1、考研数学二-435 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)1.设 （分数：2.00）_2.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f“()=0. （分数：2.00）_3.设 f(x)在a，b上连续在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_4.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=-f()cot. （分数：2.00）_5.设 f(x)在-a，a
2、上连续，在(-a，a)内可导，且 f(-a)=f(a)(a0)，证明：存在 (-a，a)，使得f“()=2f() （分数：2.00）_6.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_7.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f“(1)=f“(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f() （分数：3.00）_设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导， （分数：6.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：3.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ()，使得 f
3、“()=f“()（分数：3.00）_没奇函数 f(x)在-1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：（分数：6.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：3.00）_(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1.（分数：3.00）_8.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_9.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f“(0)=0，证明：存在 ，使得 （分数：3.00）_10.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且 f(0)=f(1)，|f“(x)|1，证明： （分数：3.00）_11.设 f(x)在0，1上
4、连续，且 f(x)1，证明： （分数：3.00）_12.证明：方程 x a =lnx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根. （分数：3.00）_13.设 证明：对任意自然数 n，方程 在区间 （分数：3.00）_14.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 （分数：3.00）_15.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式 （分数：3.00）_16.求函数 （分数：3.00）_17.设 f(x)为-2，2上连续的偶函数，且 （分数：3.00）_18.求函数 （分数：3.00）_19.f(x，y)=x 3 +y 3 -3x
5、y 的极小值 （分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：3.00）_(2).f(x)在何处取得极值?（分数：3.00）_20.设 （分数：3.00）_21.设 g(x)在a，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)-f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零 （分数：3.00）_22.求函数 （分数：3.00）_23.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值 （分数：3.00）_24.求 （分数：3.00）_25.当 x0 时，证明： （分
6、数：3.00）_26.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_27.证明：当 0x1 时， （分数：3.00）_28.设 ，证明： （分数：3.00）_29.求 （分数：3.00）_考研数学二-435 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：100.00)1.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 当 x(0，1)时， 由 当 x1 时， 即 当 01 时，由 f(2)-f(0)=2f“()得-1=-2，解得 当 12 时，由 f(2)-f(0)=2f“()得 解得 2.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)
7、+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f“()=0. （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，3上取到最小值 m 和最大值 M 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3，使得 f(c)=1. 因为 f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) 3.设 f(x)在a，b上连续在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(b-x) a f(x)， 因为 (a)=(b)=0，所以存在 (
8、a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=-a(b-x) a-1 f(x)+(b-x) a f“(x)，故 4.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=-f()cot. （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 “()=0， 而 “(x)=f“(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f“()sin+f()cos=0，故 f“()=-f()cot5.设 f(x)在-a，a上连续，在(-a，a)内可导，且 f(-a)=f(a)(a0)，证明：存在 (-a，a
9、)，使得f“()=2f() （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x2 f(x)， 由 f(-a)=f(a)得 (-a)=(a)， 由罗尔定理，存在 (-a，a)，使得 “(z)=0， 而 “(x)=e -x2 f“(x)-2xf(x)且 e -x2 0，故 f“()=2f()6.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=xf(x)， 由积分中值定理得 其中 c0， 从而 (c)=(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0. 而 “(x)=f(x)+xf“
10、(x)，故 7.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f“(1)=f“(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f() （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x f(x)+f“(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0， 而 “(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，故 f“()=f()设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导， （分数：6.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (2).在(
11、a，b)内至少存在一点 ()，使得 f“()=f“()（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 同理，由 h(c)=h(b)=0，则存在 (c，b)，使得 f“()=f() 令 (x)=e x f“(x)-f(x)，()=()=0， 由罗尔定理，存在 (，) 没奇函数 f(x)在-1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：（分数：6.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=f(x)-x， 因为 f(x)在-1，1上为奇函数，所以 f(0)=0， 从而 h(0)=0，h(1)=0， 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 h
