1、考研数学二-412 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 （分数：4.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(想)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点2.当 x0 时， ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 af “ 1 =cf “ 1 0，则 （分数：4.
2、00）AaBbCcD.a+b+c4.设函数 f(x)在(-，+)上连续，其导函数的图形如下图所示，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点5.设 D 为 y=x，x=0，y=1 所围成区域，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则_（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵
3、 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关8.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则_（分数：4.00）A.A=OB.A 只有一个线性无关的特征向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角阵相似时，A=O二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）12.摆线 （分数：4.00）13.微分方程 （分数：4.00）14.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1
4、=-2， 2 = 3 =1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(4 1 ， 2 - 3 ， 2 +2 3 )，则 P -1 (A*+3E)P 为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个解，且 （分数：10.00）(1).求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离（分数：5.00）_(2).计算 （分数：5.00）_设 g(x)二阶可导，且 （分数：10.00）(1).求常数 a 的值，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：5.00）_(2).求 f
5、“(x)，并讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性（分数：5.00）_15.讨论方程 lnx=kx 的根的个数 （分数：10.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得abe - = 2 f()-f“() （分数：10.00）_17.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x) （分数：10.00）_18.计算 （分数：11.00）_19.设函数 f(t
6、)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 满足 （分数：11.00）_设 （分数：11.00）(1).当 a，b 为何值时， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：5.50）_(2).当 a，b 为何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，写出表达式（分数：5.50）_设 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值及 对应的特征值 （分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q，使得 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_考研数学二-412 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且
7、 （分数：4.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(想)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析 显然 f“(0)=0，由 得 g(0)=0，g“(0)=-2 由 2.当 x0 时， ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ， 则 3.设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 af “ 1 =cf “ 1 0，则 （分数：4.00）AaBb CcD.a+b+c解析：解析 F(az-
8、by，bx-cz，cy-ax)=0 两边对 x 求偏导得 ，解得 ； F(ax-by，bx-cz，cy-ax)=0 两边对 y 求偏导得 ， 故 4.设函数 f(x)在(-，+)上连续，其导函数的图形如下图所示，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析 设导函数的图形与 z 轴的交点从左至右依次为 A，B，C，在点 A 左侧 f“(x)0，右侧 f“(x)0所以点 A 为 f(x)的极大值点，同理可知点 B 与 C 都是 f(x)的极小值点关键是点 O 处，在它左侧f
9、“(x)0，右侧 f“(x)0，而 f(x)在点 O 连续，所以点 O 也是 f(x)的极大值点(不论在 x=0 处 f(x)是否可导，见极值第一充分条件)，选 C.5.设 D 为 y=x，x=0，y=1 所围成区域，则 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 6.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 7.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则_（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩
10、阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关 解析：解析 设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n 因为 BA=C，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B) 若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，A 不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若n=s，则 A 的行向量组线性无关，B 不对； 若 r(A)=s，因为 r(C)s，所以不能断定 C 的
11、列向量组线性相关还是无关，C 不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，选 D.8.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则_（分数：4.00）A.A=OB.A 只有一个线性无关的特征向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角阵相似时，A=O 解析：解析 若 A 的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵 P，使得二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e 解析 因为 ，所以 10. （分数：4.00）解析： 解析 则 11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）解析： 解析 两边对 x 求偏导得 再将 两边对 y 求偏导得 两式相
12、加得 12.摆线 （分数：4.00）解析：解析 对13.微分方程 （分数：4.00）解析： 解析 由 得 令 ，则 ，解得 arcsinu=lnx+C，原方程的通解为 14.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1 =-2， 2 = 3 =1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(4 1 ， 2 - 3 ， 2 +2 3 )，则 P -1 (A*+3E)P 为 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =1，所以 A*的特征值为 1 =1， 2 = 3 =-2，A*+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 4 1 ， 2 - 3 ， 2
13、 +2 3 。也为 A 的线性无关的特征向量，所以 4 1 ， 2 - 3 ， 2 +2 3 也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个解，且 （分数：10.00）(1).求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特征方程为 2 2 +-1=0，特征值为 1 =-1， ，得2y“+y“-y=0 的通解为 ， 令 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特解为 y 0 =(
14、ax 2 +bx)e -x ，代入得 a=1，b=0， 原方程的通解为 由 (2).计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设 g(x)二阶可导，且 （分数：10.00）(1).求常数 a 的值，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1， (2).求 f“(x)，并讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 因为 15.讨论方程 lnx=kx 的根的个数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 情形一：当 k=0 时，方程只
15、有唯一实根 x=1； 情形二：当 k0 时，令 f(x)=lnx-kx(x0)， 由 因为 ，所以 的最大值点，最大值为 ， 当 时，方程只有一个根 x=e； 当 时，方程没有实根； 当 时，M0，由 得方程有且仅有两个实根，分别位于 之间 情形三：当 k0 时， ，f(x)在(0，+)内单调增加， 由 16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得abe - = 2 f()-f“() （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 (x)=e -x f(x)， ，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 由微分中值定
16、理，存在 (a，b)，使得 17.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积为 ；曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长为 ，根据题意得 两边对 x 求导得 或 f 2 (x)=1+f “2 (x)， 则 ，解得 再由 f(0)=1 得 C=1，所以 ，解得 18.计算 （分数：11.00）_正
17、确答案：()解析：解 由对称性得 令 D 0 ：x 2 +(y+1) 2 1， 则 19.设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 满足 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 于是 由 f“(1)=1 得 C 1 =1，于是 设 （分数：11.00）(1).当 a，b 为何值时， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (1)当 a-6，a+2b-40 时，因为 (2).当 a，b 为何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，写出表达式（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a-6，a+2b-4=0 时， ， 可由 1
18、， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =2 1 - 2 +0 3 ； 当 a=-6 时， 当 a=-6，b5 时，由 ， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =6 1 +1 2 +2 3 ； 当 a=-6，b=5 时，由 设 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值及 对应的特征值 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 A= 得 (2).求正交矩阵 Q，使得 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =0， 2 =1， 3 =4 将 =0 代入(E-A)X=O 得 AX=0， 由 得 =0 对应的无关特征向量为 将 =4 代入(E-A)X=0 得(4E-A)X=0， 由 得 =4 对应的无关特征向量为 令
