1、考研数学二-422 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：20.00)1.设 y=y(x)满足 且有 y(1)=1，则 （分数：3.50）2.微分方程 （分数：3.50）3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1. （分数：3.50）4.微分方程 （分数：3.50）5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1. （分数：3.50）6.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：2.50）二、选择题
2、(总题数：3，分数：12.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_. A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：4.00）A.B.C.D.9.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_.（
3、分数：4.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1三、解答题(总题数：12，分数：68.00)设 f(x)是连续函数.（分数：8.00）(1).求初值问题 （分数：4.00）_(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：4.00）_10.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_11.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 yd
4、y=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解. （分数：4.00）_12.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_13.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解. （分数：4.00）_15.设 且二阶连续可导，又 （分数：4.00）_设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 （分数：8.00）(1).求 f“(x)；（分数：4.00）_(2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1.（分数：4.00）_
5、16.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数. (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：4.00）_17.设函数 f(x，y)可微， （分数：8.00）_设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0.将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 （分数：8.00）(1).f(x)；（分数：4.00）_(2).f(x)的极值.（分数：4.00）_设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)
6、，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D.若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：8.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：4.00）_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积.（分数：4.00）_考研数学二-422 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：20.00)1.设 y=y(x)满足 且有 y(1)=1，则 （分数：3.50）解析： 解 由 得函数 y=y(x)可微且 积分得 因为 y(1)=1，所 C=0， 于是 故 2.微分方程 （分数：3.50）解析： 解 由 得 令 z=e
7、y ，则 解得 所以原方程的通解为 3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1. （分数：3.50）解析：y=C 或者 解 令 y“=p，得 代入原方程得 则 p=0，或 当 p=0 时，y=C； 当 时 即 由 得 从而 所以原方程的通解为 y=C 或者 4.微分方程 （分数：3.50）解析： 解 所以 5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1. （分数：3.50）解析：y“-3y“+4y“-2y=0 解 特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3 -3
8、 2 +4-2=0，所求方程为 y“-3y“+4y“-2y=0.6.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 （分数：2.50）解析： 解 y“-4y“+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 二、选择题(总题数：3，分数：12.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于
9、0D.不存在解析：解 微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y“(0)=2， 于是 8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_. A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解 方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e-x 的特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，故方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选 D9.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (
10、x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_.（分数：4.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1 解析：解 因为 1 (z)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)- 3 (x)， 2 (x)- 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，
11、于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D三、解答题(总题数：12，分数：68.00)设 f(x)是连续函数.（分数：8.00）(1).求初值问题 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 y“+ay=f(x)的通解为 由 y(0)=0 得 C=0，所以 (2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有 （分数：4.00）_正确答案：()解
12、析：证明 当 x0 时， 因为 e -ax 1，所以 10.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时，y“-2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x -1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x -1； 当 x1 时，y“-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1，解得 C 2 =1-e -2 ，y-(1-e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e2-1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数 11.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，
13、f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 P(x，y)=xy(z+y)-f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 即 f“(x)+f(x)=x 2 ，解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由 f(0)=0，f“(0)=1 得 C 1 =2，C 2 =1，所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2. 原方程为xy 2 -(2cos
14、x+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得(xy 2 dx+x 2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即 原方程的通解为 12.利用变换 x=arctant 将方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 代入整理得 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2 =-1， 则 13.设 f(x)为偶函数，且满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则有 ，因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是 f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1. 将
15、 14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 15.设 且二阶连续可导，又 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 则 由对称性得 由 得 或 rf“(r)+f“(r)=0， 解得 rf“(r)=C 1 ，由 f“(1)=2 得 C 1 =2，于是 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=
16、1，且 （分数：8.00）(1).求 f“(x)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 两边求导数，得 再由 f(0)=1，f“(0)+f“(0)=0，得 f“(0)=-1，所以 C=-1，于是 (2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1.（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，因为 f“(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1. 令 由 16.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数. (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：4
17、.00）_正确答案：()解析：解 代入原方程得 y“-y=sinx，特征方程为 r 2 -1=0，特征根为 r 1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y * =acosx+bsinx，代入方程得 故 于是方程的通解为 由初始条件得 C 1 =1，C 2 =-1，满足初始条件的特解为 17.设函数 f(x，y)可微， （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 解得 f(0，y)=siny+C. 由 得 C=0，即 f(0，y)=siny 又由 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0.将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋
18、转体体积为 （分数：8.00）(1).f(x)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题设知， 两边对 a 求导，得 令 即 (2).f(x)的极值.（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 又因为 所以 设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D.若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：8.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 因为 ，所以 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 (2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积.（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线， 在原点处的切线方程为 y=x，则
