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    【考研类试卷】考研数学二-447及答案解析.doc

    • 资源ID:1395850       资源大小:112.50KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学二-447及答案解析.doc

    1、考研数学二-447 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 x0 处 f(x)连续且严格单调增,并设 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=a 处可导,则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:4.00)A.f(a)=0,f(a)=0B.f(a)=0,f(a)0C.f(a)0,f(a)=0D.f(a)0,f(a)03.设 f(x)在a,b上可导, 则 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 A 是 45 矩阵, 1=1,-1,1,0,0 T, 2=-1,3,-1,2,0 T, 3=2,1

    2、,2,3,0T, 4=1,0,-1,1,-2 T, 5=-2,4,3,2,5 T都是齐次线性方程组 AX=0 的解,且 AX=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4, 5线性表出,若 k1,k 2,k 3,k 4,k 5是任意常数,则 AX=0 的通解是( )(分数:4.00)A.k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5B.k1 1+k2 2+k3 3C.k2 2+k3 3+k4 4D.k1 1+k3 3+k5 55.设 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设齐次线性方程组 (分数:4.00)A.B.C.D.7.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质:f(x)在a,b上连续f

    3、(x)在a,b上可积f(x)在a,b上可导f(x)在a,b上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q,则有( )(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 lnxnlnz nlny n(n=1,2,),且 则 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)填空项 1:_10.设 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1 所确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_11.设 D=(x,y)|-xyx,x 2+y22x),则 (分数:4.00)填空项 1:_12.设 (分数:4.00)13.设函数 f 与 g 可微,z=f(xy,g(xy)

    4、+lnx),则 (分数:4.00)填空项 1:_14.设二次型 f(x1,x 2,x 3,x 4)= 的规范形式为 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.经过第一象限中椭圆 (分数:10.00)_16.设 f(x)在区间-1,1上存在二阶连续导数,f(0)=0,设 ,求 (分数:10.00)_17.求微分方程 (分数:11.00)_18.设 k 是常数,讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k 在它的定义域内的零点个数(分数:11.00)_19.求 (分数:10.00)_(分数:9.00)(1).叙述二元函数 z=f(x,y)在点(x 0

    5、,y 0)处可微及微分 (分数:4.50)_(2).证明可微的必要条件定理:设 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,则 fx(x0,y 0)与 fy(x0,y 0)都存在,且(分数:4.50)_20.设 0x1,证明: (分数:11.00)_21.设 1, 2, n是 n 个 n 维向量,且已知 1x1+ 2x2+ nxn=0 ()只有零解问方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 ()何时只有零解?说明理由;何时有非零解?有非零解时,求出其通解(分数:11.00)_22.设 =1,2,3,4 T,=3,-2,-1,1 T,A=

    6、 T(1)求 A 的特征值,特征向量;(2)问 A 能否相似于对角阵,说明理由(分数:11.00)_考研数学二-447 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 x0 处 f(x)连续且严格单调增,并设 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 *由于 f(x)严格单调增,可知当 t(0,x)时 f(x)f(t),故当 x0 时,F(x)=*,也即 F(x)在 x0 处没有驻点选(A)2.设 f(x)在 x=a 处可导,则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:4.00)A.f(a)=0,f(a)=0B.f

    7、(a)=0,f(a)0 C.f(a)0,f(a)=0D.f(a)0,f(a)0解析:分析 若 f(a)0,则存在 x=a 的某邻域 U(a),在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知,若 f(a)0,则|f(x)|=f(x)(当 xU(a);若 f(a)0,则|f(x)|=-f(x)总之,若 f(a)0,|f(x)|在 x=a 处总可导若 f(a)=0,则*从而知*其中 xa +时取“+”,xa -时取“-”,所以|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件为|f(a)|=0,即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0,f(a)0 时|f(x)|在 x=a 处不可导,选(B)3.设 f(x)在

    8、a,b上可导, 则 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 记*,若在(a,b)内可取正值,由于 F(a)=F(b)=0,故 F(x)在(a,b)内存在最大值且为正,从而知 F(x)在(a,b)内存在正的极大值,记该极大值点为 x0,于是 F(x0)=0,F(x 0)0即*,代入原始方程,得*F(x0)应是极小值矛盾同理可知 F(x)在(a,b)内也不可能取到负值故选(C)4.设 A 是 45 矩阵, 1=1,-1,1,0,0 T, 2=-1,3,-1,2,0 T, 3=2,1,2,3,0T, 4=1,0,-1,1,-2 T, 5=-2,4,3,2,5 T都是齐次线性方程组 AX=0

