00）_正确答案：(1)依题设条件有A( 1， 2， 3)=( 1+ 2+ 3，2 2+ 3，2 2+3 3)*记 P1=( 1， 2， 3)，*，则上式可写为AP1=P1B由于 1， 2， 3线性无关，故矩阵 P1可逆，上式两端左乘 P1-1，得 P1-1AP1=B，即矩阵 A 与矩阵 B 相似，而*于是矩阵 B 的特征值是 1，1，4，因为 AB，故 A 也有与 B 相同的特征值 1，1，4(2)对矩阵 B，由(E-B)X=0，得到属于 =1 的特征向量为 1=(-1，1，0
21、) T， 2=(-2，0，1) T；由(4E-B)X=0，得到属于 =4 的特征向量为 3=(0，1，1) T令*于是*因此当*)解析：考点 求抽象 3 阶矩阵的特征值，并使之与对角矩阵相似23.二次型 ，经正交变换化为 + （分数：11.00）_正确答案：(1)二次型矩阵为 A，其标准形矩阵为 B，依题意有*由于通过正交变换将二次型化为标准形，因此 A 与 B 不仅合同而且相似，因为相似矩阵有相同的迹，即有1+1+1=3+3+t，故 t=-3B 是对角矩阵，于是 A 的特征值为 1= 2=3， 3=-3，于是*得 a=-2(二重)(2)对于 =3(二重)，由(3E-A)X=0，得 A 的特征向量为：X 1=(1，-1，0) T，X 2(1，0，-1) T，对 =-3，由(-3E-A)X=0，得 A 的特征向量 X3=(1，1，1) T对 X1，X 2正交化，有 1=X1=(1，-1，0) T*再单位化得*令*经正交变换 X=PY，二次型化为*)解析：考点 用正交变换化二次型为标准形
