1、考研数学二-421 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：10.00)1.设 f(u)连续，则 （分数：1.50）2.设 （分数：1.50）3.设 f(x)连续，则 （分数：1.50）4.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，)=4，则 （分数：1.50）5.设 而 D 表示整个平面，则 （分数：1.50）6.设 （分数：2.50）二、选择题(总题数：3，分数：6.00)7.累次积分 等于_. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_ A B C D （分数：
2、2.00）A.B.C.D.9.设 其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 值为_. A1 B2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：21，分数：84.00)10.计算 （分数：4.00）_11.已知 ，设 D 为由 x=、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：4.00）_12.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：4.00）_13.计算二重积分 （分数：4.00）_14.计算 （分数：4.00）_15.计算 （分数：4.00）_16.设 （分数：4.00）_17.计算 （分数：4.00）_18.计算 （分数：4.00）_19.计算 （分数：
3、4.00）_20.计算 （分数：4.00）_21.计算 （分数：4.00）_22.计算二重积分 （分数：4.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：4.00）_24.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0.证明：存在(，)D，使得 （分数：4.00）_25.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：4.00）_26.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb. 证明： （分数：4.00）_27.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：4.00）_28.交换积
4、分次序并计算 （分数：4.00）_29.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0.证明： （分数：4.00）_30.证明：用二重积分证明 （分数：4.00）_考研数学二-421 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：10.00)1.设 f(u)连续，则 （分数：1.50）解析：-xf(x 2 -1) 解 则 2.设 （分数：1.50）解析：2解 3.设 f(x)连续，则 （分数：1.50）解析： 解 4.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，)=4，则 （分数：1.50）解析：8 解 由当 t0 时， 由
5、积分中值定理得 于是 5.设 而 D 表示整个平面，则 （分数：1.50）解析：a 2 解 由 得 6.设 （分数：2.50）解析： 解 在 D 1 =(x，y)|-x+，0y1上，f(y)=y； 在 D 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)|-yx1-y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所以 二、选择题(总题数：3，分数：6.00)7.累次积分 等于_. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解 积分所对应的直角坐标平面的区域为8.设 D=(x，y)|0x，0y，则 等于_ A B C D （分数：2.
6、00）A.B. C.D.解析：解 根据对称性，令 D1=(x，y)|0x，0yx， 9.设 其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 值为_. A1 B2 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解 令 由 三、解答题(总题数：21，分数：84.00)10.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 11.已知 ，设 D 为由 x=、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 t0 时，F(t)=0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， 当 t2 时，F(t)=1，则 12.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：4
7、.00）_正确答案：()解析：解 令 由 得 F“(t)=2tf(t 2 )，F“(0)=0， 13.计算二重积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 于是 14.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 而 所以 15.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 1， 令 则 16.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 17.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|-1x1，0yx 2 ， D 2 =(x，y)|-1x1，x
8、2 y2， 则 而 故 18.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 解得 则 19.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 则 20.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令21.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 令 因为 22.计算二重积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性 其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 令 则 故 23.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 24.设 f(x，y)，g(x，y)在平面
9、有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0.证明：存在(，)D，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 (1)当 时， ，则对任意的(，)D，有 (2)当 时， 由 得 由介值定理，存在(，)D，使得 即 25.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f“(x)0，所以 f“(x
10、)单调增加，所以 “(x)0.由 再由 26.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb. 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为积分区域关于直线 y=x 对称， 所以 又因为 f(x)0，所以 从而 27.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 28.交换积分次序并计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 而 于是 29.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 等价于 等价于 或者 令 根据对称性， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以 30.证明：用二重积分证明 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0)， S=(x，y)|0xR，0yR， D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 (x，y)=e -(x2+y2) ， 因为 (x，y)=e -(x2+y2) 0 且 所以 而 于是 令 R+同时注意到 根据夹逼定理得
