1、考研数学二-418 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小又设 x0 时， （分数：4.00）A.mn+nB.2n+mC.m+nD.mn+n-12. A0 B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，下述两个反常积分 正确的结论是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x=0 处存在 2 阶导数，且 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)0则 A B C D （
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.设 下述命题成立的是_ Af(x)在-1，1上存在原函数 B存在 g“(0) Cg(x)在-1，1上存在原函数 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则 A0 Bz C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1 =(1，-2，3，2) T ， 2 =(2，0，5，-2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是_ A. 1=(1，-3，3，3) T B. 2=(0，0，5，-2) T C. 3=(-1
3、，-6，-1，10) T D. 4=(1，6，1，0) T（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 是可逆矩阵，B 是三阶矩阵，满足 （分数：4.00）A.1B.-2C.3D.-6二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设 y(x)0 且为连续函数，y(x)dx 与 分别为 y(x)与 的某两个原函数，又设 且y(0)=1，并设 （分数：4.00）13.设 a 为常数，x表示不超过 x 的最大整数，又设 （分数：4.00）14.设 A 是 3 阶方阵，有 3 个特征值为 0，1，1，且不相似于对角矩阵，则
4、r(E-A)+r(A)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设平面区域 D 是由参数方程 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上可导，且满足 试证明：存在 (0，1)，使 （分数：10.00）_18.适当选取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 （分数：10.00）_19. （分数：10.00）_20.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)
5、的极值 （分数：11.00）_(1).设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量 m；（分数：5.50）_(2).将以曲线 （分数：5.50）_设 3 维向量组 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：11.00）(1).证明：存在非零 3 维向量 ， 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出；（分数：5.50）_(2).若 1 =(1，-2，3) T ， 2 =(2，1，1) T ， 1 =(-2，1，4) T ， 2 =(-5，3，5) T 求既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出的所有非零
6、向量 （分数：5.50）_(1).设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且ABBA；（分数：5.50）_(2).对一般的 n 阶矩阵 A，B，证明 AB 和 BA 有相同的特征值，并请问是否必有 ABBA?说明理由（分数：5.50）_考研数学二-418 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小又设 x0 时， （分数：4.00）A.mn+n B.2n+mC.m+nD.mn+n-1解析：解析 当 x
7、0 时，f(x)与 x m 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0 时，f(x)Ax m ，从而，f(x n )Ax nm 于是 2. A0 B C1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 由于当 x0 时， f(x)=x；当 x=0 时， 当 x0 时， 所以 3.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，下述两个反常积分 正确的结论是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由条件知 f(x)=(e -x2 )“=-2xe -x2 ，f“(x)=-2e -x2 +4x 2 e -x2 4.设 f(x)在 x=0 处存在 2 阶导数，且 f(
8、0)=0，f“(0)=0，f“(0)0则 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先作积分变量代换，令 x-t=u，则 由二阶导数定义， 所以 5.设 下述命题成立的是_ Af(x)在-1，1上存在原函数 B存在 g“(0) Cg(x)在-1，1上存在原函数 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点，那么在包含此点的区间上，该函数必不存在原函数 B 不正确按定义容易知道 g“(0)不存在 C 正确g(x)为-1，1上的连续函数，故存在原函数 D 不正确可以具体计算出 F(x)，容易看出
9、F“ - (0)=0，F“ + (0)=1，故 F“(0)不存在6.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则 A0 Bz C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 7.设 1 =(1，-2，3，2) T ， 2 =(2，0，5，-2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量的是_ A. 1=(1，-3，3，3) T B. 2=(0，0，5，-2) T C. 3=(-1，-6，-1，10) T D. 4=(1，6，1，0) T（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A
10、x=0 的基础解系为 1 ， 2 ，若 i 是 Ax=0 的解向量 i 可由 1 ， 2 线性表出 非齐次线性方程组 1 y 1 + 2 y 2 = i 有解逐个判别 i 较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便 8.设 是可逆矩阵，B 是三阶矩阵，满足 （分数：4.00）A.1B.-2C.3 D.-6解析：解析 因为 两边左乘 A -1 ，且取行列式得 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e -2 解析 而 10.已知 （分数：4.00）解析： 解析 作积分变量代换 从而 上述极限存在且不为零的充要条件是 此时，该极限值等于 11. （分数：4.00）解
11、析：e -2 解析 12.设 y(x)0 且为连续函数，y(x)dx 与 分别为 y(x)与 的某两个原函数，又设 且y(0)=1，并设 （分数：4.00）解析：e -x 解析 由 有 两边对 x 求导，得 所以 y 2 (x)=y(x)dx 2 ， y(x)=y(x)dx， 所以 y=Ce x 由题设 y(0)=1，知 C=1又因为 13.设 a 为常数，x表示不超过 x 的最大整数，又设 （分数：4.00）解析：-2；2 解析 x表示不超过 x 的最大整数，例如=3，-=-4所以 因此对于所讨论的极限应分 x0 - 与 x0 + 讨论 14.设 A 是 3 阶方阵，有 3 个特征值为 0，
