1、考研数学二-411 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.3B.4C.5D.62.的根的个数为_ （分数：4.00）A.没有根B.恰有一个根C.恰有两个根D.有三个根3.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数， （分数：4.00）A.单调增加的奇函数B.单调减少的奇函数C.单调增加的偶函数D.单调减少的偶函数4.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是_（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f“(x)必至少有两个零点B.若 f“(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若
2、 f(x)没有零点，则 f“(x)至少有一个零点D.若 f“(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点5.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 y=f(x)的增量函数 ，且 f(0)=，则 f(-1)为_ A Be C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确的是_ AA 的任意 m 阶子式都不等于零 BA 的任意 m 个列向量线性无关 C方程组 AX=b 一定有无数个解 D矩阵 A 经过初等行变换化为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2
3、B=O 且 r(B)=2，则|A+4E|=_（分数：4.00）A.8B.16C.2D.0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.曲线 （分数：4.00）11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1. （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续可导，f(1)=0， （分数：10.00）_设
4、满足 （分数：11.00）(1).求 f“(x)（分数：5.50）_(2).若 f(0)=0，求 （分数：5.50）_16.设 连续，且 （分数：9.00）_17.设 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，又 f(0)=0，g(0)=2，求： （分数：10.00）_设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F“(x)单调增加（分数：3.67）_(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1 时，求函数 f(x)（分数：3.67）_1
5、8.计算 （分数：10.00）_19.现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克? （分数：11.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =0， 2 = 3 =1， 1 ， 2 为 A 的两个不同特征向量，且 A( 1 + 2 )= 2 .（分数：11.00）(1).证明： 1 ， 2 正交（分数：5.50）_(2).求 AX= 2 的通解（分数：5.50）_设 =(1，1，-1) T 是
6、 （分数：11.00）(1).确定参数 a，b 的值及特征向量 所对应的特征值；（分数：5.50）_(2).问 A 是否可以对角化?说明理由，（分数：5.50）_考研数学二-411 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析 2.的根的个数为_ （分数：4.00）A.没有根B.恰有一个根 C.恰有两个根D.有三个根解析：解析 令 由 f“(x)=(x+1)e x+1 =0 得 x=-1， f“(x)=(x+2)e x+1 ，由 f“(-1)=10 得 x=-1 为最小值点，最小值为
7、 由 方程 3.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数， （分数：4.00）A.单调增加的奇函数B.单调减少的奇函数 C.单调增加的偶函数D.单调减少的偶函数解析：解析 因为 所以 (x)为奇函数； 又 当 x0 时， ， 当 x0 时， 4.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是_（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f“(x)必至少有两个零点B.若 f“(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若 f(x)没有零点，则 f“(x)至少有一个零点D.若 f“(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点 解析：解析 若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，
8、f“(x)至少有一个零点，故若 f“(x)没有零点，则f(x)至多一个零点，选 D.5.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 f(0，0)=1， 因为 e x2+y2 -1x 2 +y 2 ，所以 从而 ，其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小， 于是 6.设函数 y=f(x)的增量函数 ，且 f(0)=，则 f(-1)为_ A Be C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 得 y=f(x)为可导函数，且 则 ，因为 f(0)=，所以 C=，于是 f(x)=e arctanx ， 故 7.设 A 为 mn 矩阵，且 r
9、(A)=mn，则下列结论正确的是_ AA 的任意 m 阶子式都不等于零 BA 的任意 m 个列向量线性无关 C方程组 AX=b 一定有无数个解 D矩阵 A 经过初等行变换化为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 A 与 都是 m 行，所以8.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则|A+4E|=_（分数：4.00）A.8B.16 C.2D.0解析：解析 令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 AB+2B=O 得 A i =-2 i (i=1，2，3)， 由 r(B)=2 得 =-2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3 =
10、0，故 1 = 2 =-2， 3 =0， A+4E 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =4，故|A+4E|=16选 B.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：a=1，b=-2 解析 由 即 a=b+3； 由 10.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 当 t=0 时，x=3，y=1， 而 ，将 t=0 代入得 ，于是切线的斜率为 ， 于是法线为 ，即法线方程为 11.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 取 x=0 代入得 ，解得 y=1 两边对 x 求导得 ，从而 ； 两边再对 x 求导得 ， 从而 12. （分数：4.00）
11、解析： 解析 二重积分的积分区域为 D=(x，y)|1-yx1+y 2 ，0y1， 则 13.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）解析：y=-3e x +3e 2x -2xe x 解析 特征方程为 2 -3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2，y“-3y“+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x . 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 由 14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B
12、-1 +2E|= 1. （分数：4.00）解析：-8 解析 因为 A 的特征值为 3，-3，0，所以 A-E 的特征值为 2，-4，-1，从而 A-E 可逆，由E+B-AB 得(A-E)B=E，即 B 与 A-E 互为逆阵，则 B 的特征值为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续可导，f(1)=0， （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由分部积分，得 于是 由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)-f(1)=f“()(x-1)，其中 (x，1)，f(x)=f“()(x-1)两边对 x从 0 到 1 积分，得 因为 f“(x)在0，1上连续，所
13、以 f“(x)在0，1上取到最小值 m 和最大值 M， 由 M(x-1)f“()(x-1)m(x-1)两边对 x 从 0 到 1 积分， 得 设 满足 （分数：11.00）(1).求 f“(x)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 ，则 由已知条件得 得 (2).若 f(0)=0，求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 16.设 连续，且 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 两边对 x 求偏导得 ，解得 两边对 3，求偏导得 ，解得 则 17.设 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，又 f(0)=0，g(0)=2，求： （分
14、数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)=g“(x)=2e x -f(x)得 f“(x)+f(x)=2e x ，解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+e x ， 由 f(0)=0，f“(0)=g(0)=2 得 ，解得 C 1 =-1，C 2 =1， 故 f(x)=-cosx+sinx+e x . 设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F“(x)单调增加（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 (2).当 x 取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为 且 f(x)为偶函数，所
15、以 F“(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 (3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1 时，求函数 f(x)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 两边求导得 2af(a)=f“(a)-2a， 于是 f“(x)-2xf(x)=2x， 解得 在 18.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为区域 D 关于 y 轴对称， 所以 又因为区域 D 关于直线 y=x 对称， 所以 19.现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以
16、2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克? （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，则有 由 再由 m 1 (0)=150 得 C 1 =150，故 再由 则 由 m 2 (0)=150 得 C 2 =150，于是，5 分钟后第二只桶含盐 设 A 为三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =0， 2 = 3 =1， 1 ， 2 为 A 的两个不同特征向量，且 A( 1 + 2 )= 2 .（分数：11.00）(1).证明： 1 ， 2 正交（
17、分数：5.50）_正确答案：()解析：解 若 1 ， 2 是属于特征值 1 =0 的特征向量，则 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =0 2 ，矛盾； 若 1 ， 2 是属于特征值 2 = 3 =1 的特征向量，则 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 + 2 2 ，矛盾， 从而 1 ， 2 是分属于两个不同特征值对应的特征向量， 因为 A 是实对称矩阵，所以 1 ， 2 正交(2).求 AX= 2 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 A 相似于 设 =(1，1，-1) T 是 （分数：11.00）(1).确定参数 a，b 的值及特征向量 所对应的特征值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 A=，得(2).问 A 是否可以对角化?说明理由，（分数：5.50）_正确答案：()解析：由|E-A|=(+1) 3 =0，得 =-1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化
