1、考研数学二-408 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设当 x0 时,(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小,而 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小,则正整数 n 等于(分数:4.00)A.1B.2C.3D.42.设函数 f(u)可微, ,则 A0 B C D (分数:4.00)A.B.C.D.3.设函数 f(x)在 x=0 处连续,且 ,则 Af(0)=1 且 存在 Bf(0)=0 且 存在 Cf(0)=1 且 存在 Df(0)=0 且 (分数:4.00)A.B.C.D.4.二次
2、积分 可以写成 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.5.微分方程 y“-y=2x+e x 的特解形式可设为 A.y*=ax+bex B.y*=x(a+bex) C.y*=x(a+bex)+c. D.y*=x(ax+bex+c)(分数:4.00)A.B.C.D.6.若函数 f(x)满足关系式 xf“(x)+2xf“(x) 2 =1-e x ,且 f“(0)=0,f“(x)在 x=0 处连续,则(分数:4.00)A.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)
3、的极大值7.设 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为(分数:4.00)A.1+2,2+3,1+3.B.1-2,2-3,3-1C.1,2,3 的一个等价的向量组D.1,2,3 的一个等秩的向量组8.设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 (分数:4.00)A.(1,2,1+3).B.(2,3,1).C.(1,2,33)D.(1+2,2+3,1+3).二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)10.设函数 z=(x+y x ) y ,则 (分数:4.00)11. (分数:4.00)12.数列 (分数:4.00)
4、13.交换积分次序: (分数:4.00)14.行列式 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_16.设函数 y=y(x)由 所确定,其中 f(t)三阶可导,且 f“(t)0求 (分数:10.00)_17.计算二重积分 ,其中 D 是由直线 x=0,x=2,y=2 以及曲线 (分数:10.00)_18.设函数 f(x)连续,且 (分数:10.00)_19.设函数 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明: (分数:10.00)_20.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32,证明 2xy+3yz16. (分数:11.00)_21.已知函数
5、 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ,且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与直线x=0,x=1,y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 (分数:11.00)_设线性方程组 (分数:11.00)(1).试讨论当 a,b 为何值时,线性方程组无解,以及有无穷多解;(分数:5.50)_(2).当线性方程组有无穷多解时,求出其通解(分数:5.50)_设二次型 ,已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ,且 (分数:11.00)(1).求 a,b 的值;(分数:5.50)_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为
6、标准形(分数:5.50)_考研数学二-408 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设当 x0 时,(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小,而 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小,则正整数 n 等于(分数:4.00)A.1B.2 C.3D.4解析:解析 由题意可知 对式(1)使用等价无穷小替换可得 由上式可知 n+14(否则答案不可能是 0),解得 n3. 对式(2)使用等价无穷小替换可得 2.设函数 f(u)可微, ,则 A0 B C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析
7、 3.设函数 f(x)在 x=0 处连续,且 ,则 Af(0)=1 且 存在 Bf(0)=0 且 存在 Cf(0)=1 且 存在 Df(0)=0 且 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于 由于 f(x)在 x=0 处连续,所以 由于 ,所以 f(0)=0 由于 f(0)=0,所以 可以改写为 又因为无论 x 是从左侧趋于 0 的还是从右侧趋于 0 的,都有 cosx1,1-cosx0,所以 说明 4.二次积分 可以写成 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由题意,积分区域在直角坐标系表示为 , 即是由 与 y 轴围成的图形(如下图)它在极坐标系表示为
8、 5.微分方程 y“-y=2x+e x 的特解形式可设为 A.y*=ax+bex B.y*=x(a+bex) C.y*=x(a+bex)+c. D.y*=x(ax+bex+c)(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -1=0,其根为 r=1对于方程 y“-y=2x,由于 0不是特征方程的根,故其特解形式为 对于方程 y“-y=e x ,由于 1 是特征方程的单根,故其特解形式为 于是根据叠加原理,原方程的特解形式为 6.若函数 f(x)满足关系式 xf“(x)+2xf“(x) 2 =1-e x ,且 f“(0)=0,f“(x)在 x=0 处连续
