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    【考研类试卷】考研数学二-426及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学二-426及答案解析.doc

    1、考研数学二-426 及答案解析(总分:99.99,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:2,分数:8.00)1.设 (分数:4.00)2.设 为非零向量, (分数:4.00)二、选择题(总题数:5,分数:20.00)3.设 A 是 ms 阶矩阵,B 为 sn 阶矩阵,则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_.(分数:4.00)A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O,且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 , 2 ,则下列命题正确的是_. AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 +

    2、2 为 AX=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAX=b 的通解为 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设有方程组 AX=0 与 BX=0,其中 A,B 都是 mn 阶矩阵,下列四个命题: (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B),则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解,则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B),则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_.(分数:4.00)A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)6.设 A

    3、是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则_.(分数:4.00)A.当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解B.当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解7.设 A 为 mn 阶矩阵,则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_.(分数:4.00)A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示三、解答题(总题数:18,分数:72.00)8.设向量组 1 , 2 , n-1 为 n 维线性无关的列向量组,且与非零

    4、向量 1 , 2 正交证明: 1 , 2 线性相关 (分数:4.00)_9.设齐次线性方程组 (分数:4.00)_10.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 a,b,c 且不全为零,又 (分数:4.00)_11.a,b 取何值时,方程组 (分数:4.00)_12.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明:方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解 (分数:4.00)_设() , 1 , 2 , 3 , 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解,其中 (分数:3.99)(1).求方程组()的基础解系;(分数:1.33)_(2).求方程组()BX=0 的基础解系;(分数:1.

    5、33)_(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解(分数:1.33)_设 (分数:4.00)(1).求(),()的基础解系;(分数:2.00)_(2).求(),()的公共解(分数:2.00)_13. (分数:4.00)_14.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()与 (分数:4.00)_15.设 的一个基础解系为 写出 (分数:4.00)_16.设 A 是 ms 阶矩阵,B 是 sn 阶矩阵,且 r(B)=r(AB)证明:方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组 (分数:4.00)_设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,r(CA+DB)=n(分数:4.00

    6、)(1).证明: (分数:2.00)_(2).设 1 , 2 , r 与 1 , 2 , s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系,证明: 1 , 2 , r , 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_17.设 A 为 n 阶矩阵,A 11 0.证明:非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A* b=0. (分数:4.00)_18.证明:r(AB)minr(A),r(B) (分数:4.00)_19.证明:r(A)=r(A T A) (分数:4.00)_20.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明:方程组

    7、 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个 (分数:4.00)_21.讨论方程组 (分数:4.00)_22.设 (分数:4.00)_考研数学二-426 答案解析(总分:99.99,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:2,分数:8.00)1.设 (分数:4.00)解析:2 1解 2.设 为非零向量, (分数:4.00)解析:3 k(-3,1,2)T 解 AX=0 有非零解,所以|A|=0,解得 a=3,于是 二、选择题(总题数:5,分数:20.00)3.设 A 是 ms 阶矩阵,B 为 sn 阶矩阵,则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是_.(分数:4.00)

    8、A.r(A)=s B.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n解析:解 设 r(A)=s,显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解,反之,若 ABX=0,因为 r(A)=s,所以方程组 AY=0 只有零解,故 BX=0,即方程组 BX=0 与方程组 ABX=0 同解,选 A4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O,且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 , 2 ,则下列命题正确的是_. AAX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 B 1 + 2 为 AX=b 的解 C方程组 AX=0 的通解为 k( 1 - 2 ) DAX=b 的通解为 (分数:4.00)

    9、A.B.C. D.解析:解 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一,所以 r(A)n,又因为 A * O,所以 r(A)=n-1, 2 - 1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系,选 C5.设有方程组 AX=0 与 BX=0,其中 A,B 都是 mn 阶矩阵,下列四个命题: (1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B),则 AX=0 的解都是 BX=0 的解 (3)若 AX=0 与 BX=0 同解,则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B),则 AX=0 与 BX=0 同解 以上命题正确的是_.(分数:4.00)A.(1)(2

