1、考研数学二-417 (1)及答案解析(总分：169.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_ （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_（分数：4
2、.00）A.x0的某个邻域内单调增加B.x0的某个邻域内单调减少C.x0处取得极小值D.x0处取得极大值5.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 g(x)可微h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_（分数：4.00）A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1D.ln2-17.设 则_ （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是_ （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续， （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_
3、11.若 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex-xy2=0 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.微分方程(y+x 2e-x)dx-xdy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：113.00)15.设 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0求 （分数：9.00）_16.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：9.00）_17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导， 且满足： （分数：9.00）_18.设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面
4、积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明： （分数：9.00）_设 （分数：36.00）(1).求函数的增减区间及极值；（分数：9.00）_(2).求函数图像的凹凸区间及拐点；（分数：9.00）_(3).求其渐近线；（分数：9.00）_(4).作出其图形（分数：9.00）_19.求微分方程(x 2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件 y|x=0=1 的特解（分数：9.00）_20.求微分方程 Y“-3y+2y=xex的通解（分数：9.00）_21.利用代换 （分数：9.00）_22.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S
5、 成正比，比例常数 k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 （分数：14.00）_考研数学二-417 (1)答案解析(总分：169.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_ （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 极值点 解题分析 由题设连续性及 f(a)为极大值，知(x-a)(f(x)-f(a)在 x=a 左右两侧变号，从而 A，B 都可排除 当 xa 时，* 由于 f
6、(a)在 x=a 点为极大值，且 f(x)在 x=a 的小邻域内连续，则存在 f(a)-f(x)=0，当 x(a-，a+)时， *2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 曲线的渐近线 解题分析 *则 x=0 是曲线的垂直渐近线 *则 y=0 是曲线的水平渐近线 *则 y=x 是其斜渐近线3.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 洛必达法则 解题分析 由题设，y(0)=y(0)=0，代入原微分方程，得 y“(0)=1，则 *4.设
7、y=f(x)是满足微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_（分数：4.00）A.x0的某个邻域内单调增加B.x0的某个邻域内单调减少C.x0处取得极小值 D.x0处取得极大值解析：考点提示 将 f(x0)=0 代入方程，得 f“(x0)的符号，从而由极值的充分条件得正确选项 解题分析 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-esinx=0， 所以有 * 即 f(x 0)=0，f“(x 0)0 故 f(x)在 x0处取得极小值5.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 题设条件是在一点的导数信息，应利用导数在一点的定义 解题分析 因为* 知*
8、可见 F(x)在 x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值，为第一(可去)间断点6.设函数 g(x)可微h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于_（分数：4.00）A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1 D.ln2-1解析：考点提示 求导数 解题分析 由已知条件有 h(x)=e1+g(x)g(x) 令 x=1，得 h(1)=e1+g(1)g(1)， 即 1=e1+g(1)2， 所以*即 g(1)=-1-ln27.设 则_ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 可考虑用洛必达法则或泰勒公式 解题分析 详解 1 用洛必达法则，有 * 于是，必
9、有 1-a=0，即 a=1从而 *故应选 A 详解 2 用泰勒公式，*于是 * 从而有 1-a=0，*解得 a=1，*8.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是_ （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 变上限定积分 解题分析 由题设，逐一分析 4 个选项设*则 * 因此 f1(x)为奇函数 * 由于 f(x)的奇偶性未给定，所以 f2(x)的奇偶性不确定， 设*则 * 因此 f3(x)为奇函数。 设*则 * 因此 f4(x)为偶函数二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 函数的
10、连续性与极限 解题分析 因为当 x0 时，*，所以有 * 因为 f(x)连续，所以*故有 f(0)=210. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 定积分的定义 解题分析 由题设，原极限可化为定积分表示，即 原式*11.若 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：考点提示 等价无穷小 解题分析 由题设，根据等价无穷小的定义，知 * 因此 a=-412.函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex-xy2=0 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 隐函数求导数 解题分析 在方程 sin(x2
