1、考研数学二-429 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 是三阶可逆矩阵，B 是三阶矩阵，满足 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是( )（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区问(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界D.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界3.
2、设 f(x)与 h(x)在 x=x0的某邻域内连续，且在 x=x0处存在一阶导数，F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，对 A 分别以列和行分块，记为 A= 1， 2， 3， 4= ，其中 （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在 x=x0的某领域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.7.微分方程 y“-2y+y=ex的特解形式为( )（分数：4.00）A.y*=Aex，(A0)B.y*=(A+Bx)ex，(B0)C.y*=(A+Bx+Cx2)ex，(C0)D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx2)，(D0)
3、8.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)是由方程 y3+xy+x2-2x+1=0 确定的满足 y(1)=0 的可微函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 yy“+y2=yy满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_14.A 是二阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，f(x)=x 2-3x+4，则
4、f(A) =_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 （分数：9.00）_16.计算定积分 （分数：10.00）_17.设 z=z(x，y)是由方程 x2+2y-z=ez所确定，求 （分数：10.00）_18.设 k 是常数，讨论 f(x)=(1-2x)ex+x+k 的零点的个数（分数：10.00）_19.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足 ，求 z 的表达式（分数：11.00）_20.设 f(x)在a，b上存在一阶导数，且|f(x)|M， 证明：当 xa，b时， （分数：11.00）
5、_（分数：11.00）(1).计算 （分数：5.50）_(2).求 （分数：5.50）_设 A33= 1， 2， 3，方程组 AX= 有通解 k+=k1，2，-3 T+2，-1，1 T，其中 k 是任意常数（分数：11.00）(1).证明方程组( 1， 2)X= 有唯一解，并求该解（分数：5.50）_(2).证明方程组 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3X= 有无穷多解，并求其通解（分数：5.50）_设 （分数：11.01）(1).将上述关系式表示成矩阵形式；（分数：3.67）_(2).当 （分数：3.67）_(3).当 （分数：3.67）_考研数学二-429 答案解析(总分：150.01，做
6、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 是三阶可逆矩阵，B 是三阶矩阵，满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由题设条件得*A 是可逆阵，故有*相似矩阵有相同的特征值，C 和 B 有相同的特征值由*故 B 有特征值为 =1，=2，=-2，故应选(C)或由*，两边取行列式，得*，知应选(C)2.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是( )（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区问(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，
7、在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界 D.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界解析：分析 对于区间(0，)内任意 x，再另取一固定的 x1，f(x)-f(x1)=f()(x-x 1)，f(x)=f(x1)+f()(x-x 1)，|f(x)|f(x 1)|+M|x-x1|f(x 1)|+M，所以 f(x)在(0，)内必有界，其中 M 为 f(x)在(0，)内的一个界3.设 f(x)与 h(x)在 x=x0的某邻域内连续，且在 x=x0处存在一阶导数，F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 G(x)=F(x)H(x)，
8、G(x)=F(x)H(x)+F(x)H(x)，G(x 0)=0G“(x)=F“(x)H(x)+2F(x)H(x)+F(x)H“(x)，G“(x 0)=2F(x0)H(x0)=2f(x0)h(x0)0故选(D)4.设 ，对 A 分别以列和行分块，记为 A= 1， 2， 3， 4= ，其中 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由*(*)，知 r(A)2但*(*)，不能得出 r(A)3，故是错误的由(*)知*线性无关，增加分量得*仍线性无关故正确由(*)知向量a 11，a 12，a 13，a 21，a 22，a 23，a 31，a 32，a 33线性相关但增加分量成 1， 2， 3不能保
9、证线性相关，故不正确由(*)知 1， 2， 3线性相关，是正确的故应选(D)5.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *f(x)的不可导的点应从|x(x+2)(x-2)|=0 及*的点去考虑取 x=0，2，-2，4 逐个讨论之*所以 f(0)不存在同理 f(2)也不存在*所以f(-2)存在*，所以 f(4)不存在共在 3 个点处不可导：x=0，2，4选(D)6.设 f(x)在 x=x0的某领域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题给条件推知存在 x=x0的去心邻域*，当*时*，于是知，当*且 xx 0时 f“(x)0，曲线凸；当*且 xx 0时
10、 f“(x)0，曲线凹，选(B)7.微分方程 y“-2y+y=ex的特解形式为( )（分数：4.00）A.y*=Aex，(A0)B.y*=(A+Bx)ex，(B0)C.y*=(A+Bx+Cx2)ex，(C0) D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx2)，(D0)解析：分析 因为右边 ex指数上的 1 是二重特征根，故为 y*=Ax2ex的形式(A0)，即(C)中 C0 的形式故选(C)8.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 若*存在，则*必不存在因为若*也存在，则由和、差极限知*与 *
