1、考研数学二-419 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：4.00）_2.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少.证明： （分数：4.00）_3.设 f(x)在a，b上连续且单调减少.证明：当 0k1 时， （分数：4.00）_4.设 f(x)在0，1上连续且|f“(x)|M.证明： （分数：4.00）_5.设 f(x)在0，a上一阶连续可导， 证明： （分数：4.00）_6.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1.证明： （分数：4.00）_7.设 f(
2、x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0.证明： （分数：4.00）_8.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0.证明： （分数：4.00）_9.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：4.00）_10.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0.证明： （分数：4.00）_11.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0.证明： （分数：4.00）_12.设 f(x)C0，1，f(x)0.证明积分不等式： （分数：4.00）_设直线 y=ax与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1所围成的图形面积为 S 2 ，且a1.（
3、分数：8.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：4.00）_(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积.（分数：4.00）_13.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x轴围成的封闭区域绕直线 y=3旋转所得的旋转体的体积. （分数：4.00）_14.求椭圆 与椭圆 （分数：4.00）_15.计算 （分数：4.00）_16.计算 （分数：4.00）_17.计算定积分 （分数：4.00）_18.证明： （分数：4.00）_19.证明：当 x0 时， 的最大值不超过 （分数：4.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0
4、，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ). 证明： （分数：4.00）_21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 证明： （分数：4.00）_22.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：4.00）_23.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口.设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3m/s，在提升过程中，污泥以 20N/s的速度从抓斗中漏掉.现将抓斗从井底提升到井口，问克服重
5、力做功多少? （分数：4.00）_考研数学二-419 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 因为 f(x)在a，b上单调增加，所以 而 故 方法二 令 由 得 (b)(a)=0，所以 2.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 同理 相加得 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 同理 相加得 3.设 f(x)在a，b上连
6、续且单调减少.证明：当 0k1 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 故 方法二 当 x0，1时，因为 0k1，所以 kxx， 又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 故 4.设 f(x)在0，1上连续且|f“(x)|M.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 同理 于是 5.设 f(x)在0，a上一阶连续可导， 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“()x，其中 介于 0与 x之间， 因为 f(0
7、)=0，所以|f(x)|=“f“()x|Mx，z0，a， 从而 6.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 7.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 f(a)=0，得 由柯西不等式得 积分得 8.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 两式相加得 9.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明
8、 因为 f(x)在a，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令 根据积分中值定理， 其中 a，b 由积分基本定理， 取绝对值得 10.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式，得 ，其中 介于 与 t之间，从而 积分得11.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 其中 介于 x与 之间，因为 f“(x)0，所以有 两边积分得 令 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，于是 “(x)0(axb)， 由 得 (b)0，于是 故 12.
9、设 f(x)C0，1，f(x)0.证明积分不等式： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 再令 则有 两边积分，得 设直线 y=ax与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1所围成的图形面积为 S 2 ，且a1.（分数：8.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 直线 y=ax与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ). 当 0a1 时， 令 得 ，因为 所以 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时， 因为 所以 S(a)单调减少，故 a=0时
10、 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0)= 因为 所以当 (2).求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积.（分数：4.00）_正确答案：()解析：旋转体的体积为13.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x轴围成的封闭区域绕直线 y=3旋转所得的旋转体的体积. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3旋转所成的体积 当 x0 时， 对x，x+dx 0，1， dV 1 =x3 2 -3-(x 2 +2) 2 )dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， 14.求椭圆 与椭圆 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根
11、据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4倍，先求第一象限的面积 令 则 的极坐标形式为 L 1 ： 的极坐标形式为 令 则第一象限围成的面积为 而 所以 所求面积为 15.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令-sinx=u，则 16.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 17.计算定积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 方法二 令 x=tant，则 18.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 19.证明：当 x0 时， 的最大值不超过 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，令 f“(x)=(
12、x-x 2 )sin 2n x=0得 x=1，x-k(k=1，2，)，当 0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)，于是 x=1为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 x0，1时，(x-x 2 )sin 2n x(x-x 2 )x 2n =x 2n+1 -x 2n+2 ， 于是 20.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ). 证明： （分数：4.00）_正确答
13、案：()解析：证明 因为 所以 又 所以 21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 取 因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 于是有 把 中，再由(x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)-x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 22.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为x+m=x+m
14、(其中 m为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 而 同理 所以 得 显然当 x+3 时，n+，由夹逼定理得 23.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口.设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3m/s，在提升过程中，污泥以 20N/s的速度从抓斗中漏掉.现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W 1 =40030=12000J设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30-x)dx， 则 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10， dW 3 =(2000-20t)3dt， 则 拉力克服重力所做的功为 W=W 1 +W 2 +W 3 =91500J
