1、考研数学二-420 及答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：25.00)1.设 z=xf(x+y)+g(x 2 ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：5.00）2.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ 1 (1，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1. （分数：5.00）3.设 x=f(x，y)二阶可偏导， （分数：5.00）4.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：5.00）5.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+
2、3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2. （分数：5.00）二、选择题(总题数：3，分数：15.00)6.设 （分数：5.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导7.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是_.（分数：5.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微8.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续
3、可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：5.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上三、解答题(总题数：15，分数：68.00)9.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：4.00）_设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：8.00）(1).若 （分数：4.00）_(2).若 （分数：4.00）_10.求二元函数 z=f(x，y)
4、=x 2 y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值. （分数：4.00）_11.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：4.00）_设 （分数：8.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：4.00）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：4.00）_12.设 z=(x2+y2) sec2(x+y) ，求 （分数：4.00）_13.设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_14.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z).
5、证明： （分数：4.00）_15.设 （分数：4.00）_16.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：4.00）_17.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且“(u)1，求 （分数：4.00）_18.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：4.00）_19.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值. （分数：4.00）_20.设二元函数 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中
6、 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续.证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0. （分数：4.00）_21.已知二元函数 f(x，y)满足 ，作变换 若 （分数：4.00）_考研数学二-420 答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：25.00)1.设 z=xf(x+y)+g(x 2 ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：5.00）解析： 解 由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 2.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3
7、f(x，y)，且 f“ 1 (1，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1. （分数：5.00）解析：3 解 f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=3t 2 f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f“ 1 (1，2)+2f“ 2 (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3.3.设 x=f(x，y)二阶可偏导， （分数：5.00）解析：z=y 2 +xy+1 解 由 得 ，因为 f“ y (x，0)=x，所以 (x)=x，即 4.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：5.00
8、）解析： 解 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u“ x (x，3x)+3u“ y (x，3x)=1， 再对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+6u“ xy (x，3x)+9u“ yy (x，3x)=0. 由 得 10u“ xx (x，3x)+6u“ xy (x，3x)=0， u“ x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+3u“ xy (x，3x)=3x 2 ， 解得 5.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2. （分数：5.00）解析：4 -2 解 令 P(x，y)=ay-2
9、xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 二、选择题(总题数：3，分数：15.00)6.设 （分数：5.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解 因为 所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 因为 所以 f“ x (0，0)=0，根据对称性，f“ y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 得 f(x，y)在(0，0)处可微； 当(x，y)(0，0)时， 则 因为 7.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是_.（分数：5.0
10、0）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选 C8.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：5.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小
11、值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以AC-B 2 非负，而在 D 内有 三、解答题(总题数：15，分数：68.00)9.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 解得 由对称性得 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：8.00）(1).若 （分数：4.00）_正确答案：(
12、)解析：证明 因为 (2).若 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 令 则 从而 10.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，x=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2 (6-x)=2x 3 -12x 2 ， 由 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以
13、f(x，y)在 L 3 上最小值为-64，最大值为 0. (2)在区域 D 内，由 得驻点为(2，1)， 11.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0. 因为 所以 f(x，y)在(0，0)处可微 当(x，y)(0，0)时， 因为 不存在，所以 在点(0，0)处不连续，同理 设 （分数：8.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以(2).f(x，y)在点(0，0
14、)处是否可微?（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 12.设 z=(x2+y2) sec2(x+y) ，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 z=(x 2 +y 2 ) sec2 (x+y)，得 z=e sec2 (x+y)ln(x 2 +y 2 )， 则 13.设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 14.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z).证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k
15、f(x，y，z)，两边对 t 求导得 当 t=1 时，有 15.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则 16.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 所以 于是 三个方程两边对 y 求偏导得 17.设函数 z=f(u)，方程 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)
16、连续，且“(u)1，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 两边对 x 及 y 求偏导，得 解得 18.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 则 19.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0). 由 得 因为 所以目标函数的最大和最小值分别为 20.设二元函数 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续.证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在. 因为 且 (充分性)若 (0，0)=0，则 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0. 因为 又 所以 21.已知二元函数 f(x，y)满足 ，作变换 若 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 又 ，所以有 于是
