1、考研数学二-409 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.求 （分数：5.00）_2.设 （分数：5.00）_3.求函数 （分数：5.00）_4.求极限 （分数：5.00）_5.求极限 （分数：5.00）_6.证明： （分数：5.00）_7.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 1 ， 2 ， n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x -1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1 （分数：5.00）_8.求极限 （分数：5.00）_9.设函数 f(x)可
2、导且 ，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：5.00）_10.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：5.00）_11.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f() （分数：5.00）_12. （分数：5.00）_13.设 （分数：5.00）_14.已知 （分数：5.00）_15.设 （分数：5.00）_16.确定 a，b，使得 x-(a+bco
3、sx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小 （分数：5.00）_17.设 f(x)连续可导， ，求 （分数：5.00）_18.求 （分数：10.00）_19. （分数：5.00）_考研数学二-409 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1 当 x=0 时， 则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=-2，-3，)
4、时， ，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 2.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 首先 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 3.求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 因为 所以函数 为奇函数，于是 即 解得 即函数 4.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 5.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 则 6.证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 当 x1，2时有 ，则 当 x2，3时有 ，则 当 xn，n+1时有 ，则 从而有 又当 x1
5、，2时， ，则 当 x2，3时， ，则 ， 当 xn-1，n时， ，则 从而有 故 ，于是 由夹逼定理得 7.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 1 ， 2 ， n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x -1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 当 x0 时，由|f(x)|e x -1|得 而 =a 1 +2a 2 +na n ， 且 8.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 而 由夹逼定理得 9.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x 0 ，作 x
6、 n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 x n+1 -x n =f(x n )-f(x n-1 )=f“( n)(x n -x n-1 )，因为 f“(x)0，所以 x n+1 -x n 与 x n -x n-1 同号，故x n 单调 即x n 有界，于是 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续。等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 10.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 设 11.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i
7、0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f() （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)，同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n
8、)M， 即 由介值定理，存在 a，b，使得 12. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 13.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，故 n=3， 14.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 于是由 得 解得 或 15.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 x0 时， 于是 16.确定 a，b，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 y=x-(a+bcosx)sinx， y“=1+bsin 2 x-(a+bcosx)cosx， 显然 y(0)=0，y“(0)=0， 所以令 得 解得 故当 17.设 f(x)连续可导， ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 x0 时， 得 18.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 19. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 x=k(k=0，-1，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 由 得 x=-2 为可去间断点； 当 x=k(k=-1，-3，-4，)时， 由 得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点； 由
