1、考研数学二-425 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是_.（分数：4.00）A.1，2，3 线性无关B.1，2，3 线性相关C.1，2，4 线性无关D.1，2，4 线性相关2.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则_.（分数：4.00）A.4 不能由 1，2，3 线性
2、表示B.4 能由 1，2，3 线性表示，但表示法不唯一C.4 能由 1，2，3 线性表示，且表示法唯一D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则_. Amn Bm=n C存在 m 阶可逆阵 P，使得 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题正确的是_.（分数：4.00）A.若向量 1，2，n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A1，A2，An 线性无关B.若向量 1，2，n 线性相关，则 1，2
3、，n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1，2，n 线性无关，则 1+2，2+3，n+1 一定线性无关D.设 1，2，n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A1，A2，An 线性无关，则 A 一定可逆5.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_.（分数：4.00）A.1，2，m 中任意两个向量不成比例B.1，2，m 是两两正交的非零向量组C.设 A=(1，2，m)，方程组 AX=0 只有零解D.1，2，m 中向量的个数小于向量的维数6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是_. A.A 的行向量组一定线性无关 B.非齐次线性方程组
4、 AX=b 一定有无穷多组解 C.ATA 一定可逆 D.ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有_.（分数：4.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ，2， s )=r，则_.（分数：4.00）A.两个向量组等价B.r(
5、1，2，m，1，2，s)=rC.若向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价二、解答题(总题数：15，分数：68.00)9.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)A T =C -1 ，且 （分数：4.00）_10.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2. （分数：4.00）_11.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n （分数：4.00）_12.设 A 为 n 阶矩阵，证明： （分数：4.00）_13.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=
6、T （分数：4.00）_14.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1.证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：4.00）_15.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n-2 A （分数：4.00）_16.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=0.证明：r(A)+r(B)n （分数：4.00）_17.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4.证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4.
7、（分数：4.00）_18.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆 （分数：4.00）_19.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：4.00）_20.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：4.00）_21.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由
8、 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：4.00）_22.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k-1 0，而 A k =0.证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关 （分数：8.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：8.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：4.00）_(2).设 （分数：4.00）_考研数学二-425 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4
9、 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是_.（分数：4.00）A.1，2，3 线性无关B.1，2，3 线性相关 C.1，2，4 线性无关D.1，2，4 线性相关解析：解 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选 B2.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则_.（分数：4.00）A.4 不能由 1，2，3
10、 线性表示B.4 能由 1，2，3 线性表示，但表示法不唯一C.4 能由 1，2，3 线性表示，且表示法唯一 D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定解析：解 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，又 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 与 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，所以方
11、程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选C3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则_. Amn Bm=n C存在 m 阶可逆阵 P，使得 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解 因为对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，km，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则
12、B=O，选D4.下列命题正确的是_.（分数：4.00）A.若向量 1，2，n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A1，A2，An 线性无关B.若向量 1，2，n 线性相关，则 1，2，n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1，2，n 线性无关，则 1+2，2+3，n+1 一定线性无关D.设 1，2，n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A1，A2，An 线性无关，则 A 一定可逆 解析：解 (A 1 ，A 2 ，A n )=A( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ， 2 ， m )可逆，于是 r(A 1 ，A
13、2 ，A n )=r(A)，而A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选 D5.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_.（分数：4.00）A.1，2，m 中任意两个向量不成比例B.1，2，m 是两两正交的非零向量组C.设 A=(1，2，m)，方程组 AX=0 只有零解 D.1，2，m 中向量的个数小于向量的维数解析：解 向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A 不对；若 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无
14、关不一定两两正交，B 不对； 1 ， 2 ， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D 不对，选 C6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是_. A.A 的行向量组一定线性无关 B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解 C.ATA 一定可逆 D.ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解 若 A T A 可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选 D7.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵
15、，则必有_.（分数：4.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A，B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A8.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ，2， s
16、 )=r，则_.（分数：4.00）A.两个向量组等价B.r(1，2，m，1，2，s)=rC.若向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，s 线性表示，则两向量组等价 D.两向量组构成的矩阵等价解析：解 不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示，则 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 线性表示，若 1 ， 2 ， r 不可由 1 ， 2 ， r 线性表示，则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以两
17、向量组秩不等，矛盾，选 C二、解答题(总题数：15，分数：68.00)9.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)A T =C -1 ，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由(2E-C -1 B) A T=C -1 ，得 A T =(2E-C -1 B) -1 C -1 =C(2E-C-1B) -1 =(2C-B) -1 得 10.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r(a)=1，r( T )r()=1，所以 r(A)r( T )+r
18、( T )2.11.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A= T 0，所以 r(E-A)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n-1n12.设 A 为 n 阶矩阵，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 AA * =A * A=|A|E 当
19、r(A)=n 时，|A|0，因为|A * |=|A| n-1 ，所以|A * |0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * 0，故 r(A * )1，又因为|A|=0，所以 AA * =|A|E=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )=1； 当 r(A)n-1 时，由于 A 的所有 n-1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=O13.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的
20、充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， 令 于是 令 14.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1.证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=n-1，所以 r(A * )=1，于是 其中 为非零向量，故 15.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n-2 A （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 (A * ) * A * =|A * |E=|A| n-1 E
21、，当 r(A)=n 时，r(A * )=n，A * =|A|A -1 ，则(A * ) * A * =(A * ) * |A|A -1 =|A| n-1 E，故(A * ) * =|A| n-2 A当 r(A)=n-1 时，|A|=0，r(A * )=1，r(A*)*=0，即(A * ) * =O，原式显然成立当 r(A)n-1 时，|A|=0，r(A * )=0，(A * ) * =0，原式也成立16.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=0.证明：r(A)+r(B)n （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B
22、 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n-r(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n17.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4.证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为向量组()的秩为 3，所以
23、 1 ， 2 ， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示 因为向量组()的秩为 4，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，故向量 5 - 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 线性无关，于是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4.18.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆 （分数：4.00）_正确答案：()
24、解析：证明 令 B=( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 为 n 个 72 维线性无关的向量，所以 r(B)=n(A 1 ，A 2 ，A n )=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆19.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，r(A)=r(A T A)，向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即 r(A T A)=n 或|A T A|0，从而 1 ， 2
25、 ， n 线性无关的充分必要条件是 20.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 由 1 ， 2 ， t 线性无关 线性无关， 令 k+k1(+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+ t )=0， 即(k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， ， 1 ， 2 ， t 线性无关 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 方法二 令 k+k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+ t )=0 (k+k 1 +k t )=-k
26、1 1 -k t t (k+k 1 +k t )=-k 1 A 1 -k t A t =0，A0，k+k 1 +k t =0，k 1 1 +k t t =0 k=k 1 =k t =0 21.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 1 ， 2 ， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为 1 ， 2 ， n ， 一定线性相关，所以 可由 1 ， 2 ， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示 反之
27、，设任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示， 取 22.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k-1 0，而 A k =0.证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 l 0 +l 1 A+l k-1 A k-1 =0 (*) (*)式两边同时左乘 A k-1 得 l 0 A k-1 =0，因为 A k-1 0，所以 l 0 =0；(*)式两边同时左乘 A k-2 得 l 1 A k-1 =0，因为 A k-1 0，所以 l 1 =0，依次类推可得 l 2 =l k-1 =0，所以，A，A k-1 线性无关设 1 ， 2 ， 1 ， 2
28、为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：8.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，或 k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1 -l 2 2 . 令 =k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1 -l 2 2 ，因为 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关，所以 k 1 ，k 2 及 l 1 ，l 2 都不全为零，所以 0.(2).设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，