9、,则(分数:4.00)A.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值 解析:解析 由 f“(0)=0 知 x=0 是 f(x)的驻点为求 f“(0),把方程改写为 令 x0,得 7.设 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为(分数:4.00)A.1+2,2+3,1+3. B.1-2,2-3,3-1C.1,2,3 的一个等价的向量组D.1,2,3 的一个等秩的向量组解析:解析 设矩阵 A 有 n 列,其秩为 r,
10、则线性方程组 Ax=0 的基础解析中的向量必须满足三个条件:是解、线性无关、个数为 n-r首先排除 C、D,因为第一个条件不一定满足A、B 均满足第一个条件和第三个条件,而 B 不满足第二个条件,故本题选择 A 选项8.设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 (分数:4.00)A.(1,2,1+3).B.(2,3,1).C.(1,2,33) D.(1+2,2+3,1+3).解析:解析 题中说 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)解析:e 2 解析 10.设函数 z=(x+y x ) y ,则 (分数:4.00)解析:2ln2+1 解析 两边取对数,得
11、lnz=yln(x+y x ) 两边对 y 求导,得 从而 11. (分数:4.00)解析:1-ln2解析 12.数列 (分数:4.00)解析: 解析 考察函数 (x1),求 f(x)在1,+)上的最大值,由 可知 f(x)在1,e上单调递增,在e,+)上单调递减, 在 x=e 处取得最大值,它的相邻两点是x=2 和 x=3 由于 ,因此最大项是 13.交换积分次序: (分数:4.00)解析: 解析 由题意,积分区域可表示为 即是由 r=2cos 与 围成的图形(如下图)作以 O 为圆心且穿过 D 的同心圆 r=C,当 时,r=C从 r=2cos(0),即 进入 D,从 穿出 D;当 时,r=
12、C 从 r=2cos(0),即 进入 D,从 r=2cos(0),即 穿出 D故原二次积分交换积分次序后为 14.行列式 (分数:4.00)解析:-12 解析 由范德蒙行列式直接可得 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 16.设函数 y=y(x)由 所确定,其中 f(t)三阶可导,且 f“(t)0求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 17.计算二重积分 ,其中 D 是由直线 x=0,x=2,y=2 以及曲线 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 如下图所示,记 ,则 在求 时以用华里士公式 18.设函数 f(
13、x)连续,且 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 当 x0 时, 当 x=0 时, 由于 f(x)在 x=0 连续及 ,故 因此, 当 x0 时, 当 x=0 时, 故 显然,当 x0 时,“(x)连续 又由于 19.设函数 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明: (分数:10.00)_正确答案:()解析:证 连续利用分部积分,有 移项后得 20.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32,证明 2xy+3yz16. (分数:11.00)_正确答案:()解析:证 记 f(x,y,z)=2xy+3yz,引入辅助函数 L(x,y,z,)=f(x,y,z)+(4x 2 +4y 2 +3
14、z 2 -32). 列方程组 解之得可能的极值点(1,2,2),(-1,2,-2),(1,-2,2),(-1,-2,-2), , 由 f(1,2,2)=16,f(-1,2,-2)=-16,f(1,-2,2)=-16,f(-1,-2,-2)=16, 21.已知函数 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ,且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与直线x=0,x=1,y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 令 y“=p(y),则 ,于是 分离变量得 两端积分得 ln|p|=ln|y|+ln
15、|C 1 |, 从而 p=y“=C 1 y, 即 分离变量得 两端积分得 ln|y|=C 1 x+ln|C 2 |, 即 y=C 2 e c1x 由 y(0)=1 得 C 2 =1,故 y=e C1x 由题意, ,解得 C 1 =1,因此 y=e x 故所求体积为 所求体积的解法是基于下面的命题:平面图形 0axb,0yf(x)绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 该体积也可用如下方法求: 设线性方程组 (分数:11.00)(1).试讨论当 a,b 为何值时,线性方程组无解,以及有无穷多解;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 当 a=0 时,矩阵 在 a=0 的前提下,若 b=2,矩阵变为
16、 由于 r(A)=r(A,b)n,所以当 a=0 且 b=2 时,方程组有无穷多解, 在 a=0 的前提下,若 b2,矩阵变为 而 由于 r(A)=2,r(A,b)=3,所以当 a=0 且 b2 时,该方程组无解 当 a0 时,矩阵 (2).当线性方程组有无穷多解时,求出其通解(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 当 a=0 且 b=2 时,易求得方程组的通解为 ,其中 设二次型 ,已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ,且 (分数:11.00)(1).求 a,b 的值;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 二次型的对应矩阵为 由 由 (2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 把第 1 小问求得的 a=1,b=2 代入二次型的对应矩阵 A 中,得 易求得正交矩阵为 标准形为