1、考研数学二-428 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：6.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：3.00）_(2).若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：3.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：6.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：3.00）_
2、设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：6.00）(1).AB=BA；（分数：3.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：3.00）_1.设 （分数：3.00）_设方程组 （分数：6.00）(1).求 A；（分数：3.00）_(2).求|A * +3E|（分数：3.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：6.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：
3、3.00）_(2).求 A（分数：3.00）_2.设 （分数：3.00）_3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)72.证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：3.00）_设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0.（分数：6.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：3.00）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：3.00）_4.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 设 （分数：3.00）_5. （分数：3.00）_6.
4、设 （分数：3.00）_7.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零 （分数：4.50）_8.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵 （分数：4.50）_9.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵 （分数：4.50）_10.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵 （分数：4.50）_11.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：4.50）_12.设 二次型经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：4.50）_13
5、.设齐次线性方程组 有非零解，且 为正定矩阵，求 a，并求当 （分数：4.50）_14.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵 （分数：4.50）_15.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n. （分数：4.00）_考研数学二-428 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：22，分数：100.00)设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：6.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 若 ，A 线性相关，则存在不全为零
6、的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，可设 k 2 0，所以 (2).若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +A-6=0，得(A 2 +A-6E)=0， 因为 0，所以 r(A 2 +A-6E)2，从而|A 2 +A-6E|=0，即 |3E+A|2E-A|0，则|3E+A|=0 或|2E-A|=0. 若|3E+A|0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E-A)=0，得 (2E-A)=0，即 A=2，矛盾； 若|2E-A|0，则 2E-A 可逆，由(2E-A)(3E+A)=0，得 (3E+
7、A)=0，即 A=-3，矛盾，所以有|3E+A|=0 且|2E-A|=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值-3，2，故A 可对角化设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：6.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 - 2 )=-( 1 - 2 )，A( 2
8、 - 3 )=-( 2 - 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 =-1.因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 - 2 与 2 - 3 也线性无关，所以 2 =-1 为矩阵 A的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1.(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 1 - 2 ， 2 - 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：6.00）(1).AB=BA；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明
9、 由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E， 即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)， 故 AB=BA(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )dia
10、g( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3. 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 BP 同为对角阵_正确答案：()解析：证明 因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A
11、|=|B| 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 而 A * =|A|A -1 ，B * =|B| -1 ， 于是由 P -1 AP=B，得(P -1 AP) -1 =B -1 ，即 P -1 A -1 P=B -1 ， 故 P -1 |A|A -1 P=|A|B -1 或 P -1 A * P=B * ，于是 A * B * _正确答案：()解析：证明 因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP -1 =P(BP)P -1 ，故 APBP1.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 因为矩阵 A 有三个线
12、性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E-A)=1， 即 a=1，故 由 =1 时，由(E-A)X=0，得 由 =2 时，由(2E-A)X=0，得 令 ，两边 n 次幂得 从而 设方程组 （分数：6.00）(1).求 A；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为方程组有无穷多个解，所以 令 从 (2).求|A * +3E|（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 |A|=2，A * 对应的特征值为 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：6.00）(1).求 A 的
13、其他特征值与特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值。对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 (2).求 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，得 2.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 ，解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0，
14、 3 =6. 当 =1 时，由(E-A)X=0，得 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 令 再令 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)72.证明：A，B 有公共的特征向量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解， 因为 ，所以方程组 设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且
15、n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0.（分数：6.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 (2).求 A 的特征值与特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 ，则 A 与 B 相似，由 4.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特
16、征向量为 又 AX=0 的通解为 ，则 其对应的特征向量为 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =-1，x 3 =-2， 则 5. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由|E-B|=0，得 1 =-1， 2 =1， 3 =2 因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =-1， L 2 =1， L 3 =2. 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3 =-2，得 b=-2，即 由(-E-A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E-A)X=0，得 2 =(-2，1，1) T ； 由(2E-A)X=0，得
17、3 =(-2，1，0) T ， 令 由(-E-B)X=0，得 1 =(-1，0，1) T ； 由(E-B)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2E-B)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 由 令 6.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，得矩阵 A 的特征值为 1 =1-a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1-aa，1-a1+a，a1+n，即 a0 且 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1-a 时，由(1-a)E-AX=0 得 ； 2 =a 时，由(aE-A)X=0 得 ； 3 =1+a 时，由(1+a)E-AX=0 得
18、 当 a=O 时， 1 = 3 =1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 时， 因为 所以方程组 7.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0， X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以 (AX) T (AX)= T =| 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定
19、矩阵，所以 A T A的特征值全大于零8.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 首先 A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵9.设 P 为可逆矩阵，A=P T
20、P证明：A 是正定矩阵 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 显然 A T =A，对任意的 X0，X T AX=(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 X T AX=(PX) T (PX)=|PX| 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵10.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，
21、所以 X T AX0，X T BX0，因此 XT(A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵11.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 所以矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2.由|A|= 1 2 3 =-2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =-2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为0，0，3，即 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 =-2 的特征向量 令 A 的属于特征
22、值 1=2=1 的特征向量为 ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 即 x 1 +x 3 =0故矩阵 A 的属于 1 = 3 =1 的特征向量为 令 ，由 ，得 ，所求的二次型为 12.设 二次型经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 二次型 的矩阵形式为 f=X T AX 其中 ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4. 而|E-A|= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1
23、) 2 (-4)， 解得 a=2，b=1.当 1 = 2 =时，由(E-A)X=0 得 由 3 =4 时，由(4E-A)X=0 得 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 13.设齐次线性方程组 有非零解，且 为正定矩阵，求 a，并求当 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 因为方程组有非零解，所以 ，即 a=-1 或 a=0 或 a=3.因为 A 是正定矩阵，所以 a ii 0(i=1，2，3)，所以 a=3.当 a=3 时，由得 A 的特征值为 1，4，10.因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 而当 所以当 ，X T AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取
24、到，如 14.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 A 所对应的二次型为 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=Q T X0， 于是 15.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0，所以 B T AB 为正定矩阵
