1、考研数学二-427 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：25.00)1.设 （分数：3.00）2.设三阶矩阵 A 的特征值为 （分数：3.00）3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A2( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1 （分数：3.00）4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，
2、则|A|= 1 （分数：3.00）5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：3.00）6.设 （分数：3.00）7.设 （分数：3.00）8.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：4.00）二、选择题(总题数：8，分数：24.00)9.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1
3、 AP 等于_. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则_. A.A，B 相似于同一个对角矩阵 B.存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B C.r(A)=r(B) D.以上都不对（分数：3.00）A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是_. A.若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 C.若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值（分
4、数：3.00）A.B.C.D.12.与矩阵 相似的矩阵为_. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.13.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是_. A矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_. A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对角矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B（分数：3.00）A.B.C.
5、D.15.设 （分数：3.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同16.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则_.（分数：3.00）A.|A|=0B.|A|0C.|A|0D.以上都不对三、解答题(总题数：10，分数：51.00)17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求|5E+A| （分数：3.00）_设 （分数：6.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A，其中 A 为对角阵；（分数：3.00）_(2).A 100 （分数：3.00）_18.设 （分数：3.00）_19.设 （分数：
6、3.00）_设 （分数：9.00）(1).求 a；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵；（分数：3.00）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：3.00）_(2).判断 A 可否对角化（分数：3.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且
7、A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 .（分数：6.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：3.00）_(2).求|A * +2E|（分数：3.00）_20.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32. 求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化 （分数：3.00）_设 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 （分数：6.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：3.00）_(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵
8、P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：3.00）_考研数学二-427 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：25.00)1.设 （分数：3.00）解析：-2 解 因为|A * |=|A| 2 =4 且|A|0，所以|A|=2，又 AA * =|A|E=2E，所以 ，从而 A -1 的特征值为 2.设三阶矩阵 A 的特征值为 （分数：3.00）解析： 解 P -1 (A -1 +2E)P=P -1 A -1 P+2E， 而 ，所以 3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于
9、特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A2( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1 （分数：3.00）解析： 2 3 0 解 令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 则有 因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1 （分数：3.00）解析：2 解 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ，
10、 3 线性无关，所以 P 可逆， 由 得 所以 5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1 （分数：3.00）解析：1 解 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =-1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，-a，1) T ， 2 =(，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 6.设 （分数：3.00）解析：1 解 由 7.设 （分数：3.00）解析：0 解 由|E-A|=0 得 A
11、 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =6.因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0.8.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：4.00）解析： 解 可以对角化， 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 =2， 2 =0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 二、选择题(总题数：8，分数：24.00)9.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1
12、 )，则 P -1 AP 等于_. A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解 显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 10.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则_. A.A，B 相似于同一个对角矩阵 B.存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B C.r(A)=r(B) D.以上都不对（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解 令11.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是_. A.若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 C.若矩阵 A 的各行元素之和为-
13、1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解 若 r(E+A)n，则|E+A|=0，于是-1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为-1，则 12.与矩阵 相似的矩阵为_. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D13.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是_. A矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非
14、零特征值的个数相等 B若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵 C若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解 A 不对，如 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1； B 不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化； C 不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是 14.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则_. A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B B.存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B C.A，B 与同一个对角矩阵相似 D.存在可逆矩阵 P，
15、Q，使得 PAQ=B（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D15.设 （分数：3.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解 显然 A，B 都是实对称矩阵，由|E-A|=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由|E-B|=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B 合同但不相似，选 C16.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则_.
16、（分数：3.00）A.|A|=0 B.|A|0C.|A|0D.以上都不对解析：解 设二次型 其中 Q 为正交矩阵取 三、解答题(总题数：10，分数：51.00)17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求|5E+A| （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 设 （分数：6.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A，其中 A 为对角阵；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 相似于对角阵，所以 (2).A 100 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 18.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 有三个线性无关
17、的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1， 而 ，所以 x=2，y=-2. 由 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 令 ，则有 19.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =-1.因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a=0，b=0. 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 得 令 ，因为
18、设 （分数：9.00）(1).求 a；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以|A|=0，从而 a=-2 或 a=1 当 a=-2 时， ，方程组有无穷多解； 当 a=1 时， (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=(A+3)(-3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =-3. 由(OE-A)X=0 得 1 =0 对应的线性无关的特征向量为 由(3E-A)X=0 得 2 =3 对应的线性无关的特征向量为 由(-3E-A)X=0 得 3 =-3 对应的线性无关的特征向量为 令
19、，则 (3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 今 则 设矩阵 （分数：6.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 |E-A|=( 2 -1) 2 -(a+2)2+2a-1， 把 =3 代入上式得 a=2，于是 (2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由|E-A 2 |=0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9. 当 =1 时，由(E-A 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，
20、1，0，0) T ， 3 =(0，0，-1，1) T ； 当 =9 时，由(9E-A 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， ，将 4 规范化得 令 ，则 设矩阵 （分数：6.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A= 1 ，则有 |A|=12，设 A 的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 = 3 =2. 对应的 A*的特征值为 (2).判断 A 可否对角化（分数：3.00）_
21、正确答案：()解析：解 设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 .（分数：6.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 (2).求|A * +2E|（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为|A|=-5，所以 A * 的特征值为 1，-5，-5，故 A * +2E 的特征值为 3，-3，-3.从而|A * +2E|=27.20.
22、设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32. 求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 -4E 的三个特征值为0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6. 又因为|A * |=36=|A| 3-1 ，所以|A|=6. 由 得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 设 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 （分数：6.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 A 1 =2 1 ，得 ，解得 ，则 (2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 由(2E-A)X=0，得 ，由(-E-A)X=0，得 显然 A 可对角化，令