    10、)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析:解 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解,则 n-r(A)n-r(B),从而 r(A)r(B),(1)为正确的命题;显然(2)不正确;因为同解方程组系数矩阵的秩相等,但反之不对,所以(3)是正确的,(4)是错误的,选 B6.设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则_.(分数:4.00)A.当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解 B.当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解解析:解 AB

    11、 为 m 阶方阵,当 mn 时,因为 r(A)n,r(B)n 且 r(AB)minr(A),r(B),所以r(AB)m,于是方程组 ABX=0 有非零解,选 A7.设 A 为 mn 阶矩阵,则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_.(分数:4.00)A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析:解 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示,在方程组 AX=b 有解的情形下,其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n,故选 D三、解答题(总题数:18,分数:72.00)8.设向量组 1 ,

    12、2 , n-1 为 n 维线性无关的列向量组,且与非零向量 1 , 2 正交证明: 1 , 2 线性相关 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 令 9.设齐次线性方程组 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 (1)当 ab,a(1-n)b 时,方程组只有零解; (2)当 a=b 时,方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0,其通解为 X=k 1 (-1,1,0,0) T +k 2 (-1,0,1,0) T +k n-1 (-1,0,0,1)T(k 1 ,k 2 ,k n-1 为任意常数); (3)令 10.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 a,b,c 且不全为

    13、零,又 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且,r(A)1. (1)当 k9 时,因为 r(B)=2,所以 r(A)=1,方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量,显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列,故通解为 (k 1 ,k 2 为任意常数); (2)当 k=9 时,r(B)=1,1r(A)2, 当 r(A)=2 时,方程组 AX=0 的通解为 (C 为任意常数); 当 r(A)=1 时,A 的任意两行都成比例,不妨设 a0, 由 ,得通解为 11.a,b 取何值时,方程组 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 (1)a1

    14、 时, 唯一解为 (2)a=1,b-1 时, 12.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明:方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 方程组 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解 因为 ,所以方程组 设() , 1 , 2 , 3 , 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解,其中 (分数:3.99)(1).求方程组()的基础解系;(分数:1.33)_正确答案:()解析:解 方程组()的基础解系为(2).求方程组()BX=0 的基础解系;(分数:1.33)_正确答案:()解析:解 因为 r(B)=2,所以方程组(

    15、)的基础解系含有两个线性无关的解向量, (3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解(分数:1.33)_正确答案:()解析:解 方程组()的通解为 ,方程组()的通解为 令 ,则有 设 (分数:4.00)(1).求(),()的基础解系;(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 (2).求(),()的公共解(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 方法一 (),()公共解即为 的解, (),()的公共解为 (k 为任意常数) 方法二 ()的通解 代入(), 故(),()的公共解为(-k,k,2k,k) T =k(-1,1,2,1) T (k 为任意常数) 方法三 ()的通解为

    16、 ,()的通解为 令 (),()的公共解为 13. (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 方法一 的通解为 (k 为任意常数), 把()的通解代入(),得 方法二 因为(),()同解,所以它们的增广矩阵有等价的行向量组,()的增广矩阵为阶梯阵,其行向量组线性无关, 1 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 1 =-2 1 + 2 +a 3 a=-1, 1 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 2 = 1 + 2 - 3 b=-2, 1 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 3 =3 1 + 2 + 3 14.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()与 (分数:4.

    17、00)_正确答案:()解析:证明 令 方程组()可写为 AX=b,方程组()、()可分别写为 A T Y=0 及 若方程组()有解,则 r(A)=r(A b),从而 ,又因为()的解一定为()的解,所以()与()同解; 反之,若()与()同解,则 ,从而 r(A)=r(A 15.设 的一个基础解系为 写出 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 令 ,则()可写为 AX=0, 令 其中 则()可写为 BY=0,因为 1 , 2 , n 为()的基础解系,因此 r(A)=n, 1 , 2 , n 线性无关, 为 BY=0 的一组解,而 r(B)=n, 1 T , 2 T , n T 线性无关

    18、, 因此 1 T , 2 T , n T 为 BY=0 的一个基础解系,通解为 16.设 A 是 ms 阶矩阵,B 是 sn 阶矩阵,且 r(B)=r(AB)证明:方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 首先,方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r 且 1 , 2 , n-r 是方程组 BX=0 的基础解系,现设方程组 ABX=0 有一个解 0 不是方程组 BX=0 的解,即 B 0 0,显然 1 , 2 , n-r , 0 线性无关,若 1 , 2 , n-r , 0 线性相关,则存在不全为零的常数 k 1

