1、考研数学二-447 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 处 f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.f(a)=0，f(a)=0B.f(a)=0，f(a)0C.f(a)0，f(a)=0D.f(a)0，f(a)03.设 f(x)在a，b上可导， 则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 是 45 矩阵， 1=1，-1，1，0，0 T， 2=-1，3，-1，2，0 T， 3=2，1
2、，2，3，0T， 4=1，0，-1，1，-2 T， 5=-2，4，3，2，5 T都是齐次线性方程组 AX=0 的解，且 AX=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4， 5线性表出，若 k1，k 2，k 3，k 4，k 5是任意常数，则 AX=0 的通解是( )（分数：4.00）A.k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5B.k1 1+k2 2+k3 3C.k2 2+k3 3+k4 4D.k1 1+k3 3+k5 55.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.7.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b上连续f
3、(x)在a，b上可积f(x)在a，b上可导f(x)在a，b上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 lnxnlnz nlny n(n=1，2，)，且 则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 D=(x，y)|-xyx，x 2+y22x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）13.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)
4、+lnx)，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= 的规范形式为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.经过第一象限中椭圆 （分数：10.00）_16.设 f(x)在区间-1，1上存在二阶连续导数，f(0)=0，设 ，求 （分数：10.00）_17.求微分方程 （分数：11.00）_18.设 k 是常数，讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k 在它的定义域内的零点个数（分数：11.00）_19.求 （分数：10.00）_（分数：9.00）(1).叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0
5、，y 0)处可微及微分 （分数：4.50）_(2).证明可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，且（分数：4.50）_20.设 0x1，证明： （分数：11.00）_21.设 1， 2， n是 n 个 n 维向量，且已知 1x1+ 2x2+ nxn=0 ()只有零解问方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 ()何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解（分数：11.00）_22.设 =1，2，3，4 T，=3，-2，-1，1 T，A=
6、 T(1)求 A 的特征值，特征向量；(2)问 A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：11.00）_考研数学二-447 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 处 f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 *由于 f(x)严格单调增，可知当 t(0，x)时 f(x)f(t)，故当 x0 时，F(x)=*，也即 F(x)在 x0 处没有驻点选(A)2.设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.f(a)=0，f(a)=0B.f
7、(a)=0，f(a)0 C.f(a)0，f(a)=0D.f(a)0，f(a)0解析：分析 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U(a)，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知，若 f(a)0，则|f(x)|=f(x)(当 xU(a)；若 f(a)0，则|f(x)|=-f(x)总之，若 f(a)0，|f(x)|在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则*从而知*其中 xa +时取“+”，xa -时取“-”，所以|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件为|f(a)|=0，即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时|f(x)|在 x=a 处不可导，选(B)3.设 f(x)在
8、a，b上可导， 则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 记*，若在(a，b)内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x0，于是 F(x0)=0，F(x 0)0即*，代入原始方程，得*F(x0)应是极小值矛盾同理可知 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值故选(C)4.设 A 是 45 矩阵， 1=1，-1，1，0，0 T， 2=-1，3，-1，2，0 T， 3=2，1，2，3，0T， 4=1，0，-1，1，-2 T， 5=-2，4，3，2，5 T都是齐次线性方程组 AX=0
9、的解，且 AX=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4， 5线性表出，若 k1，k 2，k 3，k 4，k 5是任意常数，则 AX=0 的通解是( )（分数：4.00）A.k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5B.k1 1+k2 2+k3 3C.k2 2+k3 3+k4 4D.k1 1+k3 3+k5 5 解析：分析 AX=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4， 5线性表出，则必可由 1， 2， 3， 4， 5的极大线性无关组表出，且 1， 2， 3， 4， 5的极大线性无关组即是AX=0 的基础解系因*故知 1， 3， 5线性无关，是极大无关组，是 AX=0 的通解，
10、应选(D)5.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *不选(A)当 x0 时，*不选(B)*所以选(D)6.设齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 A 34X=0 有通解 k1，0，2，-1 T，将 A 以列分块，设 A= 1， 2， 3， 4即有 1+2 3- 4=0，则方程 A2Y=0 的非零解 =1，2，-1 T其余选项(A)，(C)，(D)均不成立若 A1Y=0 有非零解，设为 1， 2， 3，则有 1 2+ 2 3+ 3 4=0，即 0 1+ 1 2+ 2 3+ 4 4=0，则由原方程组 A34X=0，可得另一个线性无关解0， 1， 2， 3T
11、，这和题设矛盾(由题设知，AX=0只有一个线性无关解)(C)，(D)类似7.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b上连续f(x)在a，b上可积f(x)在a，b上可导f(x)在a，b上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确(A)是不正确的虽然由可推出，但由(可积)推不出(可导)例如 f(x)=|x|在-1，1上可积，且*，但|x|在 x=0 处不可导(C)是不正确的由(可积)推不出(存在原函数)，例如*在-1，1上可积，*=-1+1=0，但 f(x)在-1，1上不