11、+y2)+ex-xy2=0 两边对 x 求导，得 cos(x2+y2)(2x+2yy)+ex-y2-2xyy=0 解得*13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 利用对称区间奇、偶函数的积分性质 解题分析 * * 评注 一般地，如果积分区间为对称区间-a,a，应考察被积函数(或其一部分)是否为奇、偶函数如果是，则利用对称区间奇、偶函数的积分性质简化计算14.微分方程(y+x 2e-x)dx-xdy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：考点提示 微分方程的通解 解题分析 将微分方程(y+x 2e-x)dx-xd
12、y=0 整理得 ydx-xdy+x2e-xdx=0 两边同除以 x2，得 * 即* 故微分方程的解为*其中 C 为任意常数三、解答题(总题数：9，分数：113.00)15.设 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0求 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 利用参数方程求导法求导即可解题分析 因为* 所以* *16.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：9.00）_正确答案：(a=1，b=0，*)解析：考点提示 变上限定积分求导、洛必达法则、等价无穷小 解题分析 由题设表达式，因为*但原式极限 c0，因此分母极限(x0)也为 0，即 * 从而* 当 b0 时，t(0，b)，则
13、* 因而* 当 b0 时，*因而*综上 b=0 于是 * 又由于* 因此必有*即 a=1，从而 * 所以*17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导， 且满足： （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 极限、微分方程 解题分析 本题考查重要极限*导出的微分方程，再求解微分方程由题设， * 因此*分离变量得*两边积分得* 即*又由已知*可求出 C=1，所以*18.设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明： （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 先计算 D 和 D1的值，再进行比较 解题分析 由
14、*知，点 B 的坐标为*因此 * 又 * * 评注 本题综合考查定积分的应用和简单不等式的证明设 （分数：36.00）(1).求函数的增减区间及极值；（分数：9.00）_正确答案：(定义域为(-，0)U(0，+) *得驻点 x=2，不可导点 x=0列表如下 x (-,0) (0,2) (2,+)y + - +y 增大 减小 增大所以，区间(-，0)，(2，+)为增区间，(0，2)为减区间，x=2 为极小值点，极小值为 y=3)解析：考点提示 函数的单调性、极值以及凹凸区问和拐点 评注 此题属作函数图形的常规题要求熟悉解题步骤，掌握利用导数判定函数的特性及求渐近线的方法(2).求函数图像的凹凸区
15、间及拐点；（分数：9.00）_正确答案：(*区间(-，0)(0，+)为凹区间，无拐点)解析：(3).求其渐近线；（分数：9.00）_正确答案：(* 所以，x=0 为铅直渐近线，y=x 为斜渐近线)解析：(4).作出其图形（分数：9.00）_正确答案：(描点作图如图所示 *)解析：19.求微分方程(x 2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件 y|x=0=1 的特解（分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 微分方程的特解 解题分析 先化为一阶线性微分方程的标准形式 * 由一阶线性微分方程的通解公式，得： * 代入初始条件 y|x=0=1 得 C=-1 于是所求特解为*2
16、0.求微分方程 Y“-3y+2y=xex的通解（分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 微分方程的通解 解题分析 方程 y“-3y+2y=xex对应的齐次方程的特征方程为 2-3+2=0，特征根为 1=1， 12=2，故对应的齐次方程通解为*因为 a=1 为特征方程的一重根，因此原方程的特解可设为 y*=x(Ax+B)ex，代入原方程得*B=-1 于是* 所以原方程的通解为*21.利用代换 （分数：9.00）_正确答案：(u“+4u=e x)解析：考点提示 二阶变系数线性非齐次微分方程 解题分析 题设所给方程为变系数方程，可由代换*将其化为关于 u 的二阶微分方程再求解应先由*求得
17、y，y“与 u，u“的关系如下，将 y=asecx 两边对 x 求导， 得 y=usecx+usecxtanx 再由式两边对 x 求导，得 y“=u“secx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec3x 将、式代人原方程，得 u“+4u=ex该方程是关于 u 的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程 2+4=0 求得特征值为 1=2i， 2=-2i，从而齐次方程通解为y=C1cos2x+C2sin2x设方程特解为 y*=Aex，代回方程 u“+4u=ex，得 A*，因此*因此非齐次方程通解为 * 其中 C1，C 2为任意常数 由代换*原方程通解为 * 注
18、：本题在化简原方程时，也可由代换 u=ycosx 的两边对 x 求导，得 u=ycosx-ysinx 再由式两边对 x 求导，得 u“=y“cosx-2ysinx-ycosx 、式与、式是等价的，代入原方程都可得出同样的方程 u“+4u=ex22.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 （分数：14.00）_正确答案：(6)解析：考点提示 微分方程 解题分析 本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间 t 作为自变量来建立微分方程
19、，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法 (1) 以半径 r 为未知函数，雪堆在时刻 t 的体积*，侧面积 S=2r 2，由题设知 * 化简上式即可得到以 r 为未知函数的微分方程，因*解之得 r=-kt+C由初始条件 r|t=0=r0，可得出C=r0所以 r=r0-kt又由已知*从而 * 可求出*因此*雪堆全部融化时 r=0，从而*得 t=6，即全部融化需 6 小时 (2) 以雪堆体积 V 为未知函数，在时刻 t，*侧面积 S=2r 2，即*由 题设得 * 此即以 V 为未知函数的微分方程分离变量，得 * 两边积分，得* 由已知，当 t=0 时，*当 t=3 时， * 代入上式分别得到 * 联立此两式可解出 * 从而有* 令 V=O，则 t=6，即雪堆全部融化需 6 小时
