1、考研数学二-416 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列无穷小中阶数最高的是_ Ae x -e tanx B Cln(1+x)-sinx D （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题正确的是_ A若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在|x-x 0 | 内 f(x)可导 B若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在|x-x 0 | 内 f(x)连续 C若 存在，则 f(x)在 x 0 处可导 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导
2、，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数 f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f“(x)0，且|f(x)|x 2 ，记 （分数：4.00）A.I=0B.I0C.I0D.不能确定5.设 f 有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x
3、2 -xy-y 2 )，则 xf “ x (x，y)+yf “ y (x，y)为_ A.2x2-8xy-2y2 B.-2x2+8xy-2y2 C.2x2-8xy+2y2 D.-2x2+8xy+2y2（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围是_（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k27.设 则 B 等于_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，-4，0) T
4、 ，则方程组 A*X=0 的基础解系为_（分数：4.00）A.1，2，3B.1+3，3，4C.1，3，4D.1+2，2+24，4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在(-，+)内可导，且 ， （分数：4.00）10.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：4.00）11.xy“-y“=x 2 的通解为 1 （分数：4.00）12.设 ，且 F(u，v)连续可偏导，则 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1 =-2， 2 =1， 3 =2，A*是 A 的伴随矩阵，则 A 11 +A 22 +A 33
5、 = 1. （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 x1 且 x0 时， （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00）_17.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：11.00）_18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又 （分数：11.00）_19.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对 满足 （分数：11.00）_20.一个容器的内表面侧面由曲线 (0x2)绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 在点 的切线位于点 （分数：10.00）_21.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲
6、线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y “2 之积成反比，比例系数 （分数：11.00）_设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T ；（分数：5.50）_(2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：5.50）_22.设 ，B 为三阶非零矩阵， （分数：11.00）_考研数学二-416 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列无穷小中阶数最高的是_ Ae x -e tanx B Cln(1+x)-sinx D （分数：
7、4.00）A.B. C.D.解析：解析 e x -e tanx =e tanx (e x-tanx -1)x-tanx， 因为 2.下列命题正确的是_ A若 f(x)在 x 0 处可导，则一定存在 0，在|x-x 0 | 内 f(x)可导 B若 f(x)在 x 0 处连续，则一定存在 0，在|x-x 0 | 内 f(x)连续 C若 存在，则 f(x)在 x 0 处可导 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，f(x)在 x 0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 由 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a
8、0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，A，B 不对； 令 显然 ，因为 ，所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，C 不对； 因为 f(x)在 x 0 处连续且在 x 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)-f(x 0 )=f“()(x-x 0 )或者 ，其中 介于 x 0 与 x 之间，两边取极限得 存在，即 f(x)在 x 0 处可导，且 3.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0
9、-，x0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数 f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析 ，当 (kN)时，f“(x)0 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，A不对； ，f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，B 不对； 4.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f“(x)0，且|f(x)|x 2 ，记 （分数：4.00）A.I=0B.I0 C.I0D.不能确定解析：解析 因为|f(x)|x 2 ，所以 f(0)=0，由|f(x)
10、|x 2 ，得 ，由迫敛定理得 f“(0)=0 由泰勒公式得 其中 介于 0 与 x 之间， 因为在(-，)内恒有 f“(x)0，所以 5.设 f 有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2 -xy-y 2 )，则 xf “ x (x，y)+yf “ y (x，y)为_ A.2x2-8xy-2y2 B.-2x2+8xy-2y2 C.2x2-8xy+2y2 D.-2x2+8xy+2y2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 x+y=u，x-y=v，则 6.设 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围是_（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.
