1、考研数学二-444 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 （分数：3.50）_2.设 A为三阶方阵，A * 为 A的伴随矩阵，|A|=1/3，求|4A-(3A * ) -1 | （分数：3.50）_3.A是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求|A|. （分数：3.50）_4.设 （分数：3.50）_5.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 （分数：3.50）_6.已知 （分数：3.
2、50）_7.设矩阵 （分数：3.50）_8.解方程 （分数：3.50）_9.设向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为()=2，秩()=3.证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3. （分数：3.50）_10.已知线性方程组 （分数：3.50）_11.设向量组 （分数：3.50）_12.设线性方程组 （分数：3.50）_设四元齐次线性方程组()为 （分数：7.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：3.50）_(2).当 a为何值时，方程组()与方程组()有非零公共解?（分数：3.50）_13.已知 0是 （分数：3.50）_14.设 A
3、是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A与 B相似，求|B * +E| （分数：3.50）_15.已知二次型 ，通过正交变换化成标准形 （分数：3.50）_16.设 a是整数，若矩阵 （分数：3.50）_17.n阶矩阵 A满足 A 2 -2A-3E=0，证明 A能相似对角化 （分数：3.50）_18.设 （分数：3.50）_已知 （分数：14.00）(1).t取何值时，A 为正定矩阵?为什么?（分数：3.50）_(2).t取何值时，A 与 B等价?为什么?（分数：3.50）_(3).t取何值时，A 与 C相似?为什么?（分数：3.50）_(4).t取何值时，A 与 D合同?为什么?（分数：3
4、.50）_19.考虑二次型 （分数：3.50）_设 A为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=O已知 r(A)=2.（分数：7.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：3.50）_(2).当 k为何值时，矩阵 A+kE为正定矩阵，其中 E为三阶单位矩阵（分数：3.50）_20.求二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩，正负性指数p，q （分数：5.50）_考研数学二-444 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 （分数：3
5、.50）_正确答案：()解析：解 2.设 A为三阶方阵，A * 为 A的伴随矩阵，|A|=1/3，求|4A-(3A * ) -1 | （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 3.A是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求|A|. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 得 ，两边取行列式得 4.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由初等变换的性质得 B=A
6、P 1 P 2 ，则 5.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 AB+E=A 2 +B得 (A-E)B=A 2 -E， ，因为|A-E|0，所以 A-E可逆， 从而 6.已知 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 AP=PB得 A=PBP -1 ， 由 7.设矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 A -1 (E-BB T A -1 ) -1 C -1 =E得 C(E-BB T A -1 )A=E，即 C(A-BB T )=E，解得 C=(A-BB T ) -1 由 由 得 8.解
7、方程 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 X=(X 1 ，X 2 )， 由 得 故 9.设向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为()=2，秩()=3.证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3. （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明 由向量组()的秩为 3得 1 ， 2 ， 4 线性无关，从而 1 ， 2 线性无关，由向量组()的秩为 2得 1 ， 2 ， 3 线性相关， 从而 3 可由 1 ， 2 线性表示，令 3 =k 1 1 +k 2 2 由 10.已知线性方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (1)当 k
8、1 2 时，方程组有唯一解； (2)当 k 1 =2时， 情形一：k 2 1 时，方程组无解； 情形二：k 2 =1时，方程组有无数个解， 由 原方程组通解为 11.设向量组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (1)当 a-4 时， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示 当 a=-4时， (2)当 c-3b+1=0时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示方法不唯一， 由 则 12.设线性方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 (1)由 方程组()的通解为 (2) 设四元齐次线性方程组()为 （分数：7.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：3.5
9、0）_正确答案：()解析：解 方程组()的基础解系为 (2).当 a为何值时，方程组()与方程组()有非零公共解?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 ()的通解为 代入()得 整理得 因为两个方程组有公共的非零解，所以 l 1 ，l 2 不全为零， 从而 13.已知 0是 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 0为 A的特征值，所以 ，解得 a=1. 由 得 1 =0， 2 = 3 =2. 1 =0代入(E-A)X=0， 由 得 1 =0对应的线性无关的特征向量为 2 = 3 =2代入(2E-A)X=0， 由 得 2 = 3 =2对应的线性无关的特征向量为 14.设 A是三
10、阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A与 B相似，求|B * +E| （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 AB，所以 B的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3， B * 的特征值为 15.已知二次型 ，通过正交变换化成标准形 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 设 ，则 f=X T AX. A的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5， 由|A|=2(9-a 2 )=10得 a=2， 1 =1代入(E-A)X=0， 由 得 1 =1对应的线性无关的特征向量为 2 =2代入(E-A)X=0， 由 得 2 =2对应的线性无关的特征向量为 3 =5代入( E -A)X=
11、0， 由 得 3 =5对应的线性无关的特征向量为 令 则 16.设 a是整数，若矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 |A * |=4(-14)(-14)=28 2 ，由|A * |=|A| 2 得|A|=28 或|A|=-28. 若-6a-40=28，则 ，不合题意，舍去； 若-6a-40=-28，则 a=-2，从而 A的特征值为 1 =-7代入(E-A)X=0， 由 得 1 =-7对应的线性无关的特征向量为 2 = 3 =2代入(E-A)X=0， 由 得 2 = 3 =2对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得 所求的正交矩阵为 17.n阶矩阵 A满足 A 2 -2A-3E=0
12、，证明 A能相似对角化 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 -2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0，则 r(E+A)+r(3E-A)n； 由 r(E+A)+r(3E-A)r(4E)=n 得 r(E+A)+r(3E-A)=n (1)当 r(E+A)=n时，A=3E 为对角阵； (2)当 r(3E-A)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)n，r(3E-A)n，则|E+A|=0，|3E-A|=0， A的特征值 1 =-1， 2 =3. 1 =-1对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(-E-A)=n-r(E+A)； 2 =3对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(3E
13、-A) 因为 n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以 A可相似对角化18.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 1 = 2 =2及 1 + 2 + 3 =tr(A)=10得 3 =6. 因为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 r(2E-A)=1， 由 得 a=2，b=-2. 1 = 2 =2代入(E-A)X=0， 由 得 1 = 2 =2对应的线性无关的特征向量为 3 =6代入(E-A)X=0， 由 得 3 =6对应的线性无关的特征向量为 令 ，则 P可逆，且 已知 （分数：14.00）(1).t取何值时，A 为正定矩阵?为什么?（分数：3.50）_正确答案：()解析
14、：解 由(2).t取何值时，A 与 B等价?为什么?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 (3).t取何值时，A 与 C相似?为什么?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 C 的特征值为 1 =1， 2 =3， 3 =5， 由 (4).t取何值时，A 与 D合同?为什么?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 得 19.考虑二次型 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 A正定，所以 设 A为三阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=O已知 r(A)=2.（分数：7.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 AX=X， 由 A 2 +2A=O的( 2 +2)X=0，注意到 X0，则 2 +2=0， 解得 =0 或 =-2. 由 r(A)=2得 1 =0， 2 = 3 =-2.(2).当 k为何值时，矩阵 A+kE为正定矩阵，其中 E为三阶单位矩阵（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 A+kE 的特征值为 k，k-2，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵20.求二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩，正负性指数p，q （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型的矩阵为 由
