1、考研数学二-413 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处_ A不可导 Bf“(0)=ln 2 3+1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是_ A Btanx-x C(1+tanx) ln(1+2x) -1 D （分数：4.00）A.B.C.D.3.对函数 （分数：4.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值4.微分方程 y“-4y“=x 2 +cos2x 的特解形式为_ A.(ax2+bx+c)+(Acos2
2、x+Bsin2x) B.(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x) C.(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x) D.(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)连续，且满足 ，则关于 f(x)的极值问题有_ A存在极小值 B存在极大值 C存在极小值 D存在极小值 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知四维列向量 1 ， 2 ，
3、 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）10.设 f(x)二阶可导且满足 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.y=y(x)，由 确定，则 （分数：4.00）13.若 f(x)=2nx(1-x) n ，记 （分数：4.00）14.设 （分数：4.0
4、0）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：9.00）(1).确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数；（分数：4.50）_(2).求 g“(x)并讨论函数 g“(x)的连续性（分数：4.50）_15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导( )证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：9.00）_16.设 f(x)连续且 f(0)=0，f“(0)=2，求极限 （分数：11.00）_17.计算积分 ，其中 D 是由直线 y=2，y=0，x=-2 及曲线 （分数：10.00）_18.过点 作抛物线 （分数：11.00）_19.求 z=
5、x 2 -2y 2 +2x+4 在区域 x 2 +4y 2 4 上的最小值和最大值 （分数：10.00）_20.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 x 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y 2 =x 上，求此曲线的方程， （分数：12.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 ，使得 （分数：11.00）(1).求常数 a，b 的值及 （分数：5.50）_(2).求|A*+3E|（分数：5.50）_21.设 A 为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 ，使得 （分数：11.00）_考研数学二-413 答案解析(总分：150.00，做题时间：90
6、 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处_ A不可导 Bf“(0)=ln 2 3+1 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=1+ln3，于是 又因为 所以 f(x)在 x=0 处可导，且 2.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是_ A Btanx-x C(1+tanx) ln(1+2x) -1 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 得 ，即 为 4 阶无穷小； 由 ，即 tanx-x 为 3 阶无穷小； 由(1+tanx) ln(1+2x) -1=e l
7、n(1+2x)ln(1+tanx) -1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得(1+tanx) ln(1+2x) -1 为 2 阶无穷小； 由 得 3.对函数 （分数：4.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值 D.没有极值解析：解析 令 f“(x)=2x(4-x 2 )ln(1+x 2 )=0，得 x 1 =-2，x 2 =0，x 3 =2 当 x-2 时，f“(x)0；当 x(-2，0)时，f“(x)0；当 x(0，2)时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0，则 x 1 =-2，x 3 =2 为 f(x)的极大值点，x 2 =0 为 f(x)的极小值点，
8、选 C.4.微分方程 y“-4y“=x 2 +cos2x 的特解形式为_ A.(ax2+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x) B.(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x) C.(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x) D.(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 特征方程为 2 -4=0，特征值为 1 =0， 2 =4， 方程 y“-4y“=x 2 的特解为 y 1 =x(ax 2 +bx+c)=ax 3 +bx 2 +cx； 方程 y“-4y“=cos2x 的特解为 Acos2x+Bsin2x
9、选 C5.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 取x，x+dx o，1，则 ，所求的体积为 若取 所求的体积为 6.设 f(x)连续，且满足 ，则关于 f(x)的极值问题有_ A存在极小值 B存在极大值 C存在极小值 D存在极小值 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 等式两边求导，得 f“(x)+2f(x)=2x，其通解为 因为 ，所以 C=1，从而 令 f“(x)=-2e -2x +1=0，得唯一驻点为 因为 f“(x)=4e -2x
