1、考研数学二-416 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 求 （分数：4.00）_2.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）_3. （分数：4.00）_4. （分数：4.00）_5. （分数：4.00）_6. （分数：4.00）_7. （分数：4.00）_8. （分数：4.00）_9. （分数：4.00）_10.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时， （分数：4.00）_11.设 （分数：4.00）_12. （分数：4.00）_13. （分数：4.00）_14. （分数：4.00）_15.设 f(x)连续
2、， （分数：4.00）_设 （分数：8.00）(1).证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：4.00）_(2).求 （分数：4.00）_16.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：4.00）_17.设 f(x)在0，1上连续， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：4.00）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2.（分数：8.00）(1).证明：对 0xa，存在 0（分数：4.00）_(2).求 （分数：4.00）_18.设 证明： （分数：4.00）_19.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-
3、，+)有|f(x)+f“(x)|1.证明：|f(x)|1. （分数：4.00）_20.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|.证明： （分数：4.00）_21.设 f(x)在0，1上连续，且 0 （分数：4.00）_考研数学二-416 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 2.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 两边求导数得 f“(x)-2f(x)=e x ， 则 3. （分数：4.00）
4、_正确答案：()解析：解 因为 所以 4. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 5. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为(x 2 e x )“=(x 2 +2x)e x ， 所以 6. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 而 所以 7. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 8. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 9. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 则 所以 10.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 两边积分得 解得 由 F(0)=1，F(x)0，得 于
5、是11.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 lnx=t，则 ，当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时，f(t)=e t +C 2 显然 f“(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ， 故 12. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 13. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x=tant，则 14. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 当 0x1 时， 当 1x2 时， 15.设 f(x)连续， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 两边求导得 令 得 设 （分数：8.00）(1).证明：当
6、 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 当 nx(n+1) 时， (2).求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 nx(n+1)，得 从而 ，根据夹逼定理得 16.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T， 因为 f(x)0，所以 即 得 注意到当 x+时，n+，且 由夹逼定理得 17.设 f(x)在0，1上连续， 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f(x
7、)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0，而 ，所以设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2.（分数：8.00）(1).证明：对 0xa，存在 0（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F“(x)x，即 (2).求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 由 ，得 于是 18.设 证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 同理 因为 tan n x，tan n
8、+2 x 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 于是 即 同理可证 19.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有|f(x)+f“(x)|1.证明：|f(x)|1. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由|f(x)+f“(x)|1 得|“(x)|e x ，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 两边取绝对值得 20.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|x-y|.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 21.设 f(x)在0，1上连续，且 0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 0mf(x)M，所以 f(x)-m0，f(x)-M0，从而 于是 两边积分得 因为 所以
