1、考研数学二-408 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设函数 f(u)可微， ，则 A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则 Af(0)=1 且 存在 Bf(0)=0 且 存在 Cf(0)=1 且 存在 Df(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.二次
2、积分 可以写成 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“-y=2x+e x 的特解形式可设为 A.y*=ax+bex B.y*=x(a+bex) C.y*=x(a+bex)+c. D.y*=x(ax+bex+c)（分数：4.00）A.B.C.D.6.若函数 f(x)满足关系式 xf“(x)+2xf“(x) 2 =1-e x ，且 f“(0)=0，f“(x)在 x=0 处连续，则（分数：4.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)
3、的极大值7.设 1 ， 2 ， 3 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（分数：4.00）A.1+2，2+3，1+3.B.1-2，2-3，3-1C.1，2，3 的一个等价的向量组D.1，2，3 的一个等秩的向量组8.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 （分数：4.00）A.(1，2，1+3).B.(2，3，1).C.(1，2，33)D.(1+2，2+3，1+3).二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设函数 z=(x+y x ) y ，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.数列 （分数：4.00）
4、13.交换积分次序： （分数：4.00）14.行列式 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 y=y(x)由 所确定，其中 f(t)三阶可导，且 f“(t)0求 （分数：10.00）_17.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 以及曲线 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)连续，且 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明： （分数：10.00）_20.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32，证明 2xy+3yz16. （分数：11.00）_21.已知函数
5、 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ，且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与直线x=0，x=1，y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 （分数：11.00）_设线性方程组 （分数：11.00）(1).试讨论当 a，b 为何值时，线性方程组无解，以及有无穷多解；（分数：5.50）_(2).当线性方程组有无穷多解时，求出其通解（分数：5.50）_设二次型 ，已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ，且 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为
6、标准形（分数：5.50）_考研数学二-408 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 -1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 由题意可知 对式(1)使用等价无穷小替换可得 由上式可知 n+14(否则答案不可能是 0)，解得 n3. 对式(2)使用等价无穷小替换可得 2.设函数 f(u)可微， ，则 A0 B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析
7、 3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则 Af(0)=1 且 存在 Bf(0)=0 且 存在 Cf(0)=1 且 存在 Df(0)=0 且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 由于 ，所以 f(0)=0 由于 f(0)=0，所以 可以改写为 又因为无论 x 是从左侧趋于 0 的还是从右侧趋于 0 的，都有 cosx1，1-cosx0，所以 说明 4.二次积分 可以写成 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，积分区域在直角坐标系表示为 ， 即是由 与 y 轴围成的图形(如下图)它在极坐标系表示为
8、 5.微分方程 y“-y=2x+e x 的特解形式可设为 A.y*=ax+bex B.y*=x(a+bex) C.y*=x(a+bex)+c. D.y*=x(ax+bex+c)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -1=0，其根为 r=1对于方程 y“-y=2x，由于 0不是特征方程的根，故其特解形式为 对于方程 y“-y=e x ，由于 1 是特征方程的单根，故其特解形式为 于是根据叠加原理，原方程的特解形式为 6.若函数 f(x)满足关系式 xf“(x)+2xf“(x) 2 =1-e x ，且 f“(0)=0，f“(x)在 x=0 处连续