12、“()=0， 而 h“(x)=f“(x)-1，故 (0，1)，使得 f“()=1.(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1.（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e x f“(x)-1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，由 f“()=1 得 f“(-)=1. 因为 (-)=()，所以存在 (-，) 8.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 由柯西中值定理，存在 (0，1)，使得9.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f“(0)=0，证明：存在 ，使得
13、（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 由柯西中值定理，存在 使得 由拉格朗日中值定理，存在 使得 再由拉格朗日中值定理，存在 使得 f“()=f“()-f“(0)=f“()， 故 10.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且 f(0)=f(1)，|f“(x)|1，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 两式相减得 从而 11.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 由 f(x)1 得 从而 P(1)一 1 一 I f(t)dt0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (C)=0，即方程 至少
14、有一个实根因为 “(x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上严格递增，故 12.证明：方程 x a =lnx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根. （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x a -lnx，f(x)在(0，+)连续， 因为 f(1)=10， 所以 f(x)在(0，+)内至少有一个零点，即方程 x a =lnx 在(0，+)内至少有一个根 因为 13.设 证明：对任意自然数 n，方程 在区间 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 f n (x)=1-(1-cosx) n ， 令 由零点定理，存在 使得 g(c)=0， 即方程 内至少要有一个
15、根 因为 所以 g(x)在 内有唯一的零点，从而方程 14.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 (0)=(1)=0，所以存在 c(0，1)，使得 “(c)=0， 而 于是 15.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 f(x)=ax3+bx2+cx+d， 由 f(1)=6，f“(1)=0，f(3)=2，f“(3)=0 得 16.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然 f(x)为偶函数，只研究 f
16、(x)在0，+)上的最小值和最大值 令 f“(x)=2x(2-x 2 )e -x2 =0 得 当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0， 为最大点，最大值 故 f(x)的最小值为 m=0，最大值 17.设 f(x)为-2，2上连续的偶函数，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 18.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 由 故 f(x)在0，2上最大值为 0，最小值为 19.f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 的极小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 设 （分数：6.00）(1).讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；（分数：3.
17、00）_正确答案：()解析：解 (2).f(x)在何处取得极值?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，由 f“(x)=2x 2x (1+lnx)=0 得 当 x0 时，f“(x)-10. 当 x0 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0， 则 x=0 为极大点，极大值为 为极小点，极小值为 20.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f“ - (0)f“ + (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 于是 令 f“(x)=0 得 当 x-1 时，f“(x)0；当-1x0 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0，
18、故 x=-1 为极小点，极小值为 为极大点，极大值为 f(0)=1； 为极小点，极小值为 21.设 g(x)在a，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)-f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设 f(x)在区间a，b上不恒为零，不妨设存在 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )0，则 f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=M0，且 f“(c)=0，代入得 f“(c)=f(c)=M0，则x=c 为极小点，矛盾，即 f(x)0，同理可证明 f(x)0，
19、故 f(x)0(axb)22.求函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 x=-1，x=0. 当 x-1 时，y“0；当-1x0 时，y“0；当 x0 时，y“0， 的单调增区间为(-，-1(0，+)，单调减区间为-1，0，x=-1 为极大值点，极大值为 的极小值点，极小值为 因为 所以曲线 没有水平渐近线； 又因为 为连续函数，所以 没有铅直渐近线； 由 得 y=x-2 为曲线的斜渐近线； 再由 y=e x-2e 为曲线 23.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x 2 y 2 +y
20、=1 两边关于 x 求导得 2xy 2 +2x 2 yy“+y“=0，解得 由 24.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)=2x-1=0 得 因为 所以 f(x)在0，1上的最大值为 、最小值为 25.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 由 故当 x0 时， 方法二 令 由拉格朗日中值定理得 从而 26.当 x0 时，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 令 f“(x)=(x-x 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)， 因为当 0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0， 所以 x=1 时，f(x)取最大值， 故当 x0 时， 27.证明：当 0x1 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2x，f(0)=0， 由 得 f(x)0(0x1)，故当 0x1 时， 28.设 ，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 即 f(x)在 内单调递增， 从而当 时，f(a)f(b)，即 29.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 x=-1 与 x=1 为 的铅直渐近线； 由 没有水平渐近线； 由 得 y=x 为曲线