    19、,k 2 ,k n-r ,k 0 ,使得 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-r +k 0 0 =0,若 k 0 =0,则 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0,因为 1 , 2 , n-r 线性无关,所以 k 1 =k 2 =k n-r =0,从而 1 , 2 , n-r , 0 线性无关,所以 k 0 0,故 0 可由 1 , 2 , n-r 线性表示,由齐次线性方程组解的结构。有 B 0 =0,矛盾,所以 1 , 2 , n-r , 0 线性无关,且为方程组 ABX=0 的解,从而 n-r(AB)n-r+1,r(AB)r-1,这与 r(B)=r(AB)矛盾,故方程

    20、组 BX=0 与 ABX=0 同解设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,r(CA+DB)=n(分数:4.00)(1).证明: (分数:2.00)_正确答案:()解析:证明 因为 所以(2).设 1 , 2 , r 与 1 , 2 , s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系,证明: 1 , 2 , r , 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_正确答案:()解析:证明 因为 所以方程组 17.设 A 为 n 阶矩阵,A 11 0.证明:非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A* b=0. (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 设非齐次线性方程组

    21、 AX=b 有无穷多个解,则 r(A)n 从而|A|=0, 于是 A * b=A * AX=|A|X=0. 反之,设 A * b=0,因为 B0,所以方程组 A * X=0 有非零解,从而 r(A * )n,又 A 11 0,所以 r(A * )=1,且 r(A)=n-1. 因为 r(A * )=1,所以方程组 A * X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量,而 A * A=0,所以 A 的列向量组 1 , 2 , n 为方程组 A * X=0 的一组解向量 由 A 11 0,得 2 , n 线性无关,所以 2 , n 是方程组 A*X=0 的基础解系 因为 A * b=0,所以

    22、b 可由 2 , n 线性表示,也可由 1 , 2 , n 线性表示,故 18.证明:r(AB)minr(A),r(B) (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 令 r(B)=r,BX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量, 因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解,所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数,即 n-r(AB)n-r(B),r(AB)r(B); 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A), 所以 r(AB)minr(A),r(B)19.证明:r(

    23、A)=r(A T A) (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0 =0,则 A T AX 0 =0. 反之,若 A T AX 0 =0,则 20.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明:方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个 (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 因为 r(A)=rn,所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量,设为 1 , 2 , n-r . 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解,

    24、令 0 = 0 , 1 = 1 + 0 , 2 = 2 + 0 , n-r = n-r + 0 ,显然 0 , 1 , 2 , n-r 为方程 组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+k n-r n-r =0,即 (k 0 +k 1 +k n-r ) 0 -k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0, 上式两边左乘 A 得(k 0 +k 1 +k n-r )b=0, 因为 b 为非零列向量,所以 k 0 +k 1 +k n-r =0,于是 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =0, 注意到 1 , 2 , n-r 线性无关,所以 k 1 =k 2 =k n-r =0,

    25、 故 0 , 1 , 2 , n-r 线性无关,即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1 , 2 , n-r+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解, 令 1 = 2 - 1 , 2 = 3 - 1 , n-r+1 = n-r+2 - 1 ,根据定义,易证 1 , 2 , n-r+1 线性无关,又 1 , 2 , n-r+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解,即方程组AX=0 含有 n-r+1 个线性无关的解,矛盾,所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个21.讨论方程组

    26、(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 (1)当 -1,b-2 时,因为 D0,所以方程组有唯一解,由克拉默法则得 (2)当 a=-1,b-2 时, 当 b-1 时,方程组元解 当 b=-1 时, 方程组的通解为 (3)当 a-1,b=-2 时, 当 a=1 时, 方程组的通解为 当 a1 时,显然 22.设 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 令 X=(X 1 ,X 2 ,X 3 ),B=( 1 , 2 , 3 ),方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 由 r(A)=r(A B)得 a=1,b=2,c=-2,此时 AX 1 = 1 的通解为 AX 2 = 2 的通解为 AX 3 = 3 的通解为 则


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