12、存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=|x|+C 的形式，而此函数在 x=0 处不可导，在区间-1，1上它没有做原函数的“资格”(D)是不正确的，因为由(存在原函数)推不出(函数连续)例子如下：*它存在原函数*可以验证 F(x)=f(x)，但 f(x)在 x=0 处并不连续，即存在原函数可以不连续8.设 lnxnlnz nlny n(n=1，2，)，且 则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 举例说明*可以存在可以不存在例如，取*，有lnxnlnz nlny n且*，(不存在)又如取*，有lnxnlnz nlny n且*，而*，存在选(D)二、填空题(总题数
13、：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *10.设 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由 x2-xy+y2=1 有 2x-xy-y+2yy=0，则*11.设 D=(x，y)|-xyx，x 2+y22x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用极坐标*12.设 （分数：4.00）解析：分析 *上式存在且不为零的充要条件是指数 2011-k+1=0，即 k=201213.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则
14、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2）解析：分析 *14.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= 的规范形式为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 方法一：由二次型的规范形知，其正惯性指数为 2，负惯性指数为 1将二次型用配方法，有*故 f 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1 时，应有*方法二：f 是四元二次型，由规范形知，其正惯性指为 2，负惯性指数为 1，且有一项为零故知其有特征值 =0，故该二次型的对应矩阵 A 有|A|=0，因*=2(2a-1)=0故应有*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.经过第一象限中椭圆 （分数：1
15、0.00）_正确答案：(由隐函数微分法知，过椭圆上点(，)处的切线斜率为*切线方程为 *两坐标上的截距分别为*三角形面积*求 A 的最小值点，等价于求 的最大值点由拉格朗日乘数法，作*解得*，所以当*时，此三角形面积最小，最小值 A=ab)解析：16.设 f(x)在区间-1，1上存在二阶连续导数，f(0)=0，设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(将 f(x)在 x=0 处按拉格朗日余项泰勒公式展开至 n=1，有*而 *又由于 f“(x)在-1，1上连续，故存在 M0，对一切 x-1，1，|f“(x)|M于是*所以 *)解析：17.求微分方程 （分数：11.00）_正确答案：(此为 y“
16、=f(y，y)型命*，有*，原方程化为*化为 *解得 *当 x=0 时 y=1，y=1代入得 1=1(1+C1)，所以 C1=0于是得 p2=y4，p=y2(因 y=1 时，y=1，取正号)于是有*再分离变量积分得*以 x=0 时 y=1 代入得 C2=-1从而得特解*)解析：18.设 k 是常数，讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k 在它的定义域内的零点个数（分数：11.00）_正确答案：(f(x)的定义域为-x2*可见 f(1)=0，且当-x1 时 f(x)0；当 1x2 时 f(x)0所以 f(1)=k-1 为 f(x)的最大值当 k1 时，f(x)无零点；当 k=1
17、时，f(x)有唯一零点 x=1；当 k1 时，f(1)0，且*，但*从而 *又 *从而知在区间(-，1)与(1，2)内 f(x)分别恰有唯一零点讨论完毕)解析：19.求 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：（分数：9.00）(1).叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 （分数：4.50）_正确答案：(定义：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域 U 内有定义，(x 0+x，y 0+y)U增量* (*)其中 A、B 与x 和y 都无关，*，则称 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，并*为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的微分)解析：
18、(2).证明可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，且（分数：4.50）_正确答案：(设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则(*)式成立命y=0，于是*命x0 有*，同理有*证明了 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且*例子，对于函数*有*fy(0，0)=0，两个偏导数均存在以下用反证法证此 f(x，y)在点(0，0)处不可微若可微，则有f=f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+o()，即 *，即 * (*)但此式是不成立的例如取y=kx，*随 k 而异，(*)式不成立，所以
19、不可微)解析：20.设 0x1，证明： （分数：11.00）_正确答案：(等价于证明当 0x1 时，*经计算，F(1)=0，*记*，有*，从而知，当 0x1 时，(x)0，即有 F“(x)0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0证毕)解析：21.设 1， 2， n是 n 个 n 维向量，且已知 1x1+ 2x2+ nxn=0 ()只有零解问方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 ()何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解（分数：11.00）_正确答案：(
20、1x1+ 2x2+ nxn=0 只有零解*r( 1， 2， n)=n* 1， 2， n线性无关( 1+ 2， 2+ 3， n-1+ n， n+ 1)= 1， 2， n*记成 B=AC，其中 r(A)=r( 1， 2， n)=n*当 n=2k+1 时，|C|=20，r(B)=r(A)=n，方程组()只有零解当 n=2k 时，|C|=0，C 中有 n-1 阶子式 Cn-1,n-1=10，因 r(A)=n，故 r(B)=r(C)=n-1方程组()有非零解，其基础解系由一个非零解组成。因( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3+ 4)-+( 2k-1+ 2k)-( 2k+ 1)=0，方程组()有通解 k
21、1，-1，1，-1，1，-1 T，其中 k 是任意常数或因 A 可逆 ACX=BX=0 和 CX=0 同解，其中，*r(B)=r(C)=2k-1，BX=0 有通解1，-1，1，-1，-1，k 是任意常数)解析：22.设 =1，2，3，4 T，=3，-2，-1，1 T，A= T(1)求 A 的特征值，特征向量；(2)问 A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：11.00）_正确答案：(方法一 *故 A 有特征值 =0(四重根)当 =0 时，由(E-A)X=0，即 AX=0，AX=0 的同解方程为3x1-2x2-x3+x4=0因 r(A)=r( T)r()=1，(0)A0，故 r(A)=1故 =0
22、为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故 A 不能相似于对角阵方法二 r(A)=r( T)r()=1又 A0，故 r(A)=1，|A|=0故 A 有特征值 =0对应的特征向量满足(0E-A)X=0，即 AX= TX=0，其同解方程组为 3x1-2x2-x3+x4=0解得对应的特征向量为 1=2，3，0，0 T， 2=1，0，3，0 T， 3=1，0，0，-3 TA 的对应于 =0 的全体特征向量为 k1 1+k2 2+k3 3，其中 k1，k 2，k 3为不同时为零的任意常数故知 =0 至少是 A 的三重特征值，设第 4 个特征值为 4由*，得 4=0，故 =0 是四重特征值，但对应的线性无关特征向量只有 3 个故 A 不能相似于对角阵)解析：