    9、的解,且 AX=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4, 5线性表出,若 k1,k 2,k 3,k 4,k 5是任意常数,则 AX=0 的通解是( )(分数:4.00)A.k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5B.k1 1+k2 2+k3 3C.k2 2+k3 3+k4 4D.k1 1+k3 3+k5 5 解析:分析 AX=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4, 5线性表出,则必可由 1, 2, 3, 4, 5的极大线性无关组表出,且 1, 2, 3, 4, 5的极大线性无关组即是AX=0 的基础解系因*故知 1, 3, 5线性无关,是极大无关组,是 AX=0 的通解,

    10、应选(D)5.设 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 *不选(A)当 x0 时,*不选(B)*所以选(D)6.设齐次线性方程组 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 A 34X=0 有通解 k1,0,2,-1 T,将 A 以列分块,设 A= 1, 2, 3, 4即有 1+2 3- 4=0,则方程 A2Y=0 的非零解 =1,2,-1 T其余选项(A),(C),(D)均不成立若 A1Y=0 有非零解,设为 1, 2, 3,则有 1 2+ 2 3+ 3 4=0,即 0 1+ 1 2+ 2 3+ 4 4=0,则由原方程组 A34X=0,可得另一个线性无关解0, 1, 2, 3T

    11、,这和题设矛盾(由题设知,AX=0只有一个线性无关解)(C),(D)类似7.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质:f(x)在a,b上连续f(x)在a,b上可积f(x)在a,b上可导f(x)在a,b上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q,则有( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 因可导必连续,连续函数必存在原函数,故(B)正确(A)是不正确的虽然由可推出,但由(可积)推不出(可导)例如 f(x)=|x|在-1,1上可积,且*,但|x|在 x=0 处不可导(C)是不正确的由(可积)推不出(存在原函数),例如*在-1,1上可积,*=-1+1=0,但 f(x)在-1,1上不

    12、存在原函数因为如果存在原函数 F(x),那么只能是 F(x)=|x|+C 的形式,而此函数在 x=0 处不可导,在区间-1,1上它没有做原函数的“资格”(D)是不正确的,因为由(存在原函数)推不出(函数连续)例子如下:*它存在原函数*可以验证 F(x)=f(x),但 f(x)在 x=0 处并不连续,即存在原函数可以不连续8.设 lnxnlnz nlny n(n=1,2,),且 则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 举例说明*可以存在可以不存在例如,取*,有lnxnlnz nlny n且*,(不存在)又如取*,有lnxnlnz nlny n且*,而*,存在选(D)二、填空题(总题数

    13、:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 *10.设 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1 所确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 由 x2-xy+y2=1 有 2x-xy-y+2yy=0,则*11.设 D=(x,y)|-xyx,x 2+y22x),则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 用极坐标*12.设 (分数:4.00)解析:分析 *上式存在且不为零的充要条件是指数 2011-k+1=0,即 k=201213.设函数 f 与 g 可微,z=f(xy,g(xy)+lnx),则

    14、 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:f 2)解析:分析 *14.设二次型 f(x1,x 2,x 3,x 4)= 的规范形式为 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 方法一:由二次型的规范形知,其正惯性指数为 2,负惯性指数为 1将二次型用配方法,有*故 f 的正惯性指数为 2,负惯性指数为 1 时,应有*方法二:f 是四元二次型,由规范形知,其正惯性指为 2,负惯性指数为 1,且有一项为零故知其有特征值 =0,故该二次型的对应矩阵 A 有|A|=0,因*=2(2a-1)=0故应有*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.经过第一象限中椭圆 (分数:1

    15、0.00)_正确答案:(由隐函数微分法知,过椭圆上点(,)处的切线斜率为*切线方程为 *两坐标上的截距分别为*三角形面积*求 A 的最小值点,等价于求 的最大值点由拉格朗日乘数法,作*解得*,所以当*时,此三角形面积最小,最小值 A=ab)解析:16.设 f(x)在区间-1,1上存在二阶连续导数,f(0)=0,设 ,求 (分数:10.00)_正确答案:(将 f(x)在 x=0 处按拉格朗日余项泰勒公式展开至 n=1,有*而 *又由于 f“(x)在-1,1上连续,故存在 M0,对一切 x-1,1,|f“(x)|M于是*所以 *)解析:17.求微分方程 (分数:11.00)_正确答案:(此为 y“

