1、考研数学二-423 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：5.00）_2.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线. （分数：5.00）_3.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积. （
2、分数：5.00）_4.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：5.00）_5.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：5.00）_6.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：5.00）_飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v.（分数：10.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.00）_(2).导弹运行方程.（分数：5.00）_7.细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在 24h 内
3、由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数. （分数：5.00）_8.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标.为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：5.00）_9.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速
4、度输出.求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程. （分数：5.00）_10.某人的食量是 2500 卡/天(1 卡=4.1868 焦)，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢.在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重.假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000 卡，求该人体重怎样随时间变化. （分数：5.00）_11.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间? （分数：5.00）_12.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间
5、成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s.外力为 39.2cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少? （分数：5.00）_13.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1.由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 z 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x). （分数：5.00）_14.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 （分数：5.00）_15.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：5.00）_16.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车
6、开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的? （分数：5.00）_17.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程. （分数：5.00）_18.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 /m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs
7、2 /m 2 ).设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间. （分数：5.00）_考研数学二-423 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 令 y“=p，则有 因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 进一步解得 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 2.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y
8、 轴之间的切线长为 2，求该曲线. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy“，切线与 y 轴的交点为(0，y-xy“)， 由题意得 x 2 +x 2 y“ 2 =4，解得 ，变量分离得 ，积分得 因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 3.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 对曲线 L
9、 1 ，由题意得 解得 y=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =-1，故 L 1 ：y=2x 2 -X 对曲线 L 2 ，由题意得 ，解得 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =-1，故 由 得两条曲线的交点为 及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 4.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 代入原方程得 5.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 代入原方程得 6.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：5.00）_正确答
10、案：()解析：解 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得 令 则有 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p| x=0 =1，从而 积分得 因为曲线过点(0，1)，所以 所求曲线为 因为 ，所以当 时函数取得极大值 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v.（分数：10.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 即 两
11、边对 x 求导数得 又 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2).导弹运行方程.（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 则 进一步解得 故轨迹方程为 7.细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 所以 8.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标.为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入
12、湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 流出湖的污染物 A 的含量为 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 解得 又由 m(0)=5m 0 ，得 于是 9.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出.求在任意时刻 t0，从第二
13、只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 且满足初始条件 m 1 (0)=150， 解得 ；在时间t，t+dt内有 10.某人的食量是 2500 卡/天(1 卡=4.1868 焦)，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢.在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重.假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000 卡，求该人体重怎样随时间变化. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 输入率为 2500 卡
14、/天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重， 根据题意得 由 得 代入初始条件得 于是 11.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间? （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g. 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 解得 当链条滑过整个钉子时，x=8， 由 得 12.质量
15、为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s.外力为 39.2cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少? （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由题意得 因为当 t=10 时，v=50，F=39.2，所以 k=196，从而 又因为 所以 分离变量得 vdv=196tdt，所以 得 C=-8550， 于是 13.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1.由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 z 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f
16、(x). （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 所以 分离变量得 积分得 或者 由 y(0)=1，得 C=1，所以 解得 14.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 可化为 15.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 t 时刻雪堆体积 侧面积 根据题意得 整理得 解得 因为 h(0)=130，所以 C=130，则 ，令 16.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1
17、km，问降雪是什么时候开始的? （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct， 于是 令 则 且 S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由 17.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻 B 点的位置为 M(
18、x，y)，则 即 两边对 x 求导，得 代入(*)，得 令 则 令 y“=p，由 两边积分，得 由 y“(x 0 )=0，得 从而 当 k1 时， 由 y(x 0 )=0，得 则 B 的轨迹方程为 当 k=1 时，B 的轨迹方程为 18.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 /m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 /m 2 ).设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为W=(mg-R y )，由牛顿第二定律，有 记 显然 A0，故有 分离变量得 ，两边积分得 又当 t=0 时， 所以当 v=0 时，