9、，则（分数：4.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值 解析：解析 由 f“(0)=0 知 x=0 是 f(x)的驻点为求 f“(0)，把方程改写为 令 x0，得 7.设 1 ， 2 ， 3 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（分数：4.00）A.1+2，2+3，1+3. B.1-2，2-3，3-1C.1，2，3 的一个等价的向量组D.1，2，3 的一个等秩的向量组解析：解析 设矩阵 A 有 n 列，其秩为 r，
10、则线性方程组 Ax=0 的基础解析中的向量必须满足三个条件：是解、线性无关、个数为 n-r首先排除 C、D，因为第一个条件不一定满足A、B 均满足第一个条件和第三个条件，而 B 不满足第二个条件，故本题选择 A 选项8.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 （分数：4.00）A.(1，2，1+3).B.(2，3，1).C.(1，2，33) D.(1+2，2+3，1+3).解析：解析 题中说 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e 2 解析 10.设函数 z=(x+y x ) y ，则 （分数：4.00）解析：2ln2+1 解析 两边取对数，得
11、lnz=yln(x+y x ) 两边对 y 求导，得 从而 11. （分数：4.00）解析：1-ln2解析 12.数列 （分数：4.00）解析： 解析 考察函数 (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值，由 可知 f(x)在1，e上单调递增，在e，+)上单调递减， 在 x=e 处取得最大值，它的相邻两点是x=2 和 x=3 由于 ，因此最大项是 13.交换积分次序： （分数：4.00）解析： 解析 由题意，积分区域可表示为 即是由 r=2cos 与 围成的图形(如下图)作以 O 为圆心且穿过 D 的同心圆 r=C，当 时，r=C从 r=2cos(0)，即 进入 D，从 穿出 D；当 时，r=
12、C 从 r=2cos(0)，即 进入 D，从 r=2cos(0)，即 穿出 D故原二次积分交换积分次序后为 14.行列式 （分数：4.00）解析：-12 解析 由范德蒙行列式直接可得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设函数 y=y(x)由 所确定，其中 f(t)三阶可导，且 f“(t)0求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 17.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 以及曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，记 ，则 在求 时以用华里士公式 18.设函数 f(
13、x)连续，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 由于 f(x)在 x=0 连续及 ，故 因此， 当 x0 时， 当 x=0 时， 故 显然，当 x0 时，“(x)连续 又由于 19.设函数 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 连续利用分部积分，有 移项后得 20.设 4x 2 +4y 2 +3z 2 =32，证明 2xy+3yz16. （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 记 f(x，y，z)=2xy+3yz，引入辅助函数 L(x，y，z，)=f(x，y，z)+(4x 2 +4y 2 +3
14、z 2 -32). 列方程组 解之得可能的极值点(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)， ， 由 f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16， 21.已知函数 y=y(x)(0x1)满足微分方程 yy“=(y“) 2 ，且 y(0)=1已知曲线 y=y(x)与直线x=0，x=1，y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 e-1求 D 绕 y 轴旋转所得的旋转体体积 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p(y)，则 ，于是 分离变量得 两端积分得 ln|p|=ln|y|+ln
15、|C 1 |， 从而 p=y“=C 1 y， 即 分离变量得 两端积分得 ln|y|=C 1 x+ln|C 2 |， 即 y=C 2 e c1x 由 y(0)=1 得 C 2 =1，故 y=e C1x 由题意， ，解得 C 1 =1，因此 y=e x 故所求体积为 所求体积的解法是基于下面的命题：平面图形 0axb，0yf(x)绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 该体积也可用如下方法求： 设线性方程组 （分数：11.00）(1).试讨论当 a，b 为何值时，线性方程组无解，以及有无穷多解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a=0 时，矩阵 在 a=0 的前提下，若 b=2，矩阵变为
16、 由于 r(A)=r(A，b)n，所以当 a=0 且 b=2 时，方程组有无穷多解， 在 a=0 的前提下，若 b2，矩阵变为 而 由于 r(A)=2，r(A，b)=3，所以当 a=0 且 b2 时，该方程组无解 当 a0 时，矩阵 (2).当线性方程组有无穷多解时，求出其通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a=0 且 b=2 时，易求得方程组的通解为 ，其中 设二次型 ，已知该二次型的矩阵 A=(a ij )的主对角线元素之和 ，且 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型的对应矩阵为 由 由 (2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 把第 1 小问求得的 a=1，b=2 代入二次型的对应矩阵 A 中，得 易求得正交矩阵为 标准形为