    16、=f(y,y)型命*,有*,原方程化为*化为 *解得 *当 x=0 时 y=1,y=1代入得 1=1(1+C1),所以 C1=0于是得 p2=y4,p=y2(因 y=1 时,y=1,取正号)于是有*再分离变量积分得*以 x=0 时 y=1 代入得 C2=-1从而得特解*)解析:18.设 k 是常数,讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k 在它的定义域内的零点个数(分数:11.00)_正确答案:(f(x)的定义域为-x2*可见 f(1)=0,且当-x1 时 f(x)0;当 1x2 时 f(x)0所以 f(1)=k-1 为 f(x)的最大值当 k1 时,f(x)无零点;当 k=1

    17、时,f(x)有唯一零点 x=1;当 k1 时,f(1)0,且*,但*从而 *又 *从而知在区间(-,1)与(1,2)内 f(x)分别恰有唯一零点讨论完毕)解析:19.求 (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:(分数:9.00)(1).叙述二元函数 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微及微分 (分数:4.50)_正确答案:(定义:设 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某邻域 U 内有定义,(x 0+x,y 0+y)U增量* (*)其中 A、B 与x 和y 都无关,*,则称 f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,并*为 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处的微分)解析:

    18、(2).证明可微的必要条件定理:设 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,则 fx(x0,y 0)与 fy(x0,y 0)都存在,且(分数:4.50)_正确答案:(设 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,则(*)式成立命y=0,于是*命x0 有*,同理有*证明了 fx(x0,y 0)与 fy(x0,y 0)存在,并且*例子,对于函数*有*fy(0,0)=0,两个偏导数均存在以下用反证法证此 f(x,y)在点(0,0)处不可微若可微,则有f=f(x,y)-f(0,0)=0x+0y+o(),即 *,即 * (*)但此式是不成立的例如取y=kx,*随 k 而异,(*)式不成立,所以

    19、不可微)解析:20.设 0x1,证明: (分数:11.00)_正确答案:(等价于证明当 0x1 时,*经计算,F(1)=0,*记*,有*,从而知,当 0x1 时,(x)0,即有 F“(x)0因 F(1)=0,所以当 0x1 时,F(x)0又因 F(1)=0,所以当 0x1 时,F(x)0证毕)解析:21.设 1, 2, n是 n 个 n 维向量,且已知 1x1+ 2x2+ nxn=0 ()只有零解问方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 ()何时只有零解?说明理由;何时有非零解?有非零解时,求出其通解(分数:11.00)_正确答案:(

    20、1x1+ 2x2+ nxn=0 只有零解*r( 1, 2, n)=n* 1, 2, n线性无关( 1+ 2, 2+ 3, n-1+ n, n+ 1)= 1, 2, n*记成 B=AC,其中 r(A)=r( 1, 2, n)=n*当 n=2k+1 时,|C|=20,r(B)=r(A)=n,方程组()只有零解当 n=2k 时,|C|=0,C 中有 n-1 阶子式 Cn-1,n-1=10,因 r(A)=n,故 r(B)=r(C)=n-1方程组()有非零解,其基础解系由一个非零解组成。因( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3+ 4)-+( 2k-1+ 2k)-( 2k+ 1)=0,方程组()有通解 k

    21、1,-1,1,-1,1,-1 T,其中 k 是任意常数或因 A 可逆 ACX=BX=0 和 CX=0 同解,其中,*r(B)=r(C)=2k-1,BX=0 有通解1,-1,1,-1,-1,k 是任意常数)解析:22.设 =1,2,3,4 T,=3,-2,-1,1 T,A= T(1)求 A 的特征值,特征向量;(2)问 A 能否相似于对角阵,说明理由(分数:11.00)_正确答案:(方法一 *故 A 有特征值 =0(四重根)当 =0 时,由(E-A)X=0,即 AX=0,AX=0 的同解方程为3x1-2x2-x3+x4=0因 r(A)=r( T)r()=1,(0)A0,故 r(A)=1故 =0

    22、为四重根时,线性无关的特征向量只有三个,故 A 不能相似于对角阵方法二 r(A)=r( T)r()=1又 A0,故 r(A)=1,|A|=0故 A 有特征值 =0对应的特征向量满足(0E-A)X=0,即 AX= TX=0,其同解方程组为 3x1-2x2-x3+x4=0解得对应的特征向量为 1=2,3,0,0 T, 2=1,0,3,0 T, 3=1,0,0,-3 TA 的对应于 =0 的全体特征向量为 k1 1+k2 2+k3 3,其中 k1,k 2,k 3为不同时为零的任意常数故知 =0 至少是 A 的三重特征值,设第 4 个特征值为 4由*,得 4=0,故 =0 是四重特征值,但对应的线性无关特征向量只有 3 个故 A 不能相似于对角阵)解析:


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