1、考研数学二-411 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：84.00)1.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处_.（分数：4.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续2.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是_.（分数：4.00）A.f(x)，g(x)在 x0 处都可导B.f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导C.f(x)在 x0 处不可导，g(x)在 x0 处可导D.f(x)，g(x)在 x0 处都可能不可导3.f(x)在 x 0 处可导，则|f(x)|在 x
2、0 处_.（分数：4.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续4.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(z)0，则当 x0 时有_.（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)05.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，f“(4)=6，则 g“(4)等于_. A B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“+(a)与 f“-(a)都存在，则_.（分数：4.
3、00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导7.下列命题成立的是_. A若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.则 f(x)在 x=0 处_. （分数：4.00）A.
4、不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续9.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)可导，则下列正确的是_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.下列说法正确的是_. Af(x)在(a，b)内可导，若 则 Bf(x)在(a，b)内可导，若 Cf(x)在(-，+)内可导，若 Df(x)在(-，+)内可导，若 （分数：4.00）A.B.C.D.12.下列说法中正确的是_.（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，贝 f(x)在 x0 的
5、邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x0)时，f(x)单调增加，当 z(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值13.设 f(x)二阶连续可导， （分数：4.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点14.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 又
6、（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点15.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点16.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则_.（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f
7、(0)是 y-f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点17.下列说法正确的是_.（分数：4.00）A.设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点18.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为_.（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个19.设 k0
8、，则函数 （分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个20.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条21.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有_. （分数：4.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、解答题(总题数：4，分数：16.00)22.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：4.00）_23.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点. （分数：4.00）_
9、24.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3). （分数：4.00）_25.设 f(x)连续， 且 （分数：4.00）_考研数学二-411 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：84.00)1.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处_.（分数：4.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 存在，于是2.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是_.（分数：4.00
10、）A.f(x)，g(x)在 x0 处都可导B.f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导C.f(x)在 x0 处不可导，g(x)在 x0 处可导D.f(x)，g(x)在 x0 处都可能不可导 解析：解 令3.f(x)在 x 0 处可导，则|f(x)|在 x 0 处_.（分数：4.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解 由 f(x)在 x 0 处可导得|f(x)|在 x 0 处连续，但|f(x)|在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，选 C.4.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有
11、f“(x)0，f“(z)0，则当 x0 时有_.（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f“(-x)=f“(x)，f“(-x)=-f“(x)，即f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，选 A.5.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，f“(4)=6，则 g“(4)等于_. A
12、B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解 因为6.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“+(a)与 f“-(a)都存在，则_.（分数：4.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解 因为 f“ + (a)存在，所以 存在，于是 7.下列命题成立的是_. A若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在
13、x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解 设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意 x 0 0，因为 不存在，所以 f(x)在 x 0 处不连续，A 不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，B 不对； 因为 其中 介于 x 0 与 x 之间，且 存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 ，选 C； 令 显然 而 8.则 f(x)在 x=0 处_. （分数
14、：4.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解析：解 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时， 当 x0 时，因为 所以 f“(x)在 x=0 处连续，选 D.9.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解 A 不对，如 显然： 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； B 不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； C不对，因为 而 ，所以 不一定存在，于是 f(x)
15、在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导； 10.设 f(x)可导，则下列正确的是_. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解 令 f(x)=x，显然 ，但 A 不对，同理 但 ，B 也不对；令 f(x)=x 2 ， 但 ，D 不对；若 则对任意的 M0，存在 x 0 0，当 xX 0 时，有 f“(x)M，于是当 xX 0 时，f(x)-f(X 0 )=f“()(x-X 0 )，其中 (X 0 ，x)，即 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，根据极限的保号性，有 11.下列说法正确的是_. Af(x)在(a，b)内可导，若 则 Bf(x)在(a，b)内可导，若
16、Cf(x)在(-，+)内可导，若 Df(x)在(-，+)内可导，若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解 设 当 时，f“(x)=0，其中 kZ，则 ，A 不对； 设 ，B 不对； 设 12.下列说法中正确的是_.（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，贝 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x0)时，f(x)单调增加，当 z(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解 当 时， ，则 f(x)在 x=
17、0 的任意邻域内都不单调减少，A 不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，B 不对； 13.设 f(x)二阶连续可导， （分数：4.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解 由 ，得 f“(2)=0，又由 ，则存在 0，当 0|x-2| 时，有14.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 又 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=
18、0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解 由 得 g(0)=g“(0)=0，f“(0)=0， 因为 所以存在 0，当 0|x| 时， 15.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解 因为 f(x)二阶连续可导，且 所以 即 f“(0)=0.又 由极限的保号性，存在0，当 0|x| 时，有16.设函数 f(x)满
19、足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则_.（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y-f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解 由 f“(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=1-2f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0|x| 时，f“(x)0，再由 f“(0)=0，得 17.下列说法正确的是_.（分数：4.00）A.设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，
20、b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解 令 ，但 18.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为_.（分数：4.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解 因为 f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，所以 其中 介于 a 与 x 之间而 故19.设 k0，则函数 （分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解 函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 得 x
21、=e，当 0xe 时，f“(x)0；当 xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又20.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解 因为 所以曲线 无水平渐近线； 由 得曲线 有两条铅直渐近线； 由 得曲线 21.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有_. （分数：4.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解 设当 x0 时，f“(x)与 x 轴的两
22、个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f“(x)0，当 x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大点；当x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f“(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大点，即 f(x
23、)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选 C二、解答题(总题数：4，分数：16.00)22.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 t=0 代入 得 再由 e -u2 0 得 x=1， 两边对 t 求导得 ，从而 两边再对 t 求导得 将 代入得 23.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 解得 令 得 y=x 2 ，代入 x 3 -3xy+y 3 =3 得 x=-1 或 因为 所以 x=-1 为极小点，极限值为 y=1； 因为 所以 为极大点，极大值为 24.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 而 f“(0)=e，所以 f“(x)=(2x+1)e x2+x+1 ，f“(0)=e， 因为 所以 25.设 f(x)连续， 且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 因为