11、|k|2 D.k2解析：解析 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零由 f“(x)=3(x 2 -1)=0，得驻点 x-1，且由图形可知，x=-1 为极大点，x=1为极小点故 f(-1)=2+k0 k-2，f(1)=-2+k0 7.设 则 B 等于_. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为四阶方阵，且 1 ， 2 ， 3 ， 4 为非零向量组，设AX=0 的一个基础解系为(1，0，-4，0) T ，则方程组 A*X=0 的基础解系为_（分数：4.00）
12、A.1，2，3B.1+3，3，4C.1，3，4D.1+2，2+24，4 解析：解析 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成 由 1 -4 3 =0 得 1 ， 3 成比例，显然 A、B、C 不对，选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在(-，+)内可导，且 ， （分数：4.00）解析：1 解析 ，由微分中值定理得 f(x)-f(x-1)=f“()，其中 x-1x，则 10.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：4.00）解析：解析 11.xy“-y“=x 2 的通解为 1 （分数：4.00
13、）解析： 解析 由 xy“-y“=x 2 ，得 或者 ，则 ，由 y“=x 2 +C 1 x，得原方程的通解为 12.设 ，且 F(u，v)连续可偏导，则 （分数：4.00）解析：z 解析 两边对 x 求偏导，得 ，解得 ； 两边对 y 求偏导，得 ，解得 ，于是 13. （分数：4.00）解析：解析 14.设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1 =-2， 2 =1， 3 =2，A*是 A 的伴随矩阵，则 A 11 +A 22 +A 33 = 1. （分数：4.00）解析：-4 解析 因为 A 的特征值为 1 =-2， 2 =1， 3 =2，所以 A*的特征值为 1 =2， 2 =-4，
14、3 =-2，于是 A 11 +A 22 +A 33 =tr(A*)= 1 + 2 + 3 =2-4-2=-4.三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 x1 且 x0 时， （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，显然 f(0)=0，因为 所以 f(x)在(-，0)上单调减少，所以当 x0 时，f(x)f(0)=0，即 x+ln(1-x)-xln(1-x)0，于是 当 0x1 时，令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，且 f(0)=0，因为 所以 f(x)在(0，+)内单调增加，于是 f(x)f
15、(0)=0，故 16.计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 x=tant，则 17.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 F“(x)=f(x)，且 F“(x)Ca，b由泰勒公式得 两式相减，得 因为 f“(x)Ca，b，所以 f“(x)C 1 ， 2 ，由闭区间上连续函数最值定理，f“(x)在区间 1 ， 2 上取得最小和最大值，分别记为 m，M，则有 再由闭区间上连续函数的介值定理，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 ，从而有 18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又 （分数：11.00）_正
16、确答案：()解析：解 令 u=lnx，则 于是 因为 f(0)=0，所以 当 x0 时， ；当 x0 时， 注意到 f(x)连续，由 C 1 =4+C 2 ，得 C 2 =C 1 -4，故 19.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对 满足 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 u=xt，则原方程变换为 ，两边对 x 求导得 f(x)=2f(x)+f(x)+xf“(x)+3x 2 ，整理得 此微分方程的通解为由 f(1)=0，得 ，所以 20.一个容器的内表面侧面由曲线 (0x2)绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 在点 的切线位于点 （分数：10.00）_正确答案：()解析：
17、解 切线方程为 ，与 x 轴的交点坐标为(1，0). 切线旋转后的旋转体体积为 ，曲线旋转后的旋转体的体积为 此容器的质量为 容器内表面积为 21.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y “2 之积成反比，比例系数 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 令 y“=p，则有 解得 ，因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 ，进一步解得 ，因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列
18、向量 ，使得 A= T ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即 于是 令 (2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ，使得 A= T ，显然 tr(A)=(，)，因为tr(A)0，所以(，)=k0 令 AX=X，因为 A 2 =kA，所以 2 X=kX，或( 2 -k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为=0 或 =k 因为 1 + 2 + n =tr(A)=k，所以 1 =k， 2 = 3 = n =0，由 r(0E-A)=r(A)=1，得 A一定可以对角化22.设 ，B 为三阶非零矩阵， （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 于是 ，解得 a=3b 由 AX= 3 有解得 ， 由 解得 b=5，从而 a=15. 由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3-r(B)2，从而 r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系， 故 BX=0 的通解为
