1、考研数学二-417 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导2.曲线 （分数：4.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有3.设 f(x)与 g(x)在 x=a 处均为极大值又设 F(x)=f(x)g(x)，则 F(x)在 x=a 处_（分数：4.00）A.必为极大值B.必为极小值C.必不是极值D.不能确定是否为极值4.设 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y
2、)在点(0，0)的某邻域内连续，则 (0，0)=0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的_（分数：4.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件5.设 （分数：4.00）A.an+2=an+1+anB.an+3=anC.an+4=an+2+anD.an+6=an6.设 A，B，C 为常数，则微分方程 y“+2y“+5y=e -x cos 2 x 有特解形式_ A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x) B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x) C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x) D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxs
3、in2x)（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 n 维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组 a 1 +b 4 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 2 ，a 4 +b 1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是_（分数：4.00）A.a=bB.a-bC.abD.ab8.设 则 A 合同于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）10.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设常数
4、 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )围成的平面区域记为 D，则二重积分 （分数：4.00）13.设 其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）14.设 A，B 是 2 阶矩阵，且 A 相似于 B，A 有特征值 =1，B 有特征值 =-2，则|A+2AB-4B-2E|= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，且 f“(x)0， （分数：10.00）_17.设常数 0，积分 （分数：10.00）_设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数
5、：5.00）_(2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.00）_18.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，x+3y)满足 （分数：10.00）_19.设 计算二重积分 （分数：11.00）_20.求 y“-y=e |x| 满足初始条件 y(1)=0，y“(1)=0 的特解 （分数：11.00）_设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 证明：（分数：11.00）(1). 不是 A 的特征向量；
6、（分数：5.50）_(2).向量组 ，A，A 2 线性无关（分数：5.50）_已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 Ax=0 有基础解系 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，0) T ； Bx=0 有基础解系 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，a) T （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求参数 a 的值及公共解（分数：5.50）_考研数学二-417 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.极限不
7、存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析 法一 写出 F(x)的表达式进行讨论由 f(x)的表达式知， 当 x0 时， 当 x0 时， 即 可知 F(x)在 x=0 处连续再看是否可导 所以选 C 法二 有下述定理： 设 f(x)在a，b上除点 c(a，b)外连续，而点 x=c 是 f(x)的跳跃间断点又设 2.曲线 （分数：4.00）A.只有水平的与铅直的，无斜的B.只有水平的与斜的，无铅直的C.只有铅直的与斜的，无水平的D.水平的、铅直的与斜的都有 解析：解析 所以有铅直渐近线 x=0； 所以有水平渐近线 y=0(沿 x+方向)； 3.设 f(x)与 g(x)在 x=a
8、 处均为极大值又设 F(x)=f(x)g(x)，则 F(x)在 x=a 处_（分数：4.00）A.必为极大值B.必为极小值C.必不是极值D.不能确定是否为极值 解析：解析 举反例排除 A，B，C A 的反例：取 f(x)=-x 2 ，g(x)=-x 2 ，x=0 均是 f(x)与 g(x)的极大值点，而 F(x)=f(x)g(x)=x 4 ，x=0是它的极小值点，不选 A B 的反例：取 f(x)=1-x 2 ，g(x)=1-x 2 ，x=0 均是 f(x)与 g(x)的极大值点，而 F(x)=f(x)g(x)=1-2x 2 +x 4 ，F“(x)=-4x+4x 3 ，F“(x)=-4+12x
9、 2 ，F“(0)=0，F“(0)0，故 F(0)=1 为极大值不选 B 由 A，B 反例可见，x=0 可以是 F(x)的极值点，所以不选 C，只能选 D4.设 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 (0，0)=0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的_（分数：4.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x，y)在点(0，0)处连续，所以 由于 故 所以 按可微定义，f(x，y)在点 O(0，0)处可微，且 df(x，y)=0x+0y，即
10、f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 再证必要性设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)与 f“ y (0，0)必都存在 5.设 （分数：4.00）A.an+2=an+1+anB.an+3=anC.an+4=an+2+anD.an+6=an 解析：解析 由 得 f(0)=1，再由 f(x)(x 2 -x+1)=x+1， (*) 两边对 x 求一阶导数，得 f“(x)(x 2 -x+1)+f(x)(2x-1)=1 将 x=0 代入，得 f“(0)-f(0)=1，f“(0)=f(0)+1=2 将(*)两边对 x 求 n 阶导数，n2，有 将 x=0 代入，得 即
11、 f (n) (0)=nf (n-1) (0)-n(n-1)f (n-2) (0)，n=2，3， 又因为 n=0，1，2，所以有 6.设 A，B，C 为常数，则微分方程 y“+2y“+5y=e -x cos 2 x 有特解形式_ A.e-x(A+Bcos2x+Csin2x) B.e-x(A+Bxcos2x+Cxsin2x) C.e-x(Ax+Bcos2x+Csin2x) D.e-x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 原方程可写成 特征方程是 r 2 +2r+5=0，特征根 r 1，2 =-12i对应于自由项 部分的一个特解形式为 y 1 *
12、=Ae -x 对应于自由项 7.已知 n 维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组 a 1 +b 4 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 2 ，a 4 +b 1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是_（分数：4.00）A.a=bB.a-bC.abD.ab 解析：解析 向量组 a 1 +b 4 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 2 ，a 4 +b 1 均是 Ax=0 的解，且共 4 个，故该向量组是 Ax=0 的基础解系 该向量组线性无关因 且 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 8.设 则 A 合同于_ A B C D （分数：4.00）
13、A.B.C. D.解析：解析 写出 A 对应的二次型，并用配方法化成标准形 知 f 的秩为 2，正惯性指数为 1(负惯性指数也为 1)，这可排除选项 A，B选项 C 的二次型为 正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致而选项 D 中二次型为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）解析：2 解析 应先写出 f(x)的表达式， 故知 f(x)有且仅有两个间断点 10.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）解析：0 解析 取常数 h0，在区间x，x+h上用泰勒公式： 于是有 令 x+有 +，并且由已知 有 11.
