1、考研数学二-450 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 A 合同于( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 y=f(x)连续，除 x=a 外 f“(x)均存在，一阶导函数 y=f(x)的图形如右图所示则 y=f(x)( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，且 x=x1是 f(x)的唯一间断点，x=x 2是 g(x)的唯一间断点则( )（分数：4.00）A.当 x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1B
2、.当 x1x 2时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2C.当 x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=x1D.当 x1x 2时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x25.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，在 x=x0的某去心邻域内可导下述论断正确的是( )（分数：4.00）A.若B.若 f(x0)存在等于 A，则C.若D.若 f(x0)不存在，则6.设 ，(x)=x 4+x5， （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 为常数，微分方程 y“+2y+5y=e-xcos2x 有特解形式( )（分数：4.00）A.e-x(A+Bcos
3、2x+Csin2x)B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)8.已知 n 维向量组 1， 2， 3， 4是线性方程组 AX=0 的基础解系，则向量组a 1+b 4，a 2+b 3，a 3+b 2，a 4+b 1也是 AX=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（分数：4.00）A.a=bB.a-bC.abD.ab二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （
4、分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设线性方程组 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：11.00）_16.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，且 f(x)0，（分数：10.00）_17.设 f(x)与 g(x)在0，1都是正值连续函数，且有相同的单调性试讨论（分数：10.00）_设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数：5.00）_(2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.0
5、0）_18.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，z+3y)满足（分数：10.00）_19.设 ，计算二重积分（分数：11.00）_20.求 y“y=e|x|满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解（分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).计算 A2，并求 A-1；（分数：5.50）_(2).证明 A， 线性相关（分数：5.50）_设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：11.00）(1).证明 不是 A 的特征向量；（分数：5.50）_(2).证明向量组 ，A
6、，A 2 线性无关（分数：5.50）_考研数学二-450 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 A 合同于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 写出 A 对应的二次型，并用配方法化成标准形*知 f 的秩为 2，正惯性指数为 1(负惯性指数也为 1)，这可排除选项(A)，(B)，又选项(C)的二次型为*正负惯性指数和题干中二次型一致，而选项(D)中二次型为*正惯性指数为 2故应选(C)2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 将 1 也写成一个积分*为比较 I1，I 2，1 的大小，只要比较*的大
7、小由于当 x0 时 xsinx，*所以只要比较当*时，*的大小考虑*所以 (x)0(当*)，所以I2I 11选(B)3.设函数 y=f(x)连续，除 x=a 外 f“(x)均存在，一阶导函数 y=f(x)的图形如右图所示则 y=f(x)( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 添 x1，x 2，x 3，x 4如图，在 x=x1处 y=0，左侧 y0，右侧 y0故 x=x1为极小值点在 x=x2处(y)=0，左侧(y)0，右侧(y)0，所以点(x 2，f(x 2)是曲线 y=f(x)的拐点*类似地可知 x=x3是极大值点，x=x 4又是拐点，又是极小值点故其有 2 个极小值点，1 个
8、极大值点，2 个拐点，选(D)4.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，且 x=x1是 f(x)的唯一间断点，x=x 2是 g(x)的唯一间断点则( )（分数：4.00）A.当 x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1B.当 x1x 2时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2 C.当 x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点 x=x1D.当 x1x 2时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2解析：分析 命 (x)=f(x)+g(x)设 (x)在 x=x1处连续，由 f(x)=(x)-g(x)及题设 g(x)仅在 x=x2处间断，
9、其他处均连续，于是推知 f(x)在 x=x1处亦连续与题干所设矛盾故 (x)在 x=x1处间断同理可推知 (x)在 x=x2处亦间断所以(B)正确5.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，在 x=x0的某去心邻域内可导下述论断正确的是( )（分数：4.00）A.若B.若 f(x0)存在等于 A，则C.若 D.若 f(x0)不存在，则解析：分析 用反证法，设*时 f(x0)存在，则 f(x)在 x=x0处连续于是由拉格朗日中值定理，*与 f(x0)存在相矛盾所以当*时，f(x 0)不存在选(C)其他均可举出反例6.设 ，(x)=x 4+x5， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析
