1、考研数学二-433 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 （分数：4.00）2. （分数：4.00）3.函数 y=x2 x 的极小点为 1 （分数：4.00）4.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）5.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e-1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1 （分数：4.00）6.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，-1)处的切线方程为 1 （分数：4.00）二、选择题(总题数：14，分数：56.00)7.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分
2、数：4.00）A.f“(a)B.2f“(a)C.0D.f“(2a)8.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内_.（分数：4.00）A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导9.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导10.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0 处可导，则_.（分数：4.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=-f“(0)11.设 f(x)可导，则下列结论正确的是_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.若曲线 y=x 2
3、 +ax+b 与曲线 2y=-1+xy 3 在(1，-1)处相切，则_.（分数：4.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1D.a=1，b=113.设 f(x)满足 f“(x)+f“ 2 (z)=2x，且 f“(0)=0，则_.（分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点14.若函数 f(-x)=f(x)(-x+)，在(-，0)内 f“(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有_.（分数：4.00）A.f“(x)
4、0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)015.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，又 y=f(x+x)-f(x)，则当 x0 时有_.（分数：4.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy016.设 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数D.若 f(x)为以了、为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数17.设 f
5、(x)为连续的奇函数，且 （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 x 轴18.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0_.（分数：4.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点19.曲线 对应的点处的曲率半径为_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.20.下列曲线有斜渐近线的是_. A By=x 2 +sinx C （分数：4.00）A.B.C.D
6、.三、解答题(总题数：5，分数：20.00)21.设 f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n （分数：4.00）_22.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x ，且 y“(0)=1，若 （分数：4.00）_23.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数， （分数：4.00）_24.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：4.00）_25.设 f(x)在(-，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=a，求 f(x) （分数：4.00）_考研数学二-433 答案解析(总分：100
7、.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：24.00)1.设 （分数：4.00）解析：a=3，b=-2. 解 f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1； 2. （分数：4.00）解析：y=-x-2 及 y=x+2. 解 由 得 y=-x-2 为曲线 的一条斜渐近线； 由 3.函数 y=x2 x 的极小点为 1 （分数：4.00）解析： 解 令 y“=2 x +x2 x ln2=2 x (1+xln2)=0.得 当 时，y“0；当 时，y“0， 故 4.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）解析： 解 令
8、y“=1-2sinx=0 得 y“=-22cosx，因为 所以 为 y=x+2cosx 的极大值点，也是最大值点，故最大值为 5.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e-1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1 （分数：4.00）解析： 解 当 x=0 时，y=1， e 2x+y -cosxy=e-1 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 故所求法线方程为 6.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，-1)处的切线方程为 1 （分数：4.00）解析：y=2x-3 解 2x 2 +y 2 =3 两边对 x 求导得 4x+2yy“=0，即 二、
9、选择题(总题数：14，分数：56.00)7.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：4.00）A.f“(a)B.2f“(a) C.0D.f“(2a)解析：解 8.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内_.（分数：4.00）A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导 解析：解 当 时，F(x)=0. 同理 9.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导 解析：解 由 f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处极限存在且连续 10.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=
10、0 处可导，则_.（分数：4.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=-f“(0)解析：解 F(0)=f(0)， 11.设 f(x)可导，则下列结论正确的是_. A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解 取 但 f“(x)=1，A 不对， 取 ，C 不对； 取 ，D 不对； 应选 B 事实上，对任意的 M0， 因为 所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f“(X)M 0 当 xX 0 时，f(x)-f(X 0 )-f“()(x-X 0 )M(x-X 0 )(X 0 x)， 从而 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，两边取
11、极限得 12.若曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=-1+xy 3 在(1，-1)处相切，则_.（分数：4.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=1解析：解 由 y=x 2 +ax+b 得 y“=2x+a； 2y=-1+xy 3 两边对 x 求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“，解得 因为两曲线在(1，-1)处相切，所以 13.设 f(x)满足 f“(x)+f“ 2 (z)=2x，且 f“(0)=0，则_.（分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.
12、x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解 取 x=0 得 f“(0)=0. 由 f“(x)+f“ 2 (x)=2x 得 f“(x)+2f“(x)f“x(x)=2，从而 f“(0)=2. 因为 所以存在 0，当 0|x| 时， 从而 14.若函数 f(-x)=f(x)(-x+)，在(-，0)内 f“(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有_.（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解 因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，f“(x)为偶
13、函数， 从而在(0，+)内有 f“(x)0，f“(x)0，应选 C15.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，又 y=f(x+x)-f(x)，则当 x0 时有_.（分数：4.00）A.ydy0 B.ydy0C.dyy0D.dyy0解析：解 y=f(x+x)-f(x)=f“(c)x(xcx+x)， 由 f“(x)0，f“(x)0 得 f“(c)xf“(x)x0，即 ydy0，应选 A16.设 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(
14、x)为以 T 为周期的奇函数 D.若 f(x)为以了、为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数解析：解 取 f(x)=1-cosx，f(x)是以 2 为周期的偶函数， 而 17.设 f(x)为连续的奇函数，且 （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴 D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 x 轴解析：解 由18.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0_.（分数：4.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能
15、确定是否是函数的极值点解析：解 因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，从而 f“(0)=0. 因为 f“(0)=0，而 f“(0)0，所以 x=0 一定是 f(x)的极值点，应选 B19.曲线 对应的点处的曲率半径为_. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解 则 20.下列曲线有斜渐近线的是_. A By=x 2 +sinx C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解 由 得 曲线 三、解答题(总题数：5，分数：20.00)21.设 f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n （分数：4.00）_正确答案：()解
16、析：解 由 得 f“ - (0)=0；由 得 f“ + (0)=0， 从而 f“(0)=0，于是 由 得 f“ - (0)=6；由 得 f“ + (0)=6， 从而 f“(0)=6，于是 由 得 f“ - (0)=-6；由 22.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x ，且 y“(0)=1，若 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 y(0)=0， 23.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 因为 f(x)以 4 为周期，所以 故 y=f(x)在(5，f(5)的法线方程为 24.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题意得 f(0)=0，f“(0)=cosx| x=0 =1. 25.设 f(x)在(-，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=a，求 f(x) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x=0，y=0 得 f(0)=0. 由