10、0，故 是极小值点，极小值为 7.已知四维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为_（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 设 i = ( i1 ， i2 ， i3 ， i4 ) T (i=1，2，3)，由已知条件有即 i (i=1，2，3，4)为方程组 8.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A
11、*)=1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n-1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）解析： 解析 令 由 得 由迫敛定理 10.设 f(x)二阶可导且满足 （分数：4.00）解析： 解析 对 两边求导得 x 2 f(x)=3x 2 +f“(x)，整理得 f“(x)-x 2 f(x)=-3x 2 ，解得 当 x=0 时，f(x)=0，于是 C=-3，故 11. （分数：4.00）解析：解析 12.y=y(x)
12、，由 确定，则 （分数：4.00）解析：2(e -1 -e -2 ) 解析 当 t=0 时，x=0，y=-1， ，由 te y +y+1=0，得 ，解得 于是 13.若 f(x)=2nx(1-x) n ，记 （分数：4.00）解析： 解析 令 f“(x)=2n(1-x) n -2n 2 x(1-x) n-1 =0，得 ，由 f(0)=f(1)=0，得 ，于是 14.设 （分数：4.00）解析： 解析 由 ABA T =E+2BA T ，得 ABA T =(A T ) -1 A T +2BA T ，因为 A T 可逆，所以AB=(A T )+2B 或 B=(A-2E) -1 (A T ) -1
13、=A T (A-2E) -1 ，解得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：9.00）(1).确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 (2).求 g“(x)并讨论函数 g“(x)的连续性（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 于是 因为 15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导( )证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 g(x)=-cosx，g“(x)=sinx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (
14、a，b)，使得 ； 令 h(x)=sinx，h“(x)=cosx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 从而 于是 故 16.设 f(x)连续且 f(0)=0，f“(0)=2，求极限 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 于是 17.计算积分 ，其中 D 是由直线 y=2，y=0，x=-2 及曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|-2x0，0y2， 18.过点 作抛物线 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设切点为 ， 由 ，解得 a=3 顶格 则切线方程为 19.求 z=x 2 -2y 2 +2x+4 在区域 x
15、2 +4y 2 4 上的最小值和最大值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x 2 +4y 2 4 时， 由 得 ，且 z(-1，0)=3； 当 x 2 +4y 2 =4 时， 令 则 当 时， ；当 cost=1 时，z max =12， 故 z=x 2 -2y 2 +2x+4 在 x 2 +4y 2 4 上的最小值为 20.设曲线 y=y(x)过(0，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 x 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y 2 =x 上，求此曲线的方程， （分数：12.00）_正确答案：()解析：解 设 M(x，y)，则法线方程为 令 Y=0 得 X
16、=yy“+x，于是 P 点坐标为(yy“+x，0)MP 的中点坐标为 ，它位于给定的抛物线上于是有方程 y 2 =yy“+2x，即 设 A 是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 ，使得 （分数：11.00）(1).求常数 a，b 的值及 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =-1， 令 显然 A 1 = 1 ，A 2 =2 2 ，A 3 =- 3 ， 即 1 ， 2 ， 3 为分别属于 1 =1， 2 =2， 3 =-1 的特征向量， 因为 A 是实对称矩阵，所以 解得 a=0，b=-2 A*的特征值为 (2).求|A*+3E|（分数：5.50）_
17、正确答案：()解析：解 A*+3E 的特征值为 1，2，5，则|A*+3E|=10.21.设 A 为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 ，使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 得 A 的特征值为 1 =2， 2 =-1， 3 =1，且 1 =2 对应的特征向量为 由 A T =A 得 B T =(A 2 +2E) T =(A 2 ) T +2E=A 2 +2E=B，即 B 为实对称矩阵 显然 B 的特征值为 1 =6， 2 = 3 =3，且 B 相应于特征值 1 =6 的特征向量为 设 B 的相应于 2 = 3 =3 的特征向量为 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 ，即 x 1 +x 2 +x 3 =0，于是 B 的相应于特征值 2 = 3 =3 的线性无关的特征向量为 令