11、必都存在，矛盾选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=0，b=1）解析：分析 应先写出 f(x)的分段表达式当|x|1 时，f(x)=ax 2+bx；当 x=1 时，*；当 x=-1 时，*；当|x|1 时，*写成分段表达式*可见，在 x=-1 处连续*，在 x=1 处连续*解得 a=0，b=110.设 y=y(x)是由方程 y3+xy+x2-2x+1=0 确定的满足 y(1)=0 的可微函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 * (*)由隐函数求导有*得* (*)有*(*)式为“*”型，对(*)
12、式再用洛必达法则：*将(*)式再对 x 求导，有 *x=1 时，已知 y(1)=0，y(1)=0经计算 y“(1)=-2于是*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：分析 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 画出积分区域(如图)并用极坐标，得*13.微分方程 yy“+y2=yy满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 此为缺 x 的可降阶二阶方程命*，方程 yy“+y2=yy成为*分解成 p=0 与*方程 p=0 即*不满足初始条件解第二个方程此为 p 关于 y 的一阶线性方程为*由初始条件*，
13、有*，所以 C1=0，得*，即*再以 y|x=0=1 代入，C 2=0故得解*14.A 是二阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，f(x)=x 2-3x+4，则 f(A) =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2E）解析：分析 利用矩阵 A 的相似对角阵由题设条件 A 是二阶矩阵，有二个不同的特征值，故 AA，即存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，A=PAP -1，其中*，且f(x)=x2-3x+4=(x-1)(x-2)+2f(A)=(A-E)(A-2E)+2E=(PAP-1-PP-1)(PAP-1-2PP-1)+2E*或直接计算f(A)=A2-3A+4E=(PAP-1)2-3PA
14、P-1+4PP-1=PA2P-1-3PAP-1+4PP-1=P(A2-3A+4E)P-1*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 （分数：9.00）_正确答案：(用皮亚诺余项泰勒公式，将 f(x)展开至 n=2*可见*)解析：16.计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(方法一 由分部积分，*方法二 令*，则*)解析：17.设 z=z(x，y)是由方程 x2+2y-z=ez所确定，求 （分数：10.00）_正确答案：(将 x2+2y-z=ez两边对 x，对 y 分别求偏导数，得*得*将*求偏导数，其中 z 应看作 x，y 的函数，有*)
15、解析：18.设 k 是常数，讨论 f(x)=(1-2x)ex+x+k 的零点的个数（分数：10.00）_正确答案：(f(x)=-(1+2x)e x+1易见 f(0)=0当 x0 时，f(x)=(1-e x)-2xex0，f(x)严格单增；当 x0 时，f(x)=2xe x-(ex-1)0，f(x)严格单减f(0)=1+k所以 f(0)为 f(x)的最大值，又因，*所以当 1+k0 即 k-1 时，f(x)有且仅有两个(实)零点，当 k=-1 时，f(x)有且仅有一个(实)零点，当k-1 时，f(x)无(实)零点)解析：19.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足 ，求 z
16、 的表达式（分数：11.00）_正确答案：(*原给方程化为*记*，于是上式成为常微分方程：*解得*)解析：20.设 f(x)在a，b上存在一阶导数，且|f(x)|M， 证明：当 xa，b时， （分数：11.00）_正确答案：(命*，有 (a)=(b)=0，故在(a，b)内|(x)|存在最大值点 x=x0若|(x 0)|=0，则|(x)|=O，结论自然成立若|(x 0)|0，则 (x 0)总是 (x)的极值(极大值或极小值)于是 (x 0)=0由泰勒公式，*以 (a)=0，(b)=0 分别代入上式，并且注意到 (x 0)=0，(x)=f(x)，于是有*于是*无论是*，还是*，总可得*，于是有*)
17、解析：（分数：11.00）(1).计算 （分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).求 （分数：5.50）_正确答案：(设 nxn+1，有 nx(n+1)于是*即*命 n，由夹逼定理得*)解析：设 A33= 1， 2， 3，方程组 AX= 有通解 k+=k1，2，-3 T+2，-1，1 T，其中 k 是任意常数（分数：11.00）(1).证明方程组( 1， 2)X= 有唯一解，并求该解（分数：5.50）_正确答案：(由题设条件：( 1， 2， 3)X= 有通解 k1，2，-3 T+2，-1，1 T知r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3，)=2， (*) 1+2 2-3 3=0，
18、(*)=(k+2) 1+(2k-1) 2+(-3k+1) 3 (*)其中 k 是任意常数由(*)式得*，知 1， 2线性无关(若 1， 2线性相关，又 3=*，得 r( 1， 2， 3)=1，这和关系式(*)矛盾)由(*)知 1， 2是向量组 1， 2， 3及 1， 2， 3， 的极大线性无关组，从而有 r( 1， 2)=r( 1， 2，)=2方程组( 1， 2)X= 有唯一解由(*)式取 3的系数-3k+1=0，即取*，得( 1， 2)X= 的唯一解为 =*，即唯一解*)解析：(2).证明方程组 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3X= 有无穷多解，并求其通解（分数：5.50）_正确答案：(因
19、 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3，)=r( 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3)=r( 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3，)=2，故方程组( 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3)X= 有无穷多解，且其通解形式为 k1 1+k2 2+ *，其中由(*)式*得*由(*)中取 k=0，则得*得 *观察*故方程组( 1+ 2+ 3+， 1， 2， 3)X= 的通解为k1 1+k2 2+ *=k1 1+k2( 1- 2)+ 1=k10，1，2，-3 T+k2-1，3，0，2 T+0，2，-1，1 T)解析：设 （分数：11.01）(1).将上述关系式表示成矩阵形式；（分数：3.67）_正确答案：(*表示成矩阵形式为*)解析：(2).当 （分数：3.67）_正确答案：(由递推关系得*设*，求 A 的特征值，特征向量*得 1=5， 2=-1当 1=5 时，由*，得*；当 2=-1 时，由*，得*故当*时，记*，且 0= 1，则*知 x100=5100，y 100=25100)解析：(3).当 （分数：3.67）_正确答案：(当*时，即*，将 0由 1， 2线性表出，*故*)解析：