12、1，1，且不相似于对角矩阵，则 r(E-A)+r(A)= 1 （分数：4.00）解析：4 解析 因 =0 是单根，所以对应的线性无关特征向量有且只有一个，即 Ax=0 的基础解系只有一个非零解故 r(A)=2 因 =1 是二重根，又 A 不相似于对角矩阵，故对应线性无关特征向量也只有一个，即 1=3-r(E-A)， 即 r(E-A)=3-1=2 因此 r(A)+r(E-A)=4三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设平面区域 D 是由参数方程 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解先对 y 后对 x 积分，摆线纵坐标记为 y(x)，于
13、是 上式中的 y=y(x)通过参数式联系着对上式作积分变量代换 x=a(t-sint)，从而 y(x)成为 t 的函数 y(t)=a(1-cost)，于是 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解()因为二次式 x 2 x+1 的判别式(1) 2 -4=-30，所以 x 2 x+10，f(x)的定义域为(-，+) 又 f(x)=-f(-x)，所以 f(x)为奇函数 当 时，f“(x)0当 时，f“(x)的分子中两项记为 a，b，a0，b0，考虑 故 0ab所以当 时，仍有 f“(x)0，从而当 0x+时，f“(x)0又 f(x)为奇函数，故当-x0 时，f“(x)0所以当 x(-
14、，+)时，均有 f“(x)0，即 f(x)在(-，+)上严格单调减少，f(x)无极值 f“(0)=0 所以当-x0 时，曲线 y=f(x)是凸的，当 0x-时，曲线是凹的点(0，f(0)为拐点 易知无铅直渐近线考虑水平渐近线： 所以沿 x+方向有水平渐近线 y=-1由于 f(x)为奇函数，所以沿 x-方向有一条水平渐近线 y=1 画图如下： 17.设 f(x)在0，1上可导，且满足 试证明：存在 (0，1)，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证由积分中值定理，存在 使得 令 F(x)=x 3 f(x)，因为 故有 f(1)= 3 f()，即 F(1)=F() 显然 F(x)在0，1
15、上可导，由罗尔中值定理得，存在 使得 F“()=0，即 3 2 f()+ 3 f“()=0， 即 18.适当选取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解由 y=(x)u，有 代入原方程，得 取 (x)使 2“(x)+x(x)=0解微分方程 取 经计算可知 于是原方程经变换 之后，化为 即 解之得 u=C 1 +C 2 x，故原方程的通解为 19. （分数：10.00）_正确答案：()解析：解如图所示。将 D 分成三块，中间一块记为 D 3 ，左、右两块分别记为 D 1 与
16、 D 2 ，则 而 所以 20.求由方程 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解令 F(x，y，z)=2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8，且令 解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x 2 +2y 2 +z 2 +8xz-z+8=0 联立，解得两组解为 再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得 所以在第一组点处，B 2 -AC0， 故 z=1 为极小值；在第二组点处，B 2 -AC0， 故 (1).设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量
17、m；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解如图(a)以环细分圆盘，设环的宽度为 dr，内半径为 r，在环上点密度视为不变，为 r 2 ，质量元为 dm=r 2 2rdrh于是该圆盘的质量为 (2).将以曲线 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解如图(b)该旋转体可看成由一个个薄片组成，由上题知，每一薄片的质量 其中 R 为 x 处的旋转半径，即 y，于是质量元为 所以物体的质量为 设 3 维向量组 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：11.00）(1).证明：存在非零 3 维向量 ， 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出；（分数：5.50）_正确
18、答案：()解析：证因 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，4 个 3 维向量必线性相关，由定义知，存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ， 1 ， 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 + 1 1 + 2 2 =0， 得 k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 取 =k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 ， 若 =0，则 k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 =0 因 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 也线性无关，从而得出 k 1 =k 2 =0，且 1 = 2 =0，这和 4个 3 维向量必线性相关矛盾，故 0 即为所求的既可由 1 ， 2
19、线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出的非零向量(2).若 1 =(1，-2，3) T ， 2 =(2，1，1) T ， 1 =(-2，1，4) T ， 2 =(-5，3，5) T 求既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出的所有非零向量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解设 =k 1 1 +k 2 2 =- 1 1 - 2 2 ，则得齐次线性方程组 k 1 1 +k 2 2 + 1 1 + 2 2 =0将 2 ， 2 ， 2 ， 2 合并成矩阵，并作初等行变换得 解得 (k 1 ，k 2 ， 1 ， 2 )=k(-1,2，-1,1) 故既可由 1 ， 2 线性表出，
20、又可以由 1 ， 2 线性表出的所有非零向量为 其中 k 是任意的非零常数 (或 (1).设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且ABBA；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证因为 A 有 n 个互不相同的非零特征值 =1，2，n，|A|=n!0，故 A 为可逆矩阵，从而有 |E-AB|=|A(A -1 -B)|=|A|E-BA|A -1 |=|E-BA|， 即 AB 和 BA 有相同的特征多项式，故有相同的特征值 又若取可逆矩阵 P=A，则有 P -1 ABP=A -1 ABA=BA，故有 ABBA(2).对一般的 n 阶矩阵 A，B，证明 AB 和 BA 有相同的特征值，并请问是否必有 ABBA?说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：证若 AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|=0，故 BA 也有特征值 =0 若 AB 有特征值 0，按定义，有 AB=(0) 其中 是 AB 的特征值 对应的特征向量 左乘 B，得 BAB=B， 即 BA(B)=(B)， 其中 B0BA 也有非零特征值 ，对应的特征向量为 B(若 B=0则有 AB=0因0，得 =0，这和 0 矛盾) 故 AB 和 BA 有相同的特征值 一般 例如 则有 显然 r(AB)=0，r(BA)=1， 故
