1、考研数学二-422 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:20.00)1.设 y=y(x)满足 且有 y(1)=1,则 (分数:3.50)2.微分方程 (分数:3.50)3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1. (分数:3.50)4.微分方程 (分数:3.50)5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1. (分数:3.50)6.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=2 的特解,则 (分数:2.50)二、选择题
2、(总题数:3,分数:12.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0,y“(0)=1 的解,则 (分数:4.00)A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_. A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x(分数:4.00)A.B.C.D.9.设 1 (x), 2 (x), 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为_.(
3、分数:4.00)A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C1+C2+C3=1三、解答题(总题数:12,分数:68.00)设 f(x)是连续函数.(分数:8.00)(1).求初值问题 (分数:4.00)_(2).若|f(x)|k,证明:当 x0 时,有 (分数:4.00)_10.设有微分方程 y“-2y=(x),其中 (分数:4.00)_11.设 f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f“(0)=1,且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 yd
4、y=0 为全微分方程,求 f(x)及该全微分方程的通解. (分数:4.00)_12.利用变换 x=arctant 将方程 (分数:4.00)_13.设 f(x)为偶函数,且满足 (分数:4.00)_14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ,确定常数 a,b,c,并求该方程的通解. (分数:4.00)_15.设 且二阶连续可导,又 (分数:4.00)_设函数 f(x)在0,+)内可导,f(0)=1,且 (分数:8.00)(1).求 f“(x);(分数:4.00)_(2).证明:当 x0 时,e -x f(x)1.(分数:4.00)_
5、16.设 y=y(x)二阶可导,且 y“0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数. (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件 (分数:4.00)_17.设函数 f(x,y)可微, (分数:8.00)_设函数 f(x)(x0)可微,且 f(x)0.将曲线 y=f(x),x=1,x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 (分数:8.00)(1).f(x);(分数:4.00)_(2).f(x)的极值.(分数:4.00)_设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x,且由曲线 y=f(x)
6、,x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D.若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:(分数:8.00)(1).曲线 y=f(x);(分数:4.00)_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积.(分数:4.00)_考研数学二-422 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:6,分数:20.00)1.设 y=y(x)满足 且有 y(1)=1,则 (分数:3.50)解析: 解 由 得函数 y=y(x)可微且 积分得 因为 y(1)=1,所 C=0, 于是 故 2.微分方程 (分数:3.50)解析: 解 由 得 令 z=e
7、y ,则 解得 所以原方程的通解为 3.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1. (分数:3.50)解析:y=C 或者 解 令 y“=p,得 代入原方程得 则 p=0,或 当 p=0 时,y=C; 当 时 即 由 得 从而 所以原方程的通解为 y=C 或者 4.微分方程 (分数:3.50)解析: 解 所以 5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1. (分数:3.50)解析:y“-3y“+4y“-2y=0 解 特征值为 1 =1, 2,3 =1i,特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0,即 3 -3
8、 2 +4-2=0,所求方程为 y“-3y“+4y“-2y=0.6.设 y(x)为微分方程 y“-4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)=2 的特解,则 (分数:2.50)解析: 解 y“-4y“+4y=0 的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x , 由初始条件 y(0)=1,y“(0)=2 得 C 1 =1,C 2 =0,则 y=e 2x , 于是 二、选择题(总题数:3,分数:12.00)7.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0,y“(0)=1 的解,则 (分数:4.00)A.等于 1 B.等于 2C.等于
9、0D.不存在解析:解 微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 中,令 x=0,则 y“(0)=2, 于是 8.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为_. A.(ax+b)e-x B.x2e-x C.x2(ax+b)e-x D.x(ax+b)e-x(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解 方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e-x 的特征方程为 2 -2-3=0,特征值为 1 =-1, 2 =3,故方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ,选 D9.设 1 (x), 2 (x), 3 (
10、x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为_.(分数:4.00)A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C21(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x),其中 C1+C2+C3=1 解析:解 因为 1 (z), 2 (x), 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解,所以 1 (x)- 3 (x), 2 (x)- 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解,
11、于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x),其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1,选 D三、解答题(总题数:12,分数:68.00)设 f(x)是连续函数.(分数:8.00)(1).求初值问题 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 y“+ay=f(x)的通解为 由 y(0)=0 得 C=0,所以 (2).若|f(x)|k,证明:当 x0 时,有 (分数:4.00)_正确答案:()解
12、析:证明 当 x0 时, 因为 e -ax 1,所以 10.设有微分方程 y“-2y=(x),其中 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 当 x1 时,y“-2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x -1,由 y(0)=0 得 C 1 =1,y=e 2x -1; 当 x1 时,y“-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ,根据给定的条件, y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1,解得 C 2 =1-e -2 ,y-(1-e -2 )e 2x , 补充定义 y(1)=e2-1,则得在(-,+)内连续且满足微分方程的函数 11.设 f(x)二阶连续可导,f(0)=0,
13、f“(0)=1,且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程,求 f(x)及该全微分方程的通解. (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 令 P(x,y)=xy(z+y)-f(x)y,Q(x,y)=f“(x)+x 2 y,因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程,所以 即 f“(x)+f(x)=x 2 ,解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2,由 f(0)=0,f“(0)=1 得 C 1 =2,C 2 =1,所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2. 原方程为xy 2 -(2cos
14、x+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0,整理得(xy 2 dx+x 2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0,即 原方程的通解为 12.利用变换 x=arctant 将方程 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 代入整理得 的特征方程为 2 +2+1=0,特征值为 1 = 2 =-1, 则 13.设 f(x)为偶函数,且满足 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 则有 ,因为 f(x)为偶函数,所以 f“(x)是奇函数, 于是 f“(0)=0,代入上式得 f(0)=1. 将
15、 14.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ,确定常数 a,b,c,并求该方程的通解. (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ,则有 15.设 且二阶连续可导,又 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由 则 由对称性得 由 得 或 rf“(r)+f“(r)=0, 解得 rf“(r)=C 1 ,由 f“(1)=2 得 C 1 =2,于是 设函数 f(x)在0,+)内可导,f(0)=
16、1,且 (分数:8.00)(1).求 f“(x);(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 两边求导数,得 再由 f(0)=1,f“(0)+f“(0)=0,得 f“(0)=-1,所以 C=-1,于是 (2).证明:当 x0 时,e -x f(x)1.(分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 当 x0 时,因为 f“(x)0 且 f(0)=1,所以 f(x)f(0)=1. 令 由 16.设 y=y(x)二阶可导,且 y“0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数. (1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件 (分数:4
17、.00)_正确答案:()解析:解 代入原方程得 y“-y=sinx,特征方程为 r 2 -1=0,特征根为 r 1,2 =1,因为 i 不是特征值,所以设特解为 y * =acosx+bsinx,代入方程得 故 于是方程的通解为 由初始条件得 C 1 =1,C 2 =-1,满足初始条件的特解为 17.设函数 f(x,y)可微, (分数:8.00)_正确答案:()解析:解 由 解得 f(0,y)=siny+C. 由 得 C=0,即 f(0,y)=siny 又由 设函数 f(x)(x0)可微,且 f(x)0.将曲线 y=f(x),x=1,x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋
18、转体体积为 (分数:8.00)(1).f(x);(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由题设知, 两边对 a 求导,得 令 即 (2).f(x)的极值.(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 因为 又因为 所以 设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x,且由曲线 y=f(x),x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D.若 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:(分数:8.00)(1).曲线 y=f(x);(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 由 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V,则 因为 ,所以 为 V(c)的最小值点,且曲线方程为 (2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积.(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 曲线, 在原点处的切线方程为 y=x,则