14、（分数：4.00）解析：-ln2 解析 12.设常数 a0，双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )围成的平面区域记为 D，则二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以 13.设 其中 f，g 均可微，则 （分数：4.00）解析：2xyf“ 1 解析 14.设 A，B 是 2 阶矩阵，且 A 相似于 B，A 有特征值 =1，B 有特征值 =-2，则|A+2AB-4B-2E|= 1 （分数：4.00）解析：-36 解析 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值 1，-2 |A+2AB-4B-2E|=|A(E+2B)-2
15、(2B+E)| =|(A-2E)(2B+E)|=|A-2E|2B+E| A，B 有特征值 1，-2，A-2E 有特征值-1，-4，2B+E 有特征值 3，-3，故 |A+2AB-4B-2E|=|A-2E|2B+E|=(-1)(-4)3(-3)=-36三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：解先由 得 所以原式为 型再由式(*)，用等价无穷小替换，得 16.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，且 f“(x)0， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解由 则 当 0x1 时， 从而 当 1x+时， 从而 又在 x=1 处 F(x)连续，
16、所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增加 17.设常数 0，积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 时， 从而 且 cosxsinx， 于是知 I 1 I 2 ，即 设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 (2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解面积 显然 h(x)在(1，+)上无奇点，又 b 为常数，则当 x 足够大时，h(x)恒为正或恒为负故 A 与 的敛散性相同 若 2b+15+10，即 b-8，无论 b-8
17、 还是 b-8，均有 I 发散，即 A 的值为，与 A 为有限值矛盾 当 b=-8 时， 此时面积 18.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x-2y，x+3y)满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解由 z=z(x-2y，x+3y)，易知 代入原方程，得 以下求 z 的一般表达式将上式写成 两边对 u 积分，v 看成常数，得 其中 1 (v)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程，代入一阶线性微分方程的通解公式，得 由于 1 (v)的任意性，记 它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数，(u)为 u 的具有二阶连续导数的任意函
18、数，于是得到 z=z(u，v)的一般表达式为 19.设 计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解D 是一块矩形域，如图所示 20.求 y“-y=e |x| 满足初始条件 y(1)=0，y“(1)=0 的特解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解原方程化成两个微分方程 分别得到 由 y(1)=0，y“(1)=0，从第一个表达式求得 又因为在 x=0 处，y(x)及 y“(x)连续，所以 解得 所以 故满足初始条件的特解为 设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3
19、证明：（分数：11.00）(1). 不是 A 的特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证已知 A=A( 1 + 2 + 3 )= 1 1 + 2 2 + 3 3 若 是 A 的特征向量，假设对应的特征值为 ,则有 A=( 1 + 2 + 3 )= 1 1 + 2 2 + 3 3 ， 从而得(- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 +(- 3 ) 3 =0 1 ， 2 ， 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知 1 ， 2 ， 3 线性无关，从而得 1 = 2 = 3 =，这和 1 ， 2 ， 3 互不相同矛盾故 = 1 + 2 + 3 不是 A 的特征向量(2).向量组 ，A，A 2
20、 线性无关（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 法一 用线性无关的定义证 假设存在数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 =0 由 = 1 + 2 + 3 及 A i = i i ，i=1，2，3，代入得 整理得 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，则有 又 i (i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式 故方程组(*)仅有零解，即 k 1 =k 2 =k 3 =0，所以 ，A，A 2 线性无关 法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证因 其中 已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 Ax=0 有基础解系 1 =(1，1，2，1) T ，
21、 2 =(0，-3，1，0) T ； Bx=0 有基础解系 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，a) T （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解记 C=( 1 ， 2 )，则有 AC=A( 1 ， 2 )=0，得 C T A T =0，即 A T 的列向量(即 A 的行向量)是 C T x=0 的解向量 解得 C T x=0 的基础解系为 1 =(1，0，0，-1) T ， 2 =(-7，1，3，0) T 故 (2).若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求参数 a 的值及公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，则非零公共解既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出，设公共解为 =x 1 1 +x 2 2 =x 3 1 +x 4 2 于是 x 1 1 +x 2 2 -x 3 1 -x 4 2 =0 (*) 对( 1 ， 2 ，- 1 ，- 2 )作初等行变换，
