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    【考研类试卷】考研数学二-439及答案解析.doc

    • 资源ID:1395843       资源大小:254KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学二-439及答案解析.doc

    1、考研数学二-439 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:18.00)1.设 f(x,y,z)=e x yz 2 ,其中 z=z(x,y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则 f“ x (0,1,-1)= 1 (分数:3.00)2.已知 (分数:3.00)3.设 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,则 (分数:3.00)4.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=f(x,f(x,2x),则 “(1)= 1 (分数:3.00)5.设 (分数:3.00)6.由 x=ze y+

    2、z 确定 z=z(x,y),则 dz(e,0)= 1 (分数:3.00)二、解答题(总题数:26,分数:82.00)7.设 (分数:3.00)_8.设二元函数 f(x,y)的二阶偏导数连续,且满足 f“ xx (x,y)=f“ yy (x,y),f(x,2x)=x 2 ,f“ x (x,2x)=x,求 f“ xx (x,2x) (分数:3.00)_9.设 (分数:3.00)_10.设 (分数:3.00)_11.设 (分数:3.00)_12.设 z=f(e x siny,x 2 +y 2 ),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_13.已知 (分数:3.00)_14. ,f 的二

    3、阶导数连续,g 的二阶偏导数连续,求 (分数:3.00)_15.设 z=f(u,x,y),u=xe y ,其中 f 具有二阶偏导数,求 (分数:3.00)_16.设 z=f(2z-y,ysinx),其中 f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求 (分数:3.00)_17.设 f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足 求 (分数:3.00)_18.设 z=yf(x 2 -y 2 ),求 (分数:3.00)_19.设 z=z(x,y),由方程 确定(F 为可微函数),求 (分数:3.00)_20.设 z=xf(x,u,v),其中 其中 f 连续可偏导,求 (分数:3.00)_21.设 z=f(x,y)是

    4、由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 所确定的二元函数,求 dz (分数:3.00)_22.设 (u,v,w)由一阶连续的偏导数,z=z(x,y)是由 (bz-cy,cx-ax,ay-bx)=0 确定的函数,求 (分数:3.00)_23.设 z=z(x,y)是由 f(y-x,yz)=0 确定的,其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数,求 (分数:3.00)_24.设函数 z=z(x,y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 ),其中 f 可微,求 (分数:3.00)_25.设函数 z=z(x,y)由方程 x=f(y+z,y+x)所确定,其中 f(x,y)具有二阶连续偏导数

    5、,求 dz (分数:3.00)_26.若 (分数:3.00)_27.设 z=f(x,y)二阶可偏导, (分数:3.00)_28.设 f(x,y)二阶连续可偏导,g(x,y)=f(e xy ,x 2 +y 2 ),且 (分数:3.00)_29.试求 z=f(x,y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x,y)|0x2,-1y2)上的最大值、最小值 (分数:3.00)_30.求函数 f(x,y)=4x-4y-x 2 -y 2 在区域 D:x 2 +y 2 18 上最大值和最小值 (分数:3.00)_31.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x,y)|x 2 +y

    6、 2 4,y0)上的最小值与最大值 (分数:3.00)_32.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 (分数:7.00)_考研数学二-439 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:18.00)1.设 f(x,y,z)=e x yz 2 ,其中 z=z(x,y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则 f“ x (0,1,-1)= 1 (分数:3.00)解析:1 解 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 将 x=0,y=1,z=-1 代入得 2.已知 (分数:3.00)解析: 解 两边关于 x 求偏导得 从而 3.设 2sin(

    7、x+2y-3z)=x+2y-3z,则 (分数:3.00)解析:1 解 两边关于 x 求偏导得 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 两边关于 y 求偏导得 4.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=f(x,f(x,2x),则 “(1)= 1 (分数:3.00)解析:47 解 “(x)=f“ x (x,f(x,2x)+f“ y (x,f(x,2x)f“ x (x,2x)+2f“ y (x,2x), 则 “(1)=f“ x (1,f(1,2)+f“ y (1,f(1,2)f“x(1,2)+2f“ y (1,2) =f“ x (1,

    8、2)+f“ y (1,2)f“ z (1,2)+2f“ y (1,2)=3+4(3+8)=47.5.设 (分数:3.00)解析:-2 解 令 ,由 6.由 x=ze y+z 确定 z=z(x,y),则 dz(e,0)= 1 (分数:3.00)解析: 解 x=e,y=0 时,x=1. x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得 代入得 x=xe y+z 两边关于 y 求偏导得 代入得 故 二、解答题(总题数:26,分数:82.00)7.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 f(x,y)在(0,0)处连续. 由 得 f“ x (0,0)=0, 由 得 在(0,0)可偏导 令 因为