10、*当 k-1=5 即 k=6 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x6同阶(当 x0)*故知 (x)与 x4同阶(当 x0)*当 k=3 时，上述极限存在且不为零，故知 (x)与 x3同阶(当 x0)所以选(A)7.设 A，B，C 为常数，微分方程 y“+2y+5y=e-xcos2x 有特解形式( )（分数：4.00）A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x)B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x) C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x)D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)解析：分析 原给方程可写成*特征方程是 r2+2r+5=0，特征根 r1，2 =-1
11、+2i对应于自由项*部分，对应的一个特解为*形式对应于自由项*部分，对应的一个特解为*=xe -x(Bcos2x+Csin2x)所以原方程的一个特解形式为*=e -x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)选(B)8.已知 n 维向量组 1， 2， 3， 4是线性方程组 AX=0 的基础解系，则向量组a 1+b 4，a 2+b 3，a 3+b 2，a 4+b 1也是 AX=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（分数：4.00）A.a=bB.a-bC.abD.ab 解析：分析 (a 1+b 4，a 2+b 3，a 3+b 2，a 4+b 1)=( 1， 2， 3， 4)*因 1， 2， 3， 4
12、线性无关，则a 1+b 2，a 2+b 3，a 3+b 1，a 1+b 1线性无关*(a2-b2)2*0ab故应选(D)(B)(C)是充分条件，并非必要，(A)既非充分又非必要，均应排除二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 应先写出 f(x)的表达式*故知 f(x)正好有 2 个间断点*10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-ln2）解析：分析 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 交换积分
13、次序*13.设 ，其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xyf 1）解析：分析 *14.设线性方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ad-bc-e=0）解析：分析 对系数矩阵作初等行变换*当 ad-bc-e=0 时，r(A)=2方程组有非零解三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：11.00）_正确答案：(先看* ()所以 *所以原式为“*型”再由()式，用等价无穷小替换：*)解析：16.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，且 f(x)0，（分数：10.00）_正确答案：(由 *当 0x1，则*，从而*当 1x+，则*
14、，从而*又在 x=1 处 F(x)连续，所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增*所以 F“(1)=0，且当 0x1 时 F“(x)0，曲线 y=F(x)为凸；当 x1 时 F“(x)0，曲线 y=F(x)为凹点(1，0)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点)解析：17.设 f(x)与 g(x)在0，1都是正值连续函数，且有相同的单调性试讨论（分数：10.00）_正确答案：(*考虑分子，并命*有 (0)=0，*题设 f(x)与 g(x)有相同的单调性，从而知(f(t)-f(x)(g(t)-g(x)0又因 f(t)0，f(x)0，故当t0 时，(t)0从而推知当 t0 时，(t)0，所以 I1I
15、2)解析：设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数：5.00）_正确答案：(求*的斜渐近线*所以斜渐近线方程为 y=2x-4)解析：(2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.00）_正确答案：(面积*如果 2b+15+10，即如果 b-8，无论 b-8 还是 b-8，均有*，均与 A 为有限值矛盾当 b=-8 时，*，此时面积*)解析：18.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，z+3y)满足（分数：10.00）_正确答案：(z=z(x-2y，x+3y)，*代入原给方程，得*或写
16、成*以下求 z 的一般表达式将上式写成*两边对 u 积分，v 看成常数，得*其中 1(v)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得*由于 1(v)的任意性，记*，它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数，(u)为 u 的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到 z=z(u，v)的一般表达式：*)解析：19.设 ，计算二重积分（分数：11.00）_正确答案：(D 是一块矩形域，如图所示*)解析：20.求 y“y=e|x|满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解（分数：10.00）_正确答案：(化成两个微分方程y“-y=
17、ex，x0y“-y=e-x，x0分别得到*及*由 y(1)=0，y(1)=0，从第一个表达式求得*，*又因为 x=0 处，y(x)及 y(x)连续，所以*解得*，所以*最后，得通解*)解析：设 （分数：11.00）(1).计算 A2，并求 A-1；（分数：5.50）_正确答案：(*A2+A=A(A+E)=2EA 可逆，且*)解析：(2).证明 A， 线性相关（分数：5.50）_正确答案：(*，得 A+2=0，由定义知 A， 线性相关)解析：设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：11.00）(1).证明
18、不是 A 的特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(已知 A=A( 1+ 2+ 3)= 1 1+ 2 2+ 3 3若 是 A 的特征向量，假设对应的特征值为 ，则有A=( 1+ 2+ 3)= 1 1+ 2 2+ 3 3，从而得(- 1) 1+(-2) 2+(- 3) 3=0 1， 2， 3是不同特征值对应的特征向量，由定理知 1， 2， 3线性无关，从而得 1= 2= 3=，这和 1， 2， 3互不相同矛盾故 = 1+ 2+ 3不是 A 的特征向量)解析：(2).证明向量组 ，A，A 2 线性无关（分数：5.50）_正确答案：(证法一 用线性无关的定义证假设有数 k1，k 2，k 3使得 k 1+k 2A+k 3A2=0由 = 1+ 2+ 3及 A 1= i i，i=1，2，3代入得*整理得 *因 1， 2， 3线性无关，上式成立当且仅当* (*)又 i，i=1，2，3 互不相同，故方程组(*)的系数行列式*故方程组(*)仅有零解，即 k1=k2=k3=0，所以 ，A，A 2 线性无关证法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证因*所以 C 是可逆阵故 r 1，A，A 2=r(考-，善 z，考 s)一 3因此，A，A 2 线性无关)解析：