    9、且 ,所以 8.设二元函数 f(x,y)的二阶偏导数连续,且满足 f“ xx (x,y)=f“ yy (x,y),f(x,2x)=x 2 ,f“ x (x,2x)=x,求 f“ xx (x,2x) (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 f(x,2x)=x 2 两边关于 x 求导得 f“ x (x,2x)+2f“ y (x,2x)=2x, 由 f“ x (x,2x)=x 得 f“ x (x,2x)=x 两边关于 x 求导得 f“ xx (x,2x)+2f“ xy (x,2x)=1, 两边关于 x 求导得 9.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 则 10.设 (分数:3.00)_

    10、正确答案:()解析:解 则 11.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 12.设 z=f(e x siny,x 2 +y 2 ),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 13.已知 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 14. ,f 的二阶导数连续,g 的二阶偏导数连续,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 15.设 z=f(u,x,y),u=xe y ,其中 f 具有二阶偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 16.设 z=f(2z-y,ysinx),其中 f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求 (分数:3.00)

    11、_正确答案:()解析:解 17.设 f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足 求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 18.设 z=yf(x 2 -y 2 ),求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 则 19.设 z=z(x,y),由方程 确定(F 为可微函数),求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 两边关于 x 求偏导得 两边关于 y 求偏导得 解得 故 20.设 z=xf(x,u,v),其中 其中 f 连续可偏导,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 21.设 z=f(x,y)是由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 所确定的二元函数,求 dz (分数

    12、:3.00)_正确答案:()解析:解 方法一 z-y-x+xe z-y-z =0 两边关于 x,y 求偏导得 故 方法二 z-y-x+xe z-y-x =0 两边微分得 dz-dy-dx+d(xe z-y-x )=0. 即 dz-dy-dx+(e z-y-x -xe z-y-x )dx-xe z-y-x dy+xe z-y-x dz=0, 解得 22.设 (u,v,w)由一阶连续的偏导数,z=z(x,y)是由 (bz-cy,cx-ax,ay-bx)=0 确定的函数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 (bz-cy,cx-az,ay-bx)=0 两边关于 x 求偏导得 解得 (bz-

    13、cy,cx-az,ay-bx)=0 两边关于 y 求偏导得 故 23.设 z=z(x,y)是由 f(y-x,yz)=0 确定的,其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 f(y-x,yz)=0 两边关于 x 求偏导得 解得 24.设函数 z=z(x,y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 ),其中 f 可微,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(x 2 )两边关于 x 求偏导得 解得 同理 故 25.设函数 z=z(x,y)由方程 x=f(y+z,y+x)所确定,其中 f(x,y)具

    14、有二阶连续偏导数,求 dz (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 x=f(y+z,y+x)两边关于 x 求偏导得 解得 x=f(y+z,y+x)两边关于 y 求偏导得 解得 则 26.若 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 从而 由 z(x,0)=x 得 从而 (x)=1,(0)=0; 再由 x(0,y)=y 2 得 (y)=y 2 ,故 27.设 z=f(x,y)二阶可偏导, (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 28.设 f(x,y)二阶连续可偏导,g(x,y)=f(e xy ,x 2 +y 2 ),且 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明 由

    15、得 由可微的定义得 f(1,0)=0,f“ x (1,0)=f“ y (1,0)=-1. 29.试求 z=f(x,y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x,y)|0x2,-1y2)上的最大值、最小值 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当(x,y)在区域 D 内时, 由 得 在 L 1 :y=-1(0x2)上,x=x 3 +3x-1, 因为 z“=3x 2 +30,所以最小值为 x(0)=-1,最大值为 x(2)=13; 在 L 2 :y=2(0x2)上,z=x 3 -6x+8, 由 z“=3x 2 -6=0 得 在 L 3 :x=0(-1y2)上,z=y 3 , 由 z

    16、“=3y 2 =0 得 y=0,z(-1)=-1,z(0)=0,z(2)=8; 在 L 4 :x=2(-1y2)上,z=y 3 -6y+8, 由 z“=3y 2 -6=0 得 30.求函数 f(x,y)=4x-4y-x 2 -y 2 在区域 D:x 2 +y 2 18 上最大值和最小值 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当 x 2 +y 2 18 时, 由 得 x=2,y=-2,f(2,-2)=8; 当 x 2 +y 2 =18 时,令 F=4x-4y-x 2 -y 2 +(x 2 +y 2 -18), 由 得 当 时, 31.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x,y)|x 2 +y 2 4,y0)上的最小值与最大值 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当(x,y)位于区域 D 内时, 由 得 在 L 1 :y=0(-2x2)上,x=x 2 ,由 z“=2x=0 得 x=0, z(2)=4,z(0)=0; 在 上, 当 sin 2 t=1 时,z 的最大值为 8;当 时,z 的最小值为 32.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解 令 F=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-4), 由 得 当 时,u=72;当